三維勻強磁場區域特性的仿真分析

勻強磁場的實驗模型自出版以來，該光纖雕塑以其高可靠性、成本低、體積小等優點而成為研究的熱點。然而,國內外尚缺乏對光纖陀螺磁場敏感特性的理論以及工程研究。為研究光纖陀螺的磁敏感特性,首先需要構建一個磁場均勻性好、范圍大的三維勻強磁場環境,而勻強磁場在物理學的理論分析和實驗研究中都起著十分重要的作用。亥姆霍茲線圈是由一對相同的、共軸的、彼此平行的各密繞有N匝電流線圈所組成。由于它結構簡單又能產生均勻性較好的磁場,因此成為磁測量等物理實驗的重要組成部件。目前,雖然關于圓形亥姆霍茲線圈構建勻強磁場的研究較多,但因其不便于加工、定位,故難以在工程中構建大型三維勻強磁場。為滿足研究光纖陀螺磁敏感性的實際應用需求,文中將采用正方形亥姆霍茲線圈為模型,構建三維勻強磁場。針對正方形亥姆霍茲線圈產生的磁場進行分析,研究其軸線上和空間磁場均勻性,及由其構建的三維勻強磁場的磁場特性。1正方形載流線圈的建立首先分析單一正方形載流線圈軸線上的磁場強度。將正方形載流線圈視為四段載流導線,采用分段計算然后矢量疊加的方法,得到正方形載流線圈中心軸線上磁場分布的一般表達式。根據畢奧—薩伐爾定律可以推導出一段載流直導線在空間某點p產生的磁場為式(1)中,μ0=4π×10-7N·A-2為真空磁導率,I為電流強度,θ1、θ2為導線兩端到點p的連線與導線夾角,d為點p到導線的距離,磁場方向與電流方向成右手螺旋關系。將正方形載流線圈視為四段載流直導線,利用式(1)可以求解其磁場分布情況。如圖1,取正方形線圈的中心為坐標原點,平行于水平邊向右為x軸正方向,垂直于紙面向內的方向為y軸正方向,z軸垂直于線圈平面。z軸方向與電流方向形成右手螺旋關系,設正方形邊長為2l。AB邊電流在P點產生的磁感應強度:同理,BBC=BCD=BDA=BAB,由正方形對稱性可知,BAB與BCD相對于z軸對稱并且BBC與BDA也相對于z軸對稱,所以它們沿垂直于z軸方向的分量相互抵消,而沿z軸方向的分量相互疊加為:現稱一對相同的、共軸的、彼此平行的各密繞有N匝線圈的正方形載流線圈為正方形亥姆霍茲線圈,如圖2所示。對于正方形亥姆霍茲線圈軸線上的磁場分析,1、2分別表示線圈1與線圈2,設正方形載流線圈邊長為2l,所通電流I同向,兩者相距為2a,以兩線圈之間中心軸線的中點O作為坐標原點,兩線圈在中心軸線上Q處產生的磁感應強度分別等于:因為B1、B2的方向都為z軸正方向,所以點Q的磁場B=B1+B2也沿z軸正方向:2中央表面上的磁場由式(9)可知正方形亥姆霍茲線圈軸線上的磁場強度,為討論其磁場均勻性,作如下分析。磁場B的一階、二階導數分別為:由式(11)可見,當z=0時,dB/dz=0,故在線圈的中心點磁場有極值。若在z=0處使d2B/dz2=0,則磁場B在中心點O處存在拐點,中心點附近沿軸向分布的磁場最為均勻。所以,若要設計出中心磁場最均勻的方形亥姆霍茲線圈,只需使以下等式成立:經計算得a=0.5445l,將a的值代入式(9),可得N匝正方形亥姆霍茲線圈在軸線中心點O上產生的磁場強度Bo為:由上可知正方形亥姆霍茲線圈產生的磁場存在均勻磁場區域,在其軸線上,在-0.343l≤z≤0.343l范圍內,任意點磁場強度與中心點磁場強度Bo偏差小于1%。3軸向磁場bz均勻性的一般描述同樣,利用式(1)及上述方法討論正方形載流線圈的空間磁場。如圖3,由于正方形具有對稱性,不妨設點P(x,y,z)在xyz軸正方向上,首先計算AB邊在P點產生的磁場強度。將式(14)、式(15)、式(16)代入式(1)中,得:由于現主要討論其近軸范圍內的磁場特性,可以近似認為BAB垂直于PQ且與電流成右手螺旋關系,即BAB在垂直于y軸的平面內,與x軸正方向的夾角為∠QPS;與z軸正方向的夾角為∠PQS,從而可得BAB的三個分量的表達式:應用同樣的方法可求得其他三條邊的電流在P點產生的磁感應強度BBC、BCD、BDA及其在xyz軸方向產生的磁場分量,由于正方形載流線圈的對稱性,在其近軸區域,對于非軸線上的任一點兩線圈產生部分抵消的磁場分量Bx、By,經分析Bx、By要比Bz小幾個數量級。因此,不考慮Bx、By的影響,以下僅就其軸向磁場(Bz)均勻性進行討論。經計算可得正方形載流線圈在P點產生的磁感應強度Bz的分量表達式:4近軸區域網點空間磁場的均勻度圖4為正方形亥姆霍茲線圈的空間示意,設正方形載流線圈邊長為2l,所通電流I同向,兩者相距為2a,以兩線圈之間中心軸線的中點O作為坐標原點。在討論正方形亥姆霍茲線圈磁場的均勻度時,由于其磁感應強度比較復雜,故僅討論其近軸區域(中心點O附近)空間磁場的均勻性。式(21)求出單個正方形載流線圈的感應強度Bz的表達式,根據式(21)分別求出上下兩線圈的感應強度Bz的表達式并進行疊加,可求得亥姆霍茲線圈軸向磁場強度Bz的表達式,由于公式過長,故不再贅述。求Bz(x,y,z)的均勻度可以通過求Bz(x,y,z)與Bz(0,0,0)的相對偏差來表征:δ稱為磁場大小的偏差率,δ越小,均勻度越高。將最佳間距a=0.5445l代入到亥姆霍茲線圈軸向磁場強度Bz的表達式中,采用分析特征值的方法考慮x、y、z軸,xyz軸三條角平分線以及體對角線上磁場均勻性,應用MatLab進行數值計算可求得:圖5~圖9下圖為其特征值上磁場強度模擬曲線。5框架、黨組織地位及半短軸長及以二十七日制為主軸的區域合作結構的磁場分布亥姆霍茲線圈是構建均勻磁場的經典模式。在實際應用中,當需要磁場空間較大時,或當需要建立三維體系時,為了加工的便利,材料的節省乃至組裝定位的簡化,現采用正方形亥姆霍茲線圈獲得三維勻強磁場。文中通過搭建如圖10所示的三維亥姆霍茲線圈裝置構建一個可變的三維勻強磁場。裝置有6個框架,框架上安裝亥姆霍茲線圈,每個框架彼此絕緣。每兩個框架為一組,同一組框架尺寸相同,一組框架水平放置,另兩組垂直放置。同一組兩框架平行安裝,軸心線重合,任意兩組框架軸心線垂直。線圈通電形成三維磁場。由上文分析及式(13)可知,中心磁場強度滿足磁場矢量疊加原理,因此三維磁場強度矢量B為以xyz方向為主軸的三組亥姆霍茲線圈產生的磁場強度的矢量和:其中Rx,Ry,Rz分別為三組線圈的半邊長,Ix,Iy,Iz分別為三組線圈通電電流強度。其磁場均勻區域大小由三組線圈中邊長最小的一組線圈決定,設其為Rmin。又知其均勻性在各個方向上變化相近,但在xyz軸體對角線上變化最快,因此以xyz軸體對角線上數據為基準。若要求δ≤1%,則可近似得到以亥姆霍茲線圈框架中心點為球心,半短軸長為0.236Rmin的橢球形勻強磁場區域;若要求δ≤1‰,則可得到以亥姆霍茲線圈框架中心點為球心,半短軸長為0.133Rmin的橢球形勻強磁場區域。以實驗室設計的三維亥姆霍茲線圈裝置為例,其z軸框架最小,內邊長750mm,外邊長880mm。若要求δ≤1%,可得到半短軸長介于177~208mm之間的橢球形勻強磁場區域;若要求δ≤1‰,可得到半短軸長介于100~117mm之間的橢球形勻強磁場區域。鑒于一般光纖陀螺的半徑都小于100mm,因此該裝置完全滿足研究光纖陀螺磁敏感性的需求。6磁場強度仿真及結果分析文中分析了正方形亥姆霍茲線圈產生的軸線上以及空間磁場的磁場強度及其均勻性,給出了其數值計算公式。采用特征值法對磁場中