.1若x0時，(1ax2)41與xsinx是等價無窮小，則 設函數y=f(x)由方程xy2lnxy4所確定，則曲線y=f(x)在點(1,1)處的切線方 y2xxn項的系數是eaa一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為

，則該曲線上相應于0變到2設3維列向量，T是的轉置.若

1

1（6）設三階方陣A,B滿足A2BABEEA

0，則B 二、選擇題（6424分.每小題給出的四個選項中，只有一設{an},{bn},{cn均為非負數列，且liman0limbn1limcn, anbn對任意n成立 (B)bncn對任意n成立極限limancn不存在 (D)極限limbncn不存在 n（2）設an

3 n1 1x 2 3 (1e)23(1e1)213 3(1e)21 y 已知y ()的解，則()的表達式lny2

y

xx2y

x2xy2 設函數 yyOxtan （5）設I1 dx,I24 dx,?

I1I2I2I1

0tan

?

1I1I21I2 (A)當rs時，向量組II必線性相關 (B)當rs時，向量組II必線性相關(C)當rs時，向量組I必線性相關 (D)當rs時，向量組I必線性相關 三、（10分

f(x)

,xarcsin

xxeaxx2ax1x, xsin 四、（9分

x12t2 12lnt y 五、（9分計算不定積分 六、（12分3y=y(x)在(,y0,xxyy=y(x)的反函數3

(ysinx)())

0變換為y=y(x)y(00,y(0)3的解2七、（12分y4lnxky4xln4x的交點個數八、（12分y=f(x)過點22

2Q，且線段PQx軸平分九、（10分xyy0y軸旋轉而成的旋轉曲面（如圖2m.根據設計要求，當以3m3min的速率向容器內注入液體時，液面的面積將以m2min的速率均勻擴大（假設注入液體前，

十、（10分設函數f(x在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導，且f(xf(2xx

若極限b2abaf

；在(a,b)內存在與(2)中相異的點f()(b2a2)2bfa十一、（10分 若矩陣A

a相似于對角陣，試確定常數a的值；并求可逆矩陣P P1AP

0 十二、（8分l1l2l3

ax2by3c0bx2cy3a0cx2ay3b0試證這三條直線交于一點的充分必要條件為abc.

1xsin

.【詳解】x0(1

11)41~14

ax2，xsinx~x21

1lim 1a1

xsin

x

4【評注P.38【1.62】..【詳解xy2lnxy4xyxy24y3yxx=1,y=1代入上式，有y(11.故過點(1,1)y11(x1)， xy【評注題見《數學復習指南》P.55【例2.13】和【例2.14】. f(n)林公式中x項的系數 【詳解】因為y2xln2y2x(ln2)2，y(x)2x(ln2)n (0)(ln2)，故麥克勞林公式中x項的系數是 （4.）.【分析S12()d即可2【詳解】所求面積為S122()d12e2a2=1 2

21(e4a1)過程比較復雜.完全類似例題見《數學復習指南》P.200【例7.38】. （5）..【分析】本題的關鍵是矩陣T 【詳解】由

1 1 1

1=1111，知

1

1T1111

a1

2 ban

例（6）..【分析】先化簡分解出矩陣B，再取行列式即可【詳解】A2BABE(A2E)BAE，即 (AE)(AE)BAE，易知矩陣A+E可逆，于是有 (AE)BE.

AEB1因 A

02,0

B 2先化簡再計算.完全類似例題見《考研數學大串講》P.160【例11】..（1）.【分析除(A),(B)limac是0型未定式，可能存在也可能不存在，舉反例說明即可；nn極限limbc屬1型，必為無窮大量，即不存在nn 【詳解】用舉反例法，取a ，b1，c n(n1,2,)，則可立即排 ..【詳解an

1n1 12 n

dx= dx= 1n2n

nd(1xn n

n

)n]21}可 limna=lim{[1(n)n]31}(1e1)3 n（3）.【分析】將y ln

代入微分方程，再令u，求出(uyx

y【詳解y

ln

( lnx1ln2

ln

(lnx)，即(lnx) ln2(u1，故xy2lnx=u

u

x 應選點，共4個，是極大值點還是極小值可進一步由取極值的第一或第二充分條件判定.【詳解】根據導函數的圖形可知，一階導數為零的點有3個，而x=0則是導數不x=0x=0..【詳解】因為當x>0時，有tanx>x，于 tanx1x

tan

1ta

I14 dx

I24 dx可見有

I

0tan ，可排除(A),(C),(D)，故應選 【分析】本題為一般教材上均有的比較兩組向量個數的定理：若向量組1,2,,rII12,s線性表示，則當rsI必線性相關.I線性無關，則必有rs.可見正確選項為(D).本題也可通過舉反例用排除法找到答案 【詳解】用排除法：如112101021 線性無關，排除(A)；1,21，則1,211 性無關，排除(B)；112，112線性表示，但1 關，排除(C).故正確選項為記不清楚，也可通過構造適當的反例找到正確選項。此定理見《數學復習指南》P.409定理三、（10分f(00)f(0)f(0 f(00)limf(x)limln(1ax3) x0xarcsin x0xarcsin=1

11x

11x2=lim x01x2f(00)

f(x)

eaxx2axxsin4=4

eaxx2ax14

aeax2xa

2a

x f(00)f(00)，有6a2a24，得a1a

f(x)6f(x)12

f(0)f(x)x=0處連續f(0)x=0是f(x)的可去間斷點, 【分析】本題為參數方程求二階導數，按參數方程求導的公式進行計算即可.注意當x=9時，可相應地確定參數t的取值.

dy

12ln

2t

12ln

，

4t dy

dt12lnt

2(12lnd2

2

dt

2(12ln = 4t2(12lnx=9x12t2t>1t=2,

16(12ln2)21x 【分析】被積函數含有根號 ，典型地應作代換：x=tant,或被積函數含1x【詳解xtant

dx=

ettan

tdt=etsin(1tant)又etsintdt(1tant)=(etcostet=etcostetsintetsintdt etsintdt1et(sintcost)2

1 因此

dx (1(1x)

)221

(x1)earctanx

dx=

1

2=xearctanx

(1(1x)

1

2xearct=

dxxearctxearct(1x2)3

(1x

dx2

(x

21本題的關鍵是含有反三角函數，作代換arctanxttant=x,完全類似例題見《數學復習指南》P.8621分析dxdydx=

1 d2 )

(1)

dy

dx y

(【詳解(1)由反函數的求導公式知dx1 d2xd(

1 ) 2

)dy

2 dy

dx

(yysin *(2)方程*)yy0YCexCex y*AcosxBsinx代入方程*)A0,B1y*1sinxyysinx2yYy*CexCex

sin2y(0)0,y(0)3，得C1, yexex1si2

1.七．【分析】問題等價于討論方程ln4x4lnx4xk0有幾個不同的實根.本題相【詳解】設(x)ln4x4lnx4xk 則 (x)

4(ln3x1.x

不難看出，x=1是(x)的駐點 當0x1時，(x)0，即(xx>1時，(x)0，即(x單調增加，故(1)4k為函數(x)的最小值.)k=44-k=0時，(x0有唯一實根，即兩條曲線只有一個交點；當k>4，即4-k<0時，由于lim(x)lim[lnx(ln3x4)4xk] lim(x)lim[lnx(ln3x4)4xk] 故(x0有兩個實根，分別位于(0,1)與(1,內，即兩條曲線有兩個交點例八．.【分析】(1)先求出法線方程與交點坐標Q，再由題設線段PQ被x軸平分，可轉化 將曲線y=f(x)化為參數方程bb

x2y2dt進行計算即可【詳解(1)y=f(x)在點P(x,y)Yy1(Xx)其中(X,Y)為法線上任意一點的坐標令X=0xYyy故Q點的坐標為(0,yx

1(yy2

x)0

x22y2C(C為任意常數yx2

1知C=1y=f(x)2x22y2 l

1

xdx2

1cos2 xco y

0t 2 s2

sin2t 2

tdt 21sin0

tdt令t2

s

01cos2u(du) 2 240到2.

2例二-P.74的第七題.分析m2mint【詳解】(1)設在t時刻，液面的高度為y，則由題設知此時液面的面積為2y4t,從而t2yy時，液體的體積為y2(u)du3t32y0上式兩邊對y2y6y)y，即y6(y)Ce由(0)2知

x2e6本題的特殊情形)和《數學最后沖刺》P.94的【例2】.f(2x十．.【分析(1)

x

存在知，f(a)=0,f(x)>0.2)證明.(3)注意利用(2)的結論證明即可.【詳解(1)limf(2xalimf(2xa)f(a)0.f(x)0 x f(x)f(a)0,x(2)設F(xx2,g(x)xf(t)dt(axb,g(x)a

f(x)0F(xg(x)F(b)F(a)g(b)

b2af(t)dt

f

(x(x2 f即b2a即bbaff(

.f(f(0f(f(a，在[a,(a,內存在一點f(f()(a，從而由(2)b2abaf

，f()(即 f()(b2a2)2bfaf()(b2a2) bf(x)dx b2a a bf f()(af(f()( （(2)f()f(a)f()(a)例分析AA的特征值，再根據特征值的重a.P，則EA

0

0

(6)[(2)2故A的特征值為126,32.由于A相似于對角矩陣，故對應1263r(6EA)2，于是有r(6EA) 0 6EA

a

a

0

于是對應于12600

2 2 當322E

1 2xx

解方程組

x

得對應于32的特征向量3 1 令P 2，則P可逆，并有P1AP 1 0

0例模擬試卷》數學二P.36第十二題（幾乎完全一致）.矩陣與增廣矩陣的秩均為2.ax2bybx2cycx2ayA

A

的秩均為2

A A

6(abc)[a2b2c2abac=3(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2但根據題設(ab)2bc)2ca)20abc充分性：由abc0，則從必要性的證明可知 0，故秩(A)故秩(A)=2.