二次函數(shù)應(yīng)用常見題型總結(jié)一、利潤型（2013貴州省畢節(jié)市，25，12分）某商品的進(jìn)價(jià)為每件20元，售價(jià)為每件30，每個月可買出180件；如果每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個月就會少賣出10件，但每件售價(jià)不能高于35元，設(shè)每件商品的售價(jià)上漲元（為整數(shù)），每個月的銷售利潤為的取值范圍為元。（1）求與的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；（2）每件商品的售價(jià)為多少元時(shí)，每個月可獲得最大利潤？最大利潤是多少？(3)每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個月的利潤恰好是1920元？（2013山東省青島市，22，10）（10分）在“母親節(jié)”期間，某校部分團(tuán)員參加社會公益活動，準(zhǔn)備購進(jìn)一批許愿瓶進(jìn)行銷售，并將所得利潤捐給慈善機(jī)構(gòu).根據(jù)市場調(diào)查，這種許愿瓶一段時(shí)間內(nèi)的銷售量y（個）與銷售單價(jià)x（元/個）之間的對應(yīng)關(guān)系如圖所示：⑴試判斷y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式；⑵若許愿瓶的進(jìn)價(jià)為6元/個，按照上述市場調(diào)查的銷售規(guī)律，求銷售利潤w（元）與銷售單價(jià)x（元/個）之間的函數(shù)關(guān)系式；⑶若許愿瓶的進(jìn)貨成本不超過900元，要想獲得最大的利潤，試確定這種許愿瓶的銷售單價(jià)，并求出此時(shí)的最大利潤.2.有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養(yǎng)最多只能活兩天，如果放養(yǎng)在塘內(nèi)，可以延長存活時(shí)間，但每天也有一定數(shù)量的蟹死去，假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個體重量基本保持不變，現(xiàn)有一經(jīng)銷商，按市場價(jià)收購了這種活蟹1000千克放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時(shí)市場價(jià)為每千克30元，據(jù)測算，以后每千克活蟹的市場價(jià)每天可上升1元，但是放養(yǎng)一天需各種費(fèi)用支出400元，且平均每天還有10千克蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全部售出，售價(jià)都是每千克20元。（1）設(shè)X天后每千克活蟹的市場價(jià)為P元，寫出P關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式。（2）如果放養(yǎng)X天后將活蟹一次性出售，并記1000千克蟹的銷售額為Q元，寫出Q關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式。（3）該經(jīng)銷商將這批蟹放養(yǎng)多少天后出售，可獲最大利潤（利潤=銷售總額—收購成本—費(fèi)用），最大利潤是多少？二、運(yùn)動型問題10、某校九年級的一場籃球比賽中，如圖隊(duì)員甲正在投籃，已知球出手時(shí)離地面高M(jìn)，與籃圈中心的水平距離為7M，當(dāng)球出手后水平距離為4M時(shí)到達(dá)最大高度4M，設(shè)籃球運(yùn)行的軌跡為拋物線，籃圈距地面3M（1）建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，問此球能否準(zhǔn)確投中。（2）此時(shí)，若對方隊(duì)員乙在甲前面1M處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為3.1M，那么他能否獲得成功？三、涵洞型問題2．如圖，有一座拋物線形拱橋，在正常水位時(shí)水面AB的寬為20m，如果水位上升3m時(shí)，水面CD的寬是10m．（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求此拋物線的解析式．（2）現(xiàn)有一輛載有救援物資的貨車從甲地出發(fā)需經(jīng)過此橋開往乙地，已知甲地距此橋280km（橋長忽略不計(jì)）．貨車正以每小時(shí)40km的速度開往乙地，當(dāng)行駛1h時(shí)，忽然接到緊急通知：前方連降暴雨，造成水位以每小0.25m的速度持續(xù)上漲（貨車接到通知時(shí)水位在CD處，當(dāng)水位達(dá)到橋拱最高點(diǎn)O時(shí)，禁止車輛通行）．試問：如果貨車按原來速度行駛，能否安全通過此橋？若能，請說明理由．若不能，要使貨車安全通過此橋，速度應(yīng)超過每小時(shí)多少千米？四、二次函數(shù)與三角形（2013廣州市，24，14分）如圖9，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C。（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）設(shè)D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若直線l過點(diǎn)E（4，0），M為直線l上一動點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個時(shí)，求直線l解析式。五、二次函數(shù)與四邊形2013四川宜賓，22，10分）如圖，拋物線y=x-2x+c的頂點(diǎn)A在直線l：y=x-5.求拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C、D（C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)），試判斷△ABD的形狀；在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。六、二次函數(shù)與圓24、（2013?煙臺壓軸題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B，與x軸分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣，0），以0C為直徑作半圓，圓心為D．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求證：直線BE是⊙D的切線；（3）若直線BE與拋物線的對稱軸交點(diǎn)為P，M是線段CB上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)B，C不重合），過點(diǎn)M作MN∥BE交x軸與點(diǎn)N，連結(jié)PM，PN，設(shè)CM的長為t，△PMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．S是否存在著最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．12、（2013?寧波壓軸題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣4，0），點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動，連結(jié)CP與y軸交于點(diǎn)D，連結(jié)BD．過P，D，B三點(diǎn)作⊙Q與y軸的另一個交點(diǎn)為E，延長DQ交⊙Q于點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF．（1）求直線AB的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB（不包括A，B兩點(diǎn)）上時(shí)．①求證：∠BDE=∠ADP；②設(shè)DE=x，DF=y．請求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）請你探究：點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，是否存在以B，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的直角三角形，滿足兩條直角邊之比為2：1？如果存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)：如果不存在，請說明理由．七、動點(diǎn)與二次函數(shù)30、（2013?衡陽）如圖，已知拋物線經(jīng)過A（1，0），B（0，3）兩點(diǎn)，對稱軸是x=﹣1．（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)M從M從O點(diǎn)出發(fā)以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運(yùn)動，過點(diǎn)Q作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒．①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OMPQ為矩形；②△AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．2013衡陽（2013湖南衡陽市，27，10）如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（8，0）、（0，6），點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A作勻速直線運(yùn)動，速度為每秒3個單位長度，點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）方向向點(diǎn)O作勻速直線運(yùn)動，速度為每秒2個單位長度，連接PQ，若設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（0＜t＜）秒．答案如下問題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BO？（2）設(shè)△AQP的面積為S，①求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；②若我們規(guī)定：點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則新坐標(biāo)（x2﹣x1，y2﹣y1）稱為“向量PQ”的坐標(biāo)．當(dāng)S取最大值時(shí)，求“向量PQ”的坐標(biāo)．20、（2013?衢州壓軸題）在平面直角坐標(biāo)系x、y中，過原點(diǎn)O及點(diǎn)A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分線交AB于點(diǎn)D．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿射線OD方向移動；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向移動．設(shè)移