人教A版高中數學必修2第四章《直線與圓的方程》專題培優講義一、標準方程：1.求標準方程的方法——關鍵是求出圓心和半徑①待定系數：往往已知圓上三點坐標，例如教材例2②利用平面幾何性質。往往涉及到直線與圓的位置關系，特別是：相切和相交相切：利用到圓心與切點的連線垂直直線相交：利用到點到直線的距離公式及垂徑定理2.特殊位置的圓的標準方程設法（無需記，關鍵能理解）條件方程形式圓心在原點過原點圓心在軸上圓心在軸上圓心在軸上且過原點圓心在軸上且過原點與軸相切與軸相切與兩坐標軸都相切二、一般方程1.表示圓方程，則2.求圓的一般方程一般可采用待定系數法：如教材例43.常可用來求有關參數的范圍三、點與圓的位置關系1.判斷方法：點到圓心的距離與半徑的大小關系點在圓內；點在圓上；點在圓外2.涉及最值：（1）圓外一點，圓上一動點，討論的最值：；（2）圓內一點，圓上一動點，討論的最值：；思考：過此點作最短的弦？（此弦垂直）四、直線與圓的位置關系1.判斷方法（為圓心到直線的距離）（1）相離沒有公共點（2）相切只有一個公共點（3）相交有兩個公共點這一知識點可以出如此題型：告訴你直線與圓相交讓你求有關參數的范圍.2.直線與圓相切（1）知識要點：①基本圖形；②主要元素：切點坐標、切線方程、切線長等。問題：直線與圓相切意味著什么？答：圓心到直線的距離恰好等于半徑（2）常見題型——求過定點的切線方程①切線條數：點在圓外——兩條；點在圓上——一條；點在圓內——無；②求切線方程的方法及注意點=1\*romani）點在圓外如定點，圓：，[]第一步：設切線方程；第二步：通過，從而得到切線方程特別注意：以上解題步驟僅對存在有效，當不存在時，應補上——千萬不要漏了！如：過點作圓的切線，求切線方程.答案：和=2\*romanii）點在圓上若點在圓上，則切線方程為：會在選擇題及填空題中運用，但一定要看清題目.若點在圓上，則切線方程為：碰到一般方程則可先將一般方程標準化，然后運用上述結果.由上述分析，我們知道：過一定點求某圓的切線方程，非常重要的第一步就是——判斷點與圓的位置關系，得出切線的條數.③求切線長：利用基本圖形，求切點坐標：利用兩個關系列出兩個方程3.直線與圓相交（1）求弦長及弦長的應用問題垂徑定理及勾股定理——常用★★★弦長公式：（暫作了解，無需掌握）（2）判斷直線與圓相交的一種特殊方法（一種巧合）：直線過定點，而定點恰好在圓內.（3）關于點的個數問題4.直線與圓相離會對直線與圓相離作出判斷（特別是涉及一些參數時）例1、若圓上有且僅有兩個點到直線的距離為1，則半徑的取值范圍是_________________.例2、已知向量若與的夾角為，則直線與圓的位置關系是（）A．相交但不過圓心B．相交過圓心C．相切D．相離【針對性練習】1、已知圓和點,若點在圓上且的面積為,則滿足條件的點的個數是（）2、若圓始終平分圓的周長,則實數應滿足的關系是()A．B．C．D．3、在平面內,與點距離為1,與點距離為2的直線共有()條B.2條C.3條D.4條4、直線與圓交于、兩點，且、關于直線對稱，則弦的長為。五、對稱問題例1、若圓，關于直線對稱，則實數的值為____.例2、已知直線：與圓：，問：是否存在實數使自發出的光線被直線反射后與圓相切于點？若存在，求出的值；若不存在，試說明理由.【針對性練習】1、已知點是圓:上任意一點，點關于直線的對稱點在圓上，則實數_________.2、圓關于直線對稱的曲線方程是________________.3、已知圓：與圓：關于直線對稱，則直線的方程為_______________.4、圓關于點對稱的曲線方程是__________________.六、最值問題方法主要有三種：（1）數形結合；（2）代換；（3）參數方程例題1.已知實數，滿足方程，求：（1）的最大值和最小值；——看作斜率（2）的最小值；——截距（線性規劃）（3）的最大值和最小值.——兩點間的距離的平方【針對性練習】1、已知中，，，，點是內切圓上一點，求以，，為直徑的三個圓面積之和的最大值和最小值.（提示：數形結合和參數方程兩種方法均可！）2、設為圓上的任一點，欲使不等式恒成立，則的取值范圍是____________.（數形結合和參數方程兩種方法均可！）xxyO r M M0 x七、圓的參數方程（選修4-4），為參數，這就是圓心在原點、半徑為r的圓的參數方程說明：（1）參數θ的幾何意義是OM與x軸正方向的夾角。（2）隨著選取的參數不同，參數方程形式也有不同，但表示的曲線是相同的。（3）在建立曲線的參數方程時，要注明參數及參數的取值范圍。，為參數，這就是圓心為、半徑為r的圓的參數方程。（一）、圓的參數方程探求例1、已知兩條曲線的參數方程：(為參數)和(t為參數)（1）、判斷這兩條曲線的形狀；（2）、求這兩條曲線的交點坐標。（二）、最值問題：利用圓的幾何性質和圓的參數方程求最值（數形結合）例2、已知點P（x，y）是圓上動點，求：（1）的最值，（2）的最值，（3）P到直線的距離d的最值。【針對性練習】1、過點(2,1)的直線中,被圓x2+y2-2x+4y=0截得的弦：為最長的直線方程是_________；為最短的直線方程是__________；2、若實數x,y滿足x2+y2-2x+4y=0，則x-2y的最大值為。3、方程(t為參數)所表示的一族圓的圓心軌跡是（）A．一個定點B．一個橢圓C．一條拋物線D．一條直線4、已知，則的最大值是6。5、曲線的一個參數方程為八、相關應用例1、若直線（，），始終平分圓的周長，則的取值范圍是______________.例2、已知圓：，問：是否存在斜率為1的直線，使被圓截得的弦為，以為直徑的圓經過原點，若存在，寫出直線的方程，若不存在，說明理由.提示：或弦長公式.答案：或【針對性練習】1、已知圓，直線，。（1）證明：不論取什么實數，直線與圓恒交于兩點；（2）求直線被圓截得的弦長最小時的方程.2、若直線與曲線恰有一個公共點，則的取值范圍.3、已知圓與直線交于，兩點，為坐標原點，問：是否存在實數，使，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.九、圓與圓的位置關系1.判斷方法：幾何法（為圓心距）（1）外離（2）外切（3）相交（4）內切（5）內含2.兩圓公共弦所在直線方程圓：，圓：，則為兩相交圓公共弦方程.補充說明：若與相切，則表示其中一條公切線方程；若與相離，則表示連心線的中垂線方程.3圓系問題（1）過兩圓：和：交點的圓系方程為（）說明：（1）上述圓系不包括；2）當時，表示過兩圓交點的直線方程（公共弦）（2）過直線與圓交點的圓系方程為（3）有關圓系的簡單應用（4）兩圓公切線的條數問題=1\*GB3①相內切時，有一條公切線；=2\*GB3②相外切時，有三條公切線；=3\*GB3③相交時，有兩條公切線；=4\*GB3④相離時，有四條公切線十、軌跡方程（1）定義法（圓的定義）：略（2）直接法：通過已知條件直接得出某種等量關系，利用這種等量關系，建立起動點坐標的關系式——軌跡方程.（3）相關點法（平移轉換法）：一點（動點）隨另一點（主動點）的變動而變動。特點為：主動點一定在某一已知的方程所表示的（固定）軌跡上運動.例1、如圖，已知定點，點是圓上的動點，的平分線交于，當點在圓上移動時，求動點的軌跡方程.例2、已知圓：，點，、是圓上的兩個動點，、、呈逆時針方向排列，且，求的重心的軌跡方程.法1：，為定長且等于設，則取的中點為，，（1），故由（1）得：法2：（參數法）設，由，則設，則，由得：參數法的本質是將動點坐標中的和都用第三個變量（即參數）表示，通過消參得到動點軌跡方程，通過參數的范圍得出，的范圍.（4）求軌跡方程常用到得知識=1\*GB3①重心，=2\*GB3②中點，=3\*GB3③內角平分線定理：=4\*GB3④定比分點公式：，則，=5\*GB3⑤韋達定理.《直線與圓的方程》綜合練習舉例例題1、已知兩圓；，直線，求經過圓的交點且和直線相切的圓的方程。解：設所求圓的方程為，即：，得：圓心坐標為；半徑，所求圓與直線相切，圓心到直線的距離，解得，舍去所求圓的方程為：小結：要熟練掌握過兩圓交點的圓系的方程及公共弦的直線方程（）例題2、如果實數、滿足，求的最大值、的最小值。解：（1）問題可轉化為求圓上點到原點的連線的斜率的最大值。設過原點的直線方程為，由圖形性質知當直線斜率取最值時，直線與圓相切。得：，，（2）滿足，。注意學習掌握解（2）中利用圓的參數方程將關于x,y的二元函數轉化為關于角的一元函數，從而方便求解的技巧。例題3、已知圓和直線，（1）若圓上有且只有4個點到直線的的距離等于1，求半徑的取值范圍；（2）若圓上有且只有3個點到直線的的距離等于1，求半徑的取值范圍；（3）若圓上有且只有2個點到直線的的距離等于1，求半徑的取值范圍；解一：與直線平行且距離為1的直線有兩條，分別為：，，注意掌握平行直線的表示方法及其距離計算。圓心到直線的的距離為,到直線的的距離為,則：（1）圓上有且只有4個點到直線的的距離等于1（2）圓上有且只有3個點到直線的的距離等于1（3）圓上有且只有2個點到直線的的距離等于1解二：圓心到直線的距離，則：（1）圓上有且只有4個點到直線的的距離等于1，（2）圓上有且只有3個點到直線的的距離等于1，（3）圓上有且只有2個點到直線的的距離等于1小結：解法1采用將問題轉化為直線與圓的交點個數來解決，具有直觀明了的優點，對解決這類問題特別有效；解法2的著眼點是觀察從劣弧的點到直線l的最大距離,請仔細體會。例題4、已知為原點，定點，點是圓上一動點。（1）求線段中點的軌跡方程；（2）設的平分線交于，求點的軌跡方程。解：（1）設中點，則，代入圓的方程得。QPRO（2）設，其中，，由，QPRO，代入圓方程并化簡得：。當y=0時，即在軸上時，的平分線無意義。小結：（1）本題的解法稱作相關點轉移法求軌跡，其核心是找到未知與已知動點之間的坐標關系；（2）處理“角平分線”問題，一般有以下途徑：=1\*GB3①轉化為對稱問題=2\*GB3②利用角平分線性質，轉化為比例關系=3\*GB3③利用夾角相等。例題5、如圖所示，過圓與軸正半軸的交點A作圓的切線，M為上任意一點，再過M作圓的另一切線，切點為Q，當點M在直線上移動時，求三角形MAQ的垂心的軌跡方程。解：設邊上的高為邊上的高為，連接當時，在上，,當時，垂心為點B，也滿足方程，而點M與點N重合時，不能使A，M，Q構成三角形。的垂心的軌跡方程為：。例題6、已知函數（1）在曲線上存在兩點關于直線對稱，求的取值范圍；（2）在直線上取