基于最小二乘原理的橡膠超彈性本構模型參數識別

本構模型的靜態特性和材料組合選擇原則橡膠材料是由長鏈、大鏈和網絡交連結構組成的超彈性材料。它具有良好的振動和抗衰減作用，深受汽車隔振器、輪胎和密封的應用。橡膠材料具有很強的非線性特征,準確描述其力-位移的非線性性質并建立相應的數學模型有較大的難度,因此橡膠材料超彈性本構模型的恰當選取及其參數的識別引起了學術界和工業界的廣泛關注。目前,可用于橡膠隔振器力-位移分析的本構模型較多,常見的有Mooney-Rivlin(MR)模型、VanderWaals(VDW)模型等。在不同的激振幅值、激振頻率和初始條件下,這些本構模型對橡膠件(如汽車隔振器等)的力-位移計算值與實測值的誤差較大。因此,研究橡膠材料本構模型在常見承載工況下的計算精度及其模型參數的識別方法對汽車隔振器的應力-應變分析具有重要的工程意義。國內外對橡膠本構模型的研究主要集中于模型的推導或在某一應變載荷下的計算精度。文獻和文獻中研究了MR模型處理橡膠試件大變形的精度問題,發現其具有較高的精度。文獻中在輪胎滾動阻力研究中得出Yeoh模型適應范圍較廣的結論。文獻中基于單軸試驗材料參數對比研究了Arruda-Boyce(A-B)模型、VDW模型和Yeoh模型的相對計算精度。文獻中研究了多項式模型及1階、2階和3階Ogden模型的穩定計算區間問題。上述研究尚未對不同本構模型在不同材料應變組合下的擬合精度做出探討;在不同加載條件下,不同橡膠本構模型在汽車橡膠隔振器靜態預測計算中的計算精度研究及其材料應變大小組合選擇的研究尚不多見。本文中選取汽車橡膠隔振器靜態預測計算廣泛使用的MR模型、Yeoh模型、3階Ogden(Ogden3)模型、A-B模型和VDW模型5種橡膠本構模型進行靜態預測計算精度的研究。為保證汽車橡膠隔振器靜態預測計算精度,獲取較為精確的橡膠材料本構模型參數是關鍵。因此,進行了橡膠材料的單軸拉伸、平面拉伸和等雙軸拉伸的工程應力-工程應變測試工作,利用最小二乘法識別不同本構模型的模型參數。選取某車型橡膠隔振器進行力-位移靜態特性和材料應變組合選擇原則的研究。分析了橡膠隔振器在3種加載條件下實測與計算的力-位移數據,結果發現:橡膠材料本構模型的擬合精度與其計算精度的變化趨勢基本一致;橡膠隔振器在力-位移計算中,為提高其計算精度,橡膠材料應變組合最大工程應變水平應≥計算試件最大工程應變水平;在所選工程應變范圍內,MR模型的計算穩定性最好,計算值與實測值誤差最小,VDW模型與Ogden3模型在較大工程應變范圍內也具有較好的計算精度。1本構理論本構模型就橡膠材料力學特性而言,其應力-應變關系較金屬材料具有更強的非線性。為描述橡膠材料的應力-應變非線性特性,一般假設其外部載荷所做的功全部存儲于彈性體內,通常將反映其變形梯度與應變勢能函數關系的模型稱為超彈性本構模型。通過對應變能密度函數的應變不變量求導,可得橡膠材料的工程應力與工程應變之間的本構關系。目前橡膠材料本構模型主要有基于分子統計理論和基于唯象理論兩大類。上述兩種理論的本構模型種類較多,在不同應變范圍內的計算精度差別較大。汽車橡膠隔振器受載工況復雜,故僅討論在工程計算中應用較多、且在各應變區間計算精度不同的5種本構模型:基于唯象理論的MR模型、Yeoh模型與Ogden3模型和基于熱力學或分子統計理論結構的A-B模型與VDW模型。應變勢能函數U的一般形式為式中:I1、I2、J分別為1階、2階、3階應變不變量,它們為3個主拉伸比的函數;C1、C2、…、Cm為m個超彈性材料的剪切特性常數;d1、d2、…、dn為n個超彈性材料的壓縮特性常數。I1、I2、J與超彈性材料的3個主拉伸比λ1、λ2、λ3的關系為1.1材料的應變權利cMR模型的應變勢能函數為式中:W為單位體積的應變勢能;C10、C01和D1均為依賴于溫度的模型參數,當D1=0時,該材料為完全不可壓縮;Jel為彈性體積應變比。1.2yeoh模型Yeoh模型的應變勢能函數為式中:Ci0為依賴于溫度的模型參數,i=1,2,3。1.3ogdn3模型Ogden模型的應變勢能函數為式中μi、αi均為描述溫度函數的模型參數。1.4數為式的力學模型A-B模型又稱八鏈模型,其應變勢能函數為式中:,這些模型參數通過熱力學統計方法得到,具有明確的物理含義;λm為鎖死伸長率;D=2/K,K為體積模量。1.5vdw模型VDW模型的應變勢能函數為式中:;μ為初始剪切模量;a為全局相互作用參數;β為不變量混合參數。2橡膠材料試驗和模型參數的識別方法2.1工作特性分析若要精確的識別橡膠材料本構模型的參數,通常須進行單軸拉伸、平面拉伸和等雙軸拉伸材料試驗,平面拉伸對應純剪切變形、等雙軸拉伸對應單軸壓縮。圖1為3種材料應力-應變測試裝置和加載方向。根據汽車橡膠減振器的實際變形和選材情況,選取某種橡膠材料作為測試對象,測量標準試件在0.5、1和2的3種典型工程應變下的材料數據。標準試件工程應變的計算式為式中:εC為工程應變;l0為試件初始長度;l為試件承載后長度;Δl為試件伸長量。因此0.5、1和2的工程應變分別相當于標準試件伸長量為原有試件長度的0.5倍、1倍和2倍。試片在初始幾個加載循環時,其應力-應變曲線與穩定時區別較大,隨著加載次數的增加,同一應變下的應力最大值減小,這種應力減少現象稱為馬林斯效應(Mullineffect),如圖2所示。為保證計算精度,工程計算中一般選用3次加載循環以后加載段的材料數據進行模型參數擬合。2.2狀態理論工程應力假設橡膠為不可壓縮材料,對其勢能函數在單軸拉伸、等雙軸拉伸和平面拉伸3種狀態下的拉伸率求導,可求得對應拉伸狀態理論工程應力:式中:λU、λB和λP分別為單軸、等雙軸和平面拉伸的拉伸率;σith為理論工程應力。式(9)中不同拉伸狀態下的應變不變量I1和I2分別為利用最小二乘法擬合實測材料的應力-應變數據,進而求取唯一的本構模型參數。本構模型的擬合誤差為式中:σitest為實驗測試應力;E為實測應力與計算工程應力的相對誤差平方和。3橡膠結構模型的參數識別和安裝精度3.1材料數據組合工程計算中一般利用橡膠材料的單軸、等雙軸和平面拉伸實驗數據識別其模型參數。對3種應變水平0.5、1和2的材料數據進行組合,如表1所示。汽車橡膠隔振器在實際應用中單軸壓縮變形和純剪切變形(相當于等雙軸拉伸變形)相對較小,因此,在材料應變組合中以單軸拉伸工程應變最大,平面拉伸工程應變次之,等雙軸拉伸工程應變最小。表1中1#、2#和3#應變組合分別對應橡膠材料承載較小、中等和較大的應變狀況。3.2結構模型擬合誤差表2~表6為利用實測工程應力-工程應變數據識別的模型參數和不同模型的擬合誤差。綜合分析各表可知,就擬合誤差而言,最大工程應變為0.5的1#材料應變組合中MR和Yeoh模型的擬合精度較高,其擬合誤差約為3%;其余3種本構模型的擬合誤差均在10%左右。最大工程應變為1的2#材料應變組合中,MR模型的擬合誤差最小,約為3.39%;Yeoh模型的擬合誤差次之,約為6%;Ogden3模型和VDW模型的擬合誤差約為10%。最大工程應變為2的3#材料應變組合中,MR模型的擬合誤差最小,為9.15%;Ogden3模型和VDW模型的擬合誤差均在10%左右,在3種應變組合中A-B模型的擬合誤差都最大,約在12%~16%的范圍。4橡膠驅動器對位移關系的分析4.1試驗加載條件試驗設備為MTS831測試系統,可測量橡膠件的靜態與動態的力-位移曲線,還可測量橡膠件的滯后角與蠕變等性能參數,如圖3所示。橡膠試件靜態加載條件如表7所示。試驗加載形式為軸向位移,其最大工程應變0.38、1和1.56分別對應于車輛在較為平順、較為顛簸和極為顛簸的路況行駛。加載位置為其端面,為消除馬林斯效應的影響,3次加載循環后通過力、位移傳感器記錄其端面響應試驗數據。4.2abaqus有限元分析軟件介紹被測橡膠隔振器結構和尺寸如圖4所示。該試件兩端的圓形金屬塊硫化在橡膠體內,可進行拉伸和輕微壓縮測試。其兩端面均可作為加載端。首先使用CATIA建立3D數模。兩端金屬塊視為剛度無窮大,利用hypermesh軟件繪制出如圖5所示的有限元網格模型,共包含12386個六面體單元。最后,將網格模型導入Abaqus有限元分析軟件,約束其任一端面的6個方向自由度,在另一端軸向加載,測得圓弧凹點的拉伸工程應力和工程應變值。首先將橡膠元件離散化;隨之選擇位移插值函數;然后進行單元分析,單元應變、單元應力關于位移參數的函數分別為式中:f為單元體內任意一點的位移列陣;N為形函數矩陣;δe為單元節點列陣;ε為單元應變;B為幾何矩陣;σ為單元應力;D為彈性矩陣;S為單元應力矩陣。根據虛功原理求取單元體節點的力與位移的關系式為式中:Fe為節點載荷;Ke為剛度矩陣。由于橡膠元件有很強的非線性特性,故不能簡單使用式(16)求取其單元的應力-位移的關系。通常使用式(3)~式(6)所示的超彈性體本構模型來求取它們之間的應力-應變關系。進而使用式(17)和式(18)求橡膠元件加載載荷。Abaqus軟件中具有較多的非線性超彈性體本構模型,如MR模型和Ogden模型等,試驗中橡膠隔振器的應變、位移采用該軟件進行。對橡膠隔振器加載3種工程應變0.38、1和1.56時,通過Abaqus軟件計算3種應變所對應的加載位移如表7所示。4.3各點強度下的相對誤差試驗共測取8個試件的力-位移數據,間隔為0.1mm。由于在較小位移間隔內橡膠隔振器的力-位移可視為線性關系,故可在整個加載位移范圍內選取100個點進行線性插值,求取各點力-位移平均值,然后計算各本構模型的相對誤差,即式中:EMean為平均相對誤差;N為插值點數,N=100;Fitest為第i個插值點處的實測拉伸力;Fical為第i個插值點處的計算拉伸力。4.3.1材料應變組合對本構模型的影響選取非線性較強的0~50mm位移加載下的實驗數據進行分析。圖6為各本構模型在0~50mm位移加載時的計算值與實測值的力-位移關系曲線。由圖6可知,在3種不同材料應變組合方式中,5種橡膠本構模型的力-位移曲線均不能重疊,說明各模型力-位移計算值均受材料應變組合影響。圖6中3#應變組合的曲線均與實測曲線較為接近;1#應變組合的曲線與實測曲線偏離最遠;2#應變組合的曲線居中。說明在橡膠隔振器靜態預測計算時材料應變應與測試對象的最大工程應變基本接近。圖6中,VDW模型、Yeoh模型和Ogden3模型的力-位移曲線較為分散,而MR模型在3種材料應變組合中計算偏差均不很大,說明MR模型具有較為穩定的計算能力,VDW模型、Yeoh模型、Ogden3模型的計算精度受材料應變組合的影響較大。因此,在下面各模型的計算精度對比研究中,選擇材料應變組合最大工程應變與試件最大工程應變較為接近的組合進行橡膠材料的靜態力-位移預測計算。4.3.2材料模型的力-位移曲線圖7為3種加載位移下各模型的力-位移關系曲線。由圖7(a)可見,在0~12mm的加載范圍內(最大工程應變為0.38),MR模型的力-位移曲線與實測曲線最為接近,其余模型均與實測曲線偏離較大,Yeoh模型偏離最遠。由圖7(b)可見,在0~30mm的加載范圍內(最大工程應變為1),MR模型、VDW模型和Ogden3模型的力-位移曲線與實測曲線最為接近,Yeoh模型與A-B模型的力-位移曲線與實測曲線偏離較遠。由圖7(c)可見,在0~50mm的加載范圍內(最大工程應變為1.56),各模型的力-位移曲線與實測曲線接近趨勢與圖7(b)中基本一致;其中MR模型、VDW模型和Ogden3模型的計算曲線與實測曲線更接近。另外,使用3種材料應變組合計算5種模型在0~0.38、0~1和0~1.56工程應變范圍內橡膠隔振器力-位移的計算誤差分別為:MR模型的相對計算誤差為6.31%;在靜態計算時MR模型所選材料應變組合的工程應變應大于或等于試件承載最大工程應變;其余4種模型在橡膠隔振器力-位移計算中,在0~0.38工程應變范圍內均具有10%以上的相對誤差;在0~1、0~1.56工程應變范圍內,VDW模型和Ogden3模型的相對誤差較小。如以較小應變材料應變組合計算較大試件變形的力-位移,Ogden3模型和A-B模型將產生20%左右的相對誤差。5各本構模型計算結果(1)不同橡膠材料應變組合對橡膠本構模型的計算精度影響較大。在5種模型