第二章導數微分以及應用第1頁，課件共171頁，創作于2023年2月聽課要求：1.參考教材是知識體系的最大范圍，而考試范圍僅僅是教材的子集，對于（數一，二，三）要求是有差異的，并非教材上都是考點，即使考點也有主次之分，搞清楚主次有利于時間的利用率和復習重心的把握。2.上課記筆記回去可以找到依據來進一步消化3.以課堂講授的概念為重點來消化知識和構建自己的知識體系，課后訓練的習題均應以此為主線來選取強化理解，切不可偏離主線。第2頁，課件共171頁，創作于2023年2月授課提綱：

本章知識結構圖表章節內容在考研中的知識點分布章節學習內容串講配合習題講解答疑第3頁，課件共171頁，創作于2023年2月一元函數微分學及其應用第4頁，課件共171頁，創作于2023年2月第二章

一元函數微分學及其應用第5頁，課件共171頁，創作于2023年2月數學一，二，三考研大綱中涉及本章知識點分布：理解導數和微分的概念與關系函數的可導性與連續性之間的關系導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程法線方程導數的物理意義，會用導數描述一些物理量

導數的經濟意義（含邊際與彈性的概念）（數三）基本初等函數的求導公式，導數四則運算法則，會求復合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的導數，分段函數的導數，利用一階微分形式的不變性求函數的微分以及逆向湊微分．高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數．第6頁，課件共171頁，創作于2023年2月

理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其應用．會用導數判斷函數圖形的凹凸性（會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形．（數一，數二）了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑．理解并會用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并會用柯西(Cauchy)中值定理．掌握用洛必達法則求未定式極限的方法．第7頁，課件共171頁，創作于2023年2月

近10年考研試題中與本章有關聯的題型

第二章一元函數微分學

題型1與函數導數或微分概念和性質相關的命題辨析（選擇題）題型2函數與其導函數的圖形關系或其他性質的判定題型3函數在某點處的可導性及導函數的連續性，分段函數在分段點的可導性判斷題型4求各種形式函數（包括復合函數、隱函數等）的導數題型5某些實際問題利用提煉導數模型來求解題型6函數性態（極值點、拐點、曲線的漸近線方程等）判定與求解題型7求一元函數在一點的切線方程或法線方程題型8求已知曲線的曲率（數二）題型9經濟學中彈性相關的計算（數三）題型10函數單調性等性態的判斷或討論

題型11證明不等式題型12證明某一區間至少存在一個點或兩個點使某個式子成立題型13證明方程根的唯一性第8頁，課件共171頁，創作于2023年2月學習內容串講：函數的幾種表達形式：顯函數形式反函數形式分段函數形式極限形式隱函數形式一般參數形式極坐標參數形式變限積分形式級數形式復合結構抽象函數其他形式第9頁，課件共171頁，創作于2023年2月第10頁，課件共171頁，創作于2023年2月第11頁，課件共171頁，創作于2023年2月一，導數的實際問題的模型1.變速直線運動的速度設質點運動函數為則到的平均速度為而在時刻的瞬時速度為第12頁，課件共171頁，創作于2023年2月2.曲線的切線斜率曲線在M

點處的切線（割線MN

的極限位置MT）(當時)割線MN

的斜率切線MT的斜率第13頁，課件共171頁，創作于2023年2月兩個問題的共性:瞬時速度切線斜率所求量為函數增量與自變量增量之比的極限.類似問題還有:加速度角速度線密度電流強度是速度增量與時間增量之比的極限是轉角增量與時間增量之比的極限是質量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限變化率問題第14頁，課件共171頁，創作于2023年2月二、導數的定義定義1.

設函數在點存在,并稱此極限為記作:即則稱函數若的某鄰域內有定義,在點處可導,在點的導數.第15頁，課件共171頁，創作于2023年2月1.運動質點的位置函數在時刻的瞬時速度2.曲線在M

點處的切線斜率若上述極限不存在,在點不可導.就說函數的導數為無窮大.也稱在則前面的實際問題模型均可以用導數的表達式進行改寫第16頁，課件共171頁，創作于2023年2月導函數的定義

如果函數y=f(x)在區間I內每一點x都對應一個導數值

則這一對應關系所確定的函數稱為函數y=f(x)的導函數

簡稱導數

記作易見求導函數的步驟(1)求增量(2)算比值(3)求極限第17頁，課件共171頁，創作于2023年2月例1.求函數的導數.解:則即類似可證得第18頁，課件共171頁，創作于2023年2月基本求導公式

第19頁，課件共171頁，創作于2023年2月單側導數1.左導數:2.右導數:函數f(x)在某點處可導左導數和右導數都存在且相等.函數f(x)在開區間(a

b)內可導是指函數在區間內每一點可導

函數f(x)在閉區間[a

b]上可導是指函數f(x)在開區間(a

b)內可導

且在a點有右導數、在b點有左導數

第20頁，課件共171頁，創作于2023年2月.練習：判斷是非(是：非：)：√×

√√√×第21頁，課件共171頁，創作于2023年2月.√×√第22頁，課件共171頁，創作于2023年2月......第23頁，課件共171頁，創作于2023年2月解:

因為4.

設存在,且求所以第24頁，課件共171頁，創作于2023年2月例2.若且存在,求解:原式=且聯想到湊導數的定義式機動目錄上頁下頁返回結束第25頁，課件共171頁，創作于2023年2月三、函數的可導性與連續性的關系：定理1.證:設在點x處可導,存在,因此其中故在點x

連續.注意:

函數在點x連續未必可導.反例:在

x=0處連續,

但不可導.即第26頁，課件共171頁，創作于2023年2月解：例3.討論函數在x=0處不可導在x=0處的連續性和可導性第27頁，課件共171頁，創作于2023年2月設解:又例4.所以在處連續.即在處可導.處的連續性及可導性.機動目錄上頁下頁返回結束第28頁，課件共171頁，創作于2023年2月解例5.即第29頁，課件共171頁，創作于2023年2月例6.設,問a

取何值時,在都存在,并求出解:故時此時在都存在,顯然該函數在x=0連續.第30頁，課件共171頁，創作于2023年2月例7.設試確定常數a,b

使f(x)

處處可導,并求解:得即機動目錄上頁下頁返回結束第31頁，課件共171頁，創作于2023年2月是否為連續函數?判別:機動目錄上頁下頁返回結束第32頁，課件共171頁，創作于2023年2月例8:試確定常數之值,使函數在=0處可導。解()在=0處可導的必要條件:是()在=0處連續即故當時,在處連續第33頁，課件共171頁，創作于2023年2月又因故當時,即存在解方程組得故當時,在

處可導第34頁，課件共171頁，創作于2023年2月三、導數的幾何意義1.幾何意義切線方程為法線方程為第35頁，課件共171頁，創作于2023年2月

解

所求法線方程為并寫出在該點處的切線方程和法線方程

所求切線及法線的斜率分別為所求切線方程為即4x+y-4=0

即2x-8y+15=0

,例9.求等邊雙曲線在點處的切線的斜率第36頁，課件共171頁，創作于2023年2月例10.

問曲線哪一點有垂直切線?哪一點處的切線與直線平行?寫出其切線方程.解:令得對應則在點(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分別為即故在原點(0,0)有垂直切線第37頁，課件共171頁，創作于2023年2月小結：1.導數的實質:2.導數的幾何意義:3.可導必連續,但連續不一定可導;不連續,一定不可導.4.判斷可導性不連續,一定不可導.直接用導數定義;看左右導數是否存在且相等.增量比的極限;切線的斜率;法線的斜率第38頁，課件共171頁，創作于2023年2月二、反函數的求導法則三、復合函數的求導法則一、函數的和、差、積、商的求導法則函數的求導運算四、基本求導法則與導數公式第39頁，課件共171頁，創作于2023年2月基本初等函數的導數第40頁，課件共171頁，創作于2023年2月0–sinx–cscxcotxnxn–10........導數基本公式練習第41頁，課件共171頁，創作于2023年2月導數基本公式練習cosx.......0.第42頁，課件共171頁，創作于2023年2月四則運算求導法則

定理2.的和、差、積、商(除分母為0的點外)都在點x

可導,且則推論:(C為常數)第43頁，課件共171頁，創作于2023年2月

解

例1

例2

y=ex

(sinx+cosx)

求y

=2excosx

解

y

=(ex)

(sinx+cosx)+e

x

(sinx+cosx)

=e

x(sinx+cosx)+e

x(cosx

-sinx)求導法則

第44頁，課件共171頁，創作于2023年2月反函數的求導法則

定理3.y的某鄰域內單調可導,則第45頁，課件共171頁，創作于2023年2月

例3.

求(arcsinx)

解

因為y=arcsinx是x=siny的反函數

所以反函數的求導法則:第46頁，課件共171頁，創作于2023年2月...第47頁，課件共171頁，創作于2023年2月在點x

可導,復合函數求導法則定理4.在點可導.復合函數且在點x

可導,則第48頁，課件共171頁，創作于2023年2月例如,關鍵:

搞清復合函數結構,由外向內逐層求導.推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.第49頁，課件共171頁，創作于2023年2月.–200復合函數求導練習.......第50頁，課件共171頁，創作于2023年2月..........復合函數求導練習.第51頁，課件共171頁，創作于2023年2月

解

復合函數的求導法則:

例5

第52頁，課件共171頁，創作于2023年2月

例6復合函數的求導法則:例7

解

解

第53頁，課件共171頁，創作于2023年2月1.導數的四則運算法則(C為常數)3.復合函數求導法則2.反函數求導法則

總結第54頁，課件共171頁，創作于2023年2月例8.求解:由于第55頁，課件共171頁，創作于2023年2月例9.

設求解:第56頁，課件共171頁，創作于2023年2月例10.

若存在,求的導數.這兩個記號含義不同第57頁，課件共171頁，創作于2023年2月例11.設求解:方法1

利用導數定義.方法2

利用求導公式.第58頁，課件共171頁，創作于2023年2月二、高階導數的運算法則一、高階導數的概念高階導數第59頁，課件共171頁，創作于2023年2月定義.若函數的導數可導,或即或類似地,二階導數的導數稱為三階導數,階導數的導數稱為n

階導數,或的二階導數,記作的導數為依次類推,分別記作則稱第60頁，課件共171頁，創作于2023年2月所以y3y

1

0

證明

例1

證明:

函數22xxy=滿足關系式013=+￠￠yy.

第61頁，課件共171頁，創作于2023年2月設存在，求下列函數的二階導數解:（1）例2.（1）（2）（2）第62頁，課件共171頁，創作于2023年2月設求解:依次類推,例3.可得

n

階導數第63頁，課件共171頁，創作于2023年2月例4.設求解:特別有:解:規定0!=1例5.設求第64頁，課件共171頁，創作于2023年2月例6.設求解:一般地,類似可證:第65頁，課件共171頁，創作于2023年2月例7.設求使存在的最高分析:但是不存在.2又階數第66頁，課件共171頁，創作于2023年2月高階導數的運算法則都有n

階導數,則(C為常數)萊布尼茲(Leibniz)

公式及設函數第67頁，課件共171頁，創作于2023年2月例8.求解:

設則代入萊布尼茲公式,得第68頁，課件共171頁，創作于2023年2月(1)逐階求導法(2)利用歸納法(3)間接法——利用已知的高階導數公式(4)利用萊布尼茲公式總結：高階導數的求法第69頁，課件共171頁，創作于2023年2月常用高階導數公式：第70頁，課件共171頁，創作于2023年2月例9.

如何求下列函數的

n

階導數?解:解:(3)解:第71頁，課件共171頁，創作于2023年2月二、由參數方程所確定的函數的導數一、隱函數的導數

隱函數和參數方程求導三、相關變化率第72頁，課件共171頁，創作于2023年2月一、隱函數的導數顯函數與隱函數

形如y

f(x)的函數稱為顯函數

例如

y

sinx

y

lnx

ex

都是顯函數

由方程F(x

y)

0所確的函數稱為隱函數

把一個隱函數化成顯函數

叫做隱函數的顯化

例如

方程x

y3

1

0確定的隱函數為

隱函數的求導法

把方程兩邊分別對x求導數

然后從所得的新的方程中把隱函數的導數解出.第73頁，課件共171頁，創作于2023年2月例1

求由方程ey

xy

e

0所確定的隱函數y的導數

(ey)

(xy)

(e)

(0)

即ey

y

y+xy

0

方程中每一項對x求導得解

例2

求由方程y5

2y

x

3x7

0所確定的隱函數y

f(x)在

x

0處的導數y

|x

0

因為當x

0時

從原方程得y

0

所以5y4

y

2y

1

21x6

0

方程兩邊分別對x求導數得解

第74頁，課件共171頁，創作于2023年2月例3.求橢圓在點處的切線方程.解:

橢圓方程兩邊對

x

求導故切線方程為即第75頁，課件共171頁，創作于2023年2月解

上式兩邊再對x求導

得的二階導數

例4

方程兩邊對x求導

得第76頁，課件共171頁，創作于2023年2月y

f(x)

[lnf(x)]

對數求導法適用于求冪指函數y

[u(x)]v(x)的導數及多因子之積和商的導數

此方法是先在y

f(x)的兩邊取對數

然后用隱函數求導法求出y的導數

設y

f(x)

兩邊取對數

得lny

lnf(x)

兩邊對x

求導

得對數求導法第77頁，課件共171頁，創作于2023年2月例5

求y

xsinx

(x>0)的導數

解法二

這種冪指函數的導數也可按下面的方法求.

解法一

上式兩邊對x

求導

得兩邊取對數

得lny

sinx

lnx

y

xsinx

esinx·lnx

第78頁，課件共171頁，創作于2023年2月上式兩邊對x求導

得說明

嚴格來說

本題應分x

4

x

1

2

x

3三種情況討論

但結果都是一樣的

例6

先在兩邊取對數

得

解

第79頁，課件共171頁，創作于2023年2月設x

j(t)具有反函數t

j-1(x)

且t

j-1(x)與y

y(t)構成復合函數y

y[j-1(x)]

若x

j(t)和y

y(t)都可導

則二、由參數方程所確定的函數的導數

?íì==)()(設y與x的函數關系是由參數方程tytxyj確定的.

第80頁，課件共171頁，創作于2023年2月

解

例7.

求橢圓?íì==tbytaxsincos在相應于4

p=t點處的切線方程.

adx4所求切線的斜率為bdyt-==p.

第81頁，課件共171頁，創作于2023年2月..參數方程的一、二階導數解:第82頁，課件共171頁，創作于2023年2月例9.

設求例10.設,且求解:解:第83頁，課件共171頁，創作于2023年2月的函數y

f(x)的二階導數

解

(t

2np

n為整數)

例11．計算由擺線的參數方程?íì-=-=)cos1()sin(tayttax所確定

第84頁，課件共171頁，創作于2023年2月例12.設由方程確定函數求解:方程組兩邊對t

求導,得故機動目錄上頁下頁返回結束第85頁，課件共171頁，創作于2023年2月機動目錄上頁下頁返回結束第86頁，課件共171頁，創作于2023年2月

用定義.寫成分段函數再求導.含絕對值符號的函數怎么求導？在分段點處怎么求導？.分段函數的求導第87頁，課件共171頁，創作于2023年2月相關變化率為兩可導函數之間有聯系之間也有聯系稱為相關變化率相關變化率問題解法:找出相關變量的關系式對

t求導得相關變化率之間的關系式求出未知的相關變化率第88頁，課件共171頁，創作于2023年2月例14.一氣球從離開觀察員500m處離地面鉛直上升,其速率為當氣球高度為500m

時,觀察員視線的仰角增加率是多少?解:

設氣球上升t

分后其高度為h,仰角為

,則兩邊對t求導已知

h=500m時,第89頁，課件共171頁，創作于2023年2月二、微分的幾何意義一、微分的概念

函數的微分三、微分的運算法則第90頁，課件共171頁，創作于2023年2月的微分,定義:若函數在點的增量可表示為(A

為不依賴于△x的常數)則稱函數而稱為記作即定理:

函數在點可微的充要條件是即在點可微,第91頁，課件共171頁，創作于2023年2月當|Dx|很小時

|Dy

dy|比|Dx|小得多

因此

在點M的鄰近

我們可以用切線段來近似代替曲線段

Dy是曲線上點的縱坐標的增量;

dy是過點(x0

f(x0))的切線上點的縱坐標的增量.當x從x0變到x0+Dx時

二、微分的幾何意義則有從而導數也叫作微商自變量的微分,記作記第92頁，課件共171頁，創作于2023年2月d(xm)

mxm

1dx

d(sinx)

cosxdx

d(cosx)

sinxdx

d(tanx)

sec2xdx

d(cotx)

csc2xdx

d(secx)

secxtanxdx

d(cscx)

cscxcotxdx

d(a

x)

ax

lnadx

d(e

x)

exdx

(xm)

mxm

1

(sinx)

cosx

(cosx)

sinx(tanx)

sec2

x

(cotx)

csc2x

(secx)

secxtanx

(cscx)

cscxcotx

(a

x)

ax

lna

(e

x)

ex微分公式:

導數公式:

1.基本初等函數的微分公式三、微分的基本公式和運算法則第93頁，課件共171頁，創作于2023年2月微分公式:

導數公式:

第94頁，課件共171頁，創作于2023年2月2、微分的四則運算法則設u(x),v(x)均可微,則(C

為常數)分別可微,的微分為微分形式不變3.復合函數的微分則復合函數第95頁，課件共171頁，創作于2023年2月在求復合函數的導數時

可以不寫出中間變量

例1

y

sin(2x

1)

求dy

2cos(2x

1)dx

cos(2x

1)

2dx

cos(2x

1)d(2x

1)dy

d(sinu)

cosudu若y

f(u)

u

j(x)

則dy

f

(u)du

解

把2x

1看成中間變量u

則

例2

解

第96頁，課件共171頁，創作于2023年2月例3.設求解:利用一階微分形式不變性,有例4.

在下列括號中填入適當的函數使等式成立:說明:

上述微分的反問題是不定積分要研究的內容.注意:數學中的反問題往往出現多值性.第97頁，課件共171頁，創作于2023年2月練習1.第98頁，課件共171頁，創作于2023年2月總結：導數與微分的概念(1)導數與微分的實質各是什么？它們的關系及區別是什么？它們的區別：從

x,

y的比值出發得導數概念；從

y的近似值出發得微分概念。導數是函數平均變化率的極限。微分是函數的局部線性化。它們的關系：函數在x點可導函數在x點可微.

第99頁，課件共171頁，創作于2023年2月一元函數y=f(x)在點x=a處：

a.有定義b.有極限c.連續

d.可導e.可微等五個命題之間有什么關系？將它們的序號填入空格：單向箭頭都不可逆，試舉反例。decab.

第100頁，課件共171頁，創作于2023年2月導數的應用一、求曲線的切線方程與法線方程二、函數的增減性與極值定理：設在內有定義且可導（1）若對任意的有，則在內單調遞增；（2）若對任意的有，則在內單調遞減。定理（極值的必要條件）設在點處可導，且為極值點，則。定理（極值的第一充分條件）設在點的某鄰域內可導，且，則第101頁，課件共171頁，創作于2023年2月（1）若時，且時，，則為的極大值點；（2）若時，且時，，則為的極小值點；（3）若在的兩側同號，則不是的極值點。定理（極值的第二充分條件）設在點處二階可導且，則（1）若，則為的極大值點；（2）若，則為的極小值點；（3）若，則此方法失效。求函數單調區間和極值的步驟：（1）求的定義域；（2）求導數，令求出駐點，并求導數不存在的點（如果有的話）第102頁，課件共171頁，創作于2023年2月（3）駐點和導數不存在的點將定義域劃分為若干個區間，列表討論函數在這些區間內的符號，從而求出單調區間和極值。三、函數的最值求函數在某個區間上的最大值和最小值的一般方法是：（1）求出在內所有可能的極值點（駐點、導數不存在的點）；（2）求出上述各點和端點對應的函數值，其中最大的就是函數在此區間上的最大值，最小的就是函數在此區間上的最小值。四、曲線的凹凸性1、定義定理：設在內二階可導（1）若對任意的，有，則曲線弧上凹；第103頁，課件共171頁，創作于2023年2月（2）若對任意的，有，則曲線弧下凹。2、拐點：曲線弧上的上凹和下凹的分界點稱為曲線的拐點求函數的凹凸區間和拐點的一般方法是：（1）求定義域；（2）求一階、二階導數，并求出二階導數等于零的點；（3）求出二階導數不存在的點（如果有的話）；（4）上述各點將定義域劃分成若干個區間，列表討論各區間內二階導數的符號，從而求出函數的凹凸區間和拐點。3、漸進線（1）水平漸進線：若，則是曲線的水平漸進線；（2）垂直漸進線：若，則是曲線的垂直漸進線；第104頁，課件共171頁，創作于2023年2月（3）斜漸進線：若，則直線是曲線的斜漸進線，其中第105頁，課件共171頁，創作于2023年2月2.切線與法線方程如果函數在點處可導,則曲線在點的切線方程為如果為無窮大,切線方程為曲線在點的法線方程為第106頁，課件共171頁，創作于2023年2月一、函數單調性的判定法定理1

設函數f(x)在[a

b]上連續

在(a,b)內可導

(1)如果在(a

b)內f

(x)>0

則f(x)在[a

b]上單調增加

(2)如果在(a

b)內f

(x)<0

則f(x)在[a

b]上單調減少

第107頁，課件共171頁，創作于2023年2月函數y

ex

x

1的定義域為(

)

因為在(

0)內y

<0

所以函數y

ex

x

1在(

0]上單調減少

因為在(0

)內y

>0

所以函數y

ex

x

1在[0

)上單調增加

解

y

ex

1

例1

討論函數y

ex

x

1的單調性

解

函數的定義域為(

)

所以函數在[0

)上單調增加

因為x>0時

y

>0

所以函數在(

0]上單調減少

因為x<0時

y

<0

例2

討論函數32xy=的單調性.

332xy=￠(x10),

函數在x=0處不可導.

第108頁，課件共171頁，創作于2023年2月

(1)確定函數的定義域

(2)求出導數f

(x)

(3)求出f

(x)全部零點和不可導點

(4)判斷或列表判斷

(5)綜合結論

確定函數單調區間的步驟例3.

確定函數的單調區間.解:令得利用劃分函數的定義域,列表討論.第109頁，課件共171頁，創作于2023年2月例3.確定函數的單調區間.解:令得故的單調增區間為的單調減區間為第110頁，課件共171頁，創作于2023年2月因為當x>1時

f

(x)>0

所以f(x)在[1

)上f(x)單調增加

因此當x>1時

f(x)>f(1)=0

即

例4.

證明:

當x>1時,

xx132->.

)13(2)(xxxf--=證明:

令,

則

也就是xx132->(x>1).

第111頁，課件共171頁，創作于2023年2月例5.證明時,成立不等式證:

令從而因此且第112頁，課件共171頁，創作于2023年2月二、曲線的凹凸性與拐點問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方第113頁，課件共171頁，創作于2023年2月定義.

設函數在區間I上連續,(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱連續曲線上有切線的凹凸分界點稱為拐點

.圖形是凸的.二、曲線的凹凸與拐點第114頁，課件共171頁，創作于2023年2月觀察與思考

觀察切線斜率的變化與曲線凹凸性的關系.定理2(曲線凹凸性的判定法)設f(x)在[a

b]上連續

在(a

b)內具有二階導數.

若在(a

b)內f

(x)>0

則f(x)在[a

b]上的圖形是凹的

若在(a

b)內f

(x)<0

則f(x)在[a

b]上的圖形是凸的

第115頁，課件共171頁，創作于2023年2月

例6

判斷曲線y

x3的凹凸性

解

y

3x2

y

6x

由y

0

得x

0.

因為當x<0時

y

<0

所以曲線在(

0]內是凸的

因為當x>0時

y

>0

所以曲線在[0

)內是凹的

(0,0)是曲線的拐點.設f(x)在[a

b]上連續

在(a

b)內具有二階導數.

若在(a

b)內f

(x)>0

則f(x)在[a

b]上的圖形是凹的

若在(a

b)內f

(x)<0

則f(x)在[a

b]上的圖形是凸的

定理2(曲線凹凸性的判定法)第116頁，課件共171頁，創作于2023年2月例7.

判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.注:1)若在某點二階導數為0,2)根據拐點的定義及上述定理,可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側異號,則點是曲線的一個拐點.則曲線的凹凸性不變.在其兩側二階導數不變號,第117頁，課件共171頁，創作于2023年2月例8.

求曲線的拐點.解:不存在因此點(0,0)為曲線的拐點.凹凸第118頁，課件共171頁，創作于2023年2月例9.

求曲線的凹凸區間及拐點.解:1)求2)求拐點可疑點坐標令得對應3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(0,1)及均為拐點.凹凹凸第119頁，課件共171頁，創作于2023年2月例10.

證明不等式證明設則當n>1時;在(0,+∞)所以在(0,+∞)內,f(t)是凹函數,所以對于任意的x,y

滿足有即所以第120頁，課件共171頁，創作于2023年2月內容小結1.可導函數單調性判別在I

上單調遞增在I

上單調遞減2.曲線凹凸與拐點的判別+–拐點—連續曲線上有切線的凹凸分界點第121頁，課件共171頁，創作于2023年2月思考與練習上則或的大小順序是()提示:

利用單調增加,及B1.設在第122頁，課件共171頁，創作于2023年2月

.2.曲線的凹區間是凸區間是拐點為提示:及

;

;證明:當時，有提示:令,則

3.第123頁，課件共171頁，創作于2023年2月的連續性及導函數例4.填空題(1)設函數其導數圖形如圖所示,單調減區間為

;極小值點為

;極大值點為

.提示:的正負作f(x)的示意圖.單調增區間為

;第124頁，課件共171頁，創作于2023年2月

.在區間

上是凸弧;拐點為提示:的正負作f(x)的示意圖.形在區間

上是凹弧;則函數

f(x)的圖(2)

設函數的圖形如圖所示,第125頁，課件共171頁，創作于2023年2月函數的極值與最大值最小值一、函數的極值及其求法

二、最大值最小值問題第126頁，課件共171頁，創作于2023年2月函數的極值設函數f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內有定義

如果對于任意x

U(x0)有f(x)

f(x0)(或f(x)

f(x0))

則稱f(x0)是函數

f(x)的一個極大值(或極小值)

。x1x2x3x4x5函數的極大值與極小值統稱為函數的極值,使函數取得極值的點稱為極值點.一、函數的極值及其求法

對常見函數,極值可能出現在導數為0或不存在的點.函數的極值是函數的局部性質.第127頁，課件共171頁，創作于2023年2月設函數f(x)在點x0處可導,且在x0處取得極值,那么f

(x0)

0.駐點使導數f

(x)為零的點(方程f

(x)

0的實根)稱為函數f(x)的駐點.定理1(必要條件)思考:

極值點是否一定是駐點？駐點是否一定是極值點？思考:

極值點不一定是駐點.如y=|x|,x=0是極值點,但不可導駐點不一定是極值點.如y=x3,x=0是駐點,但不是極值點.第128頁，課件共171頁，創作于2023年2月定理2

(極值第一判別法)且在空心鄰域內有導數,(1)“左正右負”,(2)“左負右正”,點擊圖中任意處動畫播放\暫停確定極值點和極值的步驟

(1)求出導數f

(x);(2)求出f(x)的全部駐點和不可導點;(3)考察在每個駐點和不可導點的左右鄰近f

(x)的符號;(4)確定出函數的所有極值點和極值.第129頁，課件共171頁，創作于2023年2月例1.

求函數的極值.解:1)求導數2)求極值可疑點令得令得3)列表判別是極大點，其極大值為是極小點，其極小值為第130頁，課件共171頁，創作于2023年2月定理3

(極值第二判別法)二階導數,且則在點取極大值;則在點取極小值.證:

(1)存在由第一判別法知(2)類似可證.第131頁，課件共171頁，創作于2023年2月例2

求函數f(x)

(x2

1)3

1的極值

解f

(x)

6x(x2

1)2

令f

(x)

0

求得駐點x1

1

x2

0

x3

1

f

(x)

6(x2

1)(5x2

1)

因為f

(0)

6

0

所以f(x)在x

0處取得極小值

極小值為f(0)

0

因為f

(

1)

f

(1)

0

所以用定理3無法判別

因為在

1的左右鄰域內f

(x)

0

所以f(x)在

1處沒有極值

同理

f(x)在1處也沒有極值

第132頁，課件共171頁，創作于2023年2月試問為何值時,在時取得極值,還是極小.解:

由題意應有又取得極大值為求出該極值,并指出它是極大例3第133頁，課件共171頁，創作于2023年2月二、最大值與最小值問題

則其最值只能在極值點或端點處達到.求函數最值的方法:若函數f(x)在閉區間[a

b]上連續

(1)求出函數f(x)在(a

b)內的駐點和不可導點設這此點為x1

x2

xn;

(2)計算函數值

f(a)

f(x1)

f(xn)

f(b);(3)上述函數值中的最大者是函數f(x)在[a

b]上的最大值

最小者是函數f(x)在[a

b]上的最小值

特別:

當在內只有一個極值可疑點時,若在此點取極大(小)值,則也是最大(大)值.

對應用問題,有時可根據實際意義判別求出.第134頁，課件共171頁，創作于2023年2月例4.

求函數在閉區間上的最大值和最小值.解:

顯然且故函數在取最小值0;在及取最大值5.第135頁，課件共171頁，創作于2023年2月(k為某一常數)例5.

鐵路上AB段的距離為100km,工廠C

距A處20AC⊥

AB,要在AB

線上選定一點D

向工廠修一條已知鐵路與公路每公里貨運價之比為3:5,為使貨D點應如何選取?20解:

設則令得又所以為唯一的極小點,故AD=15km時運費最省.總運費物從B運到工廠C的運費最省,從而為最小點,問Km,公路,第136頁，課件共171頁，創作于2023年2月例6.假設某工廠生產某產品x千件的成本是售出該產品x件的收入是解:

由題意，售出x千件產品的利潤是即令而在得發生局部處達到最大利潤，又故在問是否存在一個能取得最大利潤生產水平？若存在，找出這個水平.解得最大虧損.第137頁，課件共171頁，創作于2023年2月內容小結1.連續函數的極值(1)極值可疑點:使導數為0或不存在的點(2)第一充分條件過由正變負為極大值過由負變正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值最值點應在極值點和邊界點上找;應用題可根據問題的實際意義判別.2.連續函數的最值第138頁，課件共171頁，創作于2023年2月一、曲線的漸近線無漸近線.點M

與某一直線L的距離趨于0,定義.

若曲線

C上的點M沿著曲線無限地遠離原點時,則稱直線L為曲線C

的漸近線.例如,雙曲線有漸近線但拋物線或為“縱坐標差”第139頁，課件共171頁，創作于2023年2月1.水平與鉛直漸近線若則曲線有水平漸近線若則曲線有垂直漸近線例1.

求曲線的漸近線.解:為水平漸近線;為垂直漸近線.第140頁，課件共171頁，創作于2023年2月2.斜漸近線斜漸近線若第141頁，課件共171頁，創作于2023年2月例2.

求曲線的漸近線.解:所以有鉛直漸近線及又因為曲線的斜漸近線.第142頁，課件共171頁，創作于2023年2月曲率一、弧微分二、曲率及其計算公式三、曲率圓與曲率半徑第143頁，課件共171頁，創作于2023年2月曲線的基點與正向

設函數f(x)在區間(a

b)內具有連續導數

在曲線y

f(x)上取固定點M0(x0

y0)作為度量弧長的基點

并規定依x增大的方向作為曲線的正向

一、弧微分有向弧段的值MM0(弧)如下

s的絕對值等于這弧段的長度

當有向弧段的方向與曲線的正向一致時s>0

相反時s<0

s<0對曲線上任一點M(x

y)

MM0(規定有向弧段的值s(簡稱s>0第144頁，課件共171頁，創作于2023年2月上的對應點為M

N

并設對應于x的增量Dx

弧s的增量為Ds.因為當Dx

0時

Ds~

MN

又Dx與Ds同號

所以由此得弧微分公式:

或者弧微分公式設x

x

Dx為(a

b)內兩個鄰近的點

它們在曲線y

f(x)第145頁，課件共171頁，創作于2023年2月曲率是描述曲線局部性質（彎曲程度）的量．)彎曲程度越大轉角越大轉角相同弧段短的彎曲大1、曲率的定義))二、曲率及其計算公式問題:怎樣刻畫曲線的彎曲程度？提示：

可以用單位弧段上切線轉過的角度的大小來表達弧段的平均彎曲程度.第146頁，課件共171頁，創作于2023年2月二、曲率及其計算公式在光滑弧上自點M

開始取弧段,其長為對應切線定義弧段上的平均曲率點

M

處的曲率注:

直線上任意點處的曲率為0!轉角為第147頁，課件共171頁，創作于2023年2月例1.

求半徑為R的圓上任意點處的曲率.解:

如圖所示,可見:R

愈小,則K

愈大,圓弧彎曲得愈厲害;R

愈大,則K

愈小,圓弧彎曲得愈小.第148頁，課件共171頁，創作于2023年2月有曲率近似計算公式故曲率計算公式為又曲率K的計算公式二階可導,設曲線弧則由第149頁，課件共171頁，創作于2023年2月注:參數方程下曲率的計算第150頁，課件共171頁，創作于2023年2月

例2

計算等邊雙曲線xy

1在點(1,1)處的曲率.曲線在點(1

1)處的曲率為因此y

|x

1

1

y

|x

1

2

解

第151頁，課件共171頁，創作于2023年2月例3

拋物線y

ax2

bx

c上哪一點處的曲率最大？

解

由y

ax2

bx

c

得

y

2ax

b

y

2a

代入曲率公式

得顯然

當2ax

b

0時曲率最大

因此

拋物線在頂點處的曲率最大

此處K

|2a|

第152頁，課件共171頁，創作于2023年2月例4.求橢圓在t=0處的曲率.解:故曲率為在t=0處,即在點(a,0)的曲率為第153頁，課件共171頁，創作于2023年2月三、曲率圓與曲率半徑設M

為曲線C

上任一點,在點在曲線把以D為中心,R

為半徑的圓叫做曲線在點

M

處的曲率圓(密切圓),R

叫做曲率半徑,D

叫做曲率中心.在點M

處曲率圓與曲線有下列密切關系:(1)有公切線;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M

處作曲線的切線和法線,的凹向一側法線上取點D

使第154頁，課件共171頁，創作于2023年2月

1.曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲率互為倒數.注:

2.曲線上一點處的曲率半徑越大,曲線在該點處的曲率越小(曲線越平坦);曲率半徑越小,曲率越大(曲線越彎曲).

3.曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附近曲線弧(稱為曲線在該點附近的二次近似).第155頁，課件共171頁，創作于2023年2月內容小結1.弧長微分或2.曲率公式3.曲率圓曲率半徑第156頁，課件共171頁，創作于2023年2月

謝謝大家！第157頁，課件共171頁，創作于2023年2月

提問時間：10分鐘第158頁，課件共171頁，創作于2023年2月邊際與彈性問題一、邊際分析

19世紀中后葉，勒翁·瓦爾拉斯和杰文斯提出“邊際效用理論”的經濟學，格森和門格爾也致力于這種理論的研究并獲得了很大成果。后來經濟學家發現，“邊際”就是數學中的“導數”或“偏導數”。例如：

定義

總成本函數C(Q)的導數C′(Q)稱為邊際成本函數，也記作MC；總收入函數R(Q)的導數R′(Q)稱為邊際收入函數，也記作MR；總利潤函數L(Q)的導數L′(Q)稱為邊際利潤函數，也記作ML。

顯然有L′(Q)=R′(Q)-

C′(Q)。第159頁，課件共171頁，創作于2023年2月例

設某產品的總成本函數為C(Q)=400+3Q+0.5Q2。而需求量(產量)Q與價格p的關系為和邊際利潤。

答案練習某酸乳酪商行發現酸乳酪的收入函數和成本函數分別為單位為千升，C(Q)、R(Q)的單位為千元，求邊際成本、邊際收入和邊際利潤。

答案第160頁，課件共171頁，創作于2023年2月對于多元函數，同樣稱其偏導數為邊際函數。

設甲、乙兩種商品，他們的價格分別為p1和p2，需求量Q1和Q2由價格p1和p2和消費者的收入M確定，記需求函數為：Q1(

p1,p2,M)、Q2(

p1,