第一章概率論的基本概念一、概率的性質(1)0≤P(A)≤1.(3)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB).(4)P(A)=1-P(A).P(A-B)=P(A)-P(B),P(B)≥P(A).事件之間的關系(4)(2)AUA?ULUA,=S.P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A?)P(A?)+P(B|A(2)AUA?ULUA,=S.則(2)若已知取得的是紅球，則從甲袋放入乙袋的是紅球的概率是多少?解：設A;表示從甲袋放入乙袋的一球是紅球，則A;表示從甲袋放入乙袋的一球是白球，設A?表示從乙袋取的一球是紅球，則§1.5事件的獨立性一、事件的獨立性定義.若兩事件A,B滿足P(AB)=P(A)P(B),則稱A,B相互獨立。第二章隨機變量及其分布一、隨機變量與分布函數單值實函數，則稱x為隨機變量。R定義設x為一個隨機變量，x為任意實數，稱函數F(x)=P(X分布函數的性質(3)F(x)對自變量x右連續，即對任意實數x,F(x+0)=F(x)§2.2一維離散型隨機變量一、離散型隨機變量定義離散型隨機變量x只可能取有限個或可列個值，設x可能定義設離散型隨機變量x可能取的值為x,x..x...,且x取這則稱上述一系列等式為隨機變量x的分布律。由概率的定義知，離散型隨機變量x的概率分布具有以下兩個性(1)Px≥0,(k=1,2..)(非負性)(2)(歸一性)二、幾種常用的離散型分布如果隨機變量x只可能取0和1兩個值，且它的分布列為P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,(0<p<1),則稱x服從0—1分布。其分X10Pp2.二項分布如果隨機變量x只可能取的值為0,1,2,…,n,它的分布律為P(X=k)=Cp'q"*,(k=01,2…n)其中o<p<1,q=1-p,則稱x服從參數為n,p的二項分布，記為x~b(n,p)3.泊松分布如果隨機變量x所有可能取的值為0,1,2,…,它取各個值的概率為,其中A>0是常數，則稱x服從參數為n的泊松分布，記為x~π(2).例：設X~π(A),P[X=1}=P{X=2},則P(X=1)=.§2.3連續型隨機變量的概率密度一、概率密度的概念定義設隨機變量x的的分布函數為F(x),如果存在一個非負可積函數f(x),使得對于任意實數x,有：則稱x為連續型隨機變量，而f(x)稱為x的概率密度。由概率密度的定義及概率的性質可知概率密度f(x)必須滿足：(4)若f(x)在點x處連續，則有F(x)=f(x).例設隨機變量X具有概率密度(1)試確定常數K;得K=3.于是x的概率密度丁丁二、幾個常用的連續型隨機變量的分布1.均勻分布如果隨機變量x的概率密度為則稱x服從[a,b]上的均勻分布，記為x~U(a,b)。2.指數分布如果隨機變量x的概率密度為則稱x服從參數為θ的指數分布。3.正態分布如果隨機變量x的概率密度為X～N(μ,a2).特別的，當μ=0,a2=1時，稱x服從標準正態分布，即x～N(0,1),概率密度為標準正態分布的分布函數為對于標準正態分布的分布函數，有下列等式例設隨機變量X～N(1,4),則P[X≤1}=X-1012Y-3-113例設連續型隨機變量x具有概率密度fx(x),求隨機變量上式兩邊對y求導數得于是第三章二維隨機變量及其分布§3.1二維隨機變量及分布函數定義設s為隨機試驗E的樣本空間，X,γ是定義在s上的隨機變量，則稱有序數組(x,Y)為二維隨機變量或稱為二維隨機向量。定義設(X,Y)是二維隨機變量，對于任意實數x,y,稱二元函數F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)為二維隨機變量(X,Y)的分布函數，或稱為二維隨機變量的分布函數的性質x<x?時有F(x,y)≤F(x?,y);對于任意固定的x,當yi<y?時有F(x,y?)≤F(x,y?).(3)對于任意固定的y,;對于任意固定二維離散型隨機變量定義如果二維隨機變量(x,Y)可能取的值只有有限個或可列Xx?xx?x……二維分布密度具有以下性質：個區域；(4)如果二維連續型隨機變量(x,Y)的密度f(x,y)連續，(x,Y)的分布函數為F(x,y),則用性質的題在后面§3.2邊緣分布與隨機變量的獨立性一、邊緣分布稱分量x的概率分布為(X,Y)關于x的邊緣分布；分量γ的概率分布為(x,Y)關于γ的邊緣分布。它們的分布函數與密度函數分別記先看離散情況：記,所以關于x的邊緣分布律為：XX?X...Pi.·關于γ的邊緣分布列為：YP.jP·下面看連續型的情形：定理設f(x,y)是(X,Y)的聯合概率密度，則分別是(X,Y)關于x,r的邊緣概率密度函數。D.PP?2…Pj…P21P22…P2j……:…P?P.jP?P?…P.j…x,r的概率分布，則x,r相互獨立的充要條件是：對所有的i,j,YX0110123%27試求(x,Y)關于x和關于y的邊緣分布，并判斷x,γ是否相互獨立?解由表中可按行加得p.,按列加得p.,得關于X的邊緣分布X0123P.P8及關于Y的邊緣分布Y0123P.j89,而,所以x,γ互不獨立。例設二維隨機變量具有密度函數(1)常數c;(2)(X,Y)落在如圖2—4所示的三角區域D內的概率；(3)關于x和關于γ的邊緣分布，并判斷x,γ是否相互獨立。圖2-4解(1)所以C=4;(3)關于x的邊緣概率密度函數為第四章隨機變量的數字特征一、離散型隨機變量的數學期望定義設離散型隨機變量x的分布律為則稱其為隨機變量x的數學期望，記為二、連續型隨機變量的數學期望定義設連續型隨機變量x的分布密度函數為f(x),若積分絕對收斂，則稱其為x的數學期望或均值.記為E(X),例設隨機變量x服從[a,b]上的均勻分布，求E(X).解由于均勻分布的密度函數為因而·記住：0-1分布，二項分布，泊松分布的數學期望均勻分布，指數分布，正態分布的數學期望。x是離散型隨機變量，分布律為p?=P(X=x),k=1,2…;若級數絕對收斂，則有.(2)x是連定理設z是隨機變量(x,Y)的連續函數z=g(x,Y),(1)(x,Y)是則有.(2)(X,Y)是二四、數學期望的性質1.設c是常數，則有E(c)=c.2.設x是隨機變量，設c是常數，則有E(cX)=cE(X).3.設x,γ是隨機變量，則有E(X+Y)=E(X)+E(Y).4.設x,γ是相互獨立的隨機變量，則有E(XY)=E(X)E(Y),,,一、方差的概念記為D(X)即D(X)=E{[X-E(X)]2},稱√D(X)為標準差.二、方差的計算例設隨機變量x服從[a,b]上的均勻分布，求D(X).解由于均勻分布的密度函數為,三、方差的性質1、設c是常數，則有D(cX)=c2D(X);2、設x,Y是相互獨立的隨機變量，則有D(X+Y)=D(X)+D(Y);px=0;px=0;定義設有二維隨機變量(X,Y),如果E[X-E(X)][Y-E(Y)]存在，則稱EX-E(X)IY-E(Y)]為隨機變量x與y的協方差.記為2.相關系數的性質(2)若x與γ相互獨立，則時，\Px|=1,(4)|Pw|=1的充要條件是，存在常數a,b使P(Y=aX+b}=1.設x,,X?L,x,為總體x的樣本，則下列各量均是統計量，它們定義設Xx,x?L,x,為相互獨立的隨機變量，它們都服從標準正服從自由度為n的x2分布，記作γ~x2(n).定理設x~x2(n),則E(X)=n,D(X)=2n。定義設x~N(0,1),y~x2(n),x第七章參數估計二、極大似然估計第一步，寫出似然函數a)對于離散型總體x,設它的分布律為p(x;θ),θ未知，其中為似然函數。b)當總體x是連續型隨機變量時，若x的概率密度為第二步求0∈0(O是參空間),使得LO)達到最大，此0即為所求的參數o的極大似然估計。為了計算方便，我們常對似然函同一0處達到極大，因此，這樣做不會改變極大點。c)對對數似然函數InLθ)關于θ求導，再令之為0,即得o的最大似然估計值。例：已知總體x服從指數分布，概率密度為區間估計粗略地說是用兩個統計量6,0?(0?≤0?)所決定的區間[6,0.]作為參數θ取值范圍的估計。P6?≤θ≤02}=1-α則稱區間[6,0,]是0的一個區間估計或置信區間，6,0分二、單個正態總體參數的區間估計設x,,X,L,X,為N(μ,a2)的樣本，對給定的置信水平1-α,0<α<1,我們來分別研究參數μ與α2的區間估計。解下面分兩種情況a)α2已知，選取的統計量為,由有/√n,X+u.2C1/√n未知，選取的統計量為,有由第八章假設檢驗§7.1假設檢驗思想概述例一臺包裝機裝洗衣粉，額定標準重量為500g,根據以往經驗，包裝機的實際裝袋重量服從正態N(μ,σ),其中σ。=15g,為檢驗包裝機工作是否正常，隨機抽取9袋，稱得洗衣粉凈重數若取顯著性水平α=0.05,問這包裝機工作是否正常?首先，我們根據以往的經驗認為，在沒有特殊情況下，包裝機工作應該是正常的，由此提出原假設和備選假設：然后對給定的顯著性水平α=0.05,構造統計量，來進行檢驗。