2021年山東省聊城市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（三）（三模）

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中.

只有一項(xiàng)是符合題目要求的

1.（5分）己知集合4={1,2},B={a,/+3},若ACB={1},則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.1B.-IC.2D.-2

2.（5分）已知a€R,i為虛數(shù)單位，若生迅為實(shí)數(shù)，則a的值為（）

2+4i

A.3B.2C.上D.衛(wèi)

2332

2

3.（5分）函數(shù)f（x）=T^^的圖象大致為（）

4.(5分)已知直線/：(“-1)x+y-3=0,圓C：(x-1)2+9=5.則％=1"是"/與

C相切”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（5分）聲強(qiáng)級。（單位:48）由公式LT=101g（―二）給出，其中為聲強(qiáng)（單位：W/nr）.一

10-12

般正常人聽覺能忍受的最高聲強(qiáng)級為12（WB,平時(shí)常人交談時(shí)強(qiáng)級約為6048,那么一般

正常人能忍受的最高聲強(qiáng)是平時(shí)常人交談時(shí)聲強(qiáng)的（）

A.IO4倍B.d倍C.心倍D.IO7倍

6.（5分）在某次脫貧攻堅(jiān)表彰會上，共有36人受到表彰，其中男性多于女性.現(xiàn)從中隨

機(jī)選出2人作為代表上臺領(lǐng)獎，若選出的兩人性別相同的概率為工，則受表彰人員中男

2

性人數(shù)為（）

A.15B.18C.21D.15或21

7.（5分）在△ABC中，\AB\=3,\AQ=4,18cl=5,“為BC中點(diǎn)，。為△ABC的內(nèi)心,

Ji.A0=XAB+IJlAM.則入+〃=（）

5

AC.D.1

-n6

22

8.（5分）已知A,B,C是雙曲線三一一■b>0）上的三點(diǎn)，直線A3經(jīng)過原點(diǎn)

22

ab

O,AC經(jīng)過右焦點(diǎn)R若B/_LAC,且樂得而，則該雙曲線的離心率為（）

cD

A?亨i-f

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)的得。分

9.（5分）對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x和y進(jìn)行回歸分析時(shí)，經(jīng)過隨機(jī)抽爛獲得成對的樣

本點(diǎn)數(shù)據(jù)（xi,yi）（i=l,2,"），則下列結(jié)論正確的是（）

A.若兩變量尤，y具有線性相關(guān)關(guān)系，則回歸直線至少經(jīng)過一個(gè)樣本點(diǎn)

B.若兩變量x,y具有線性相關(guān)關(guān)系，則回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)中心丘，y）

C.若以模型>=4/*.擬合該組數(shù)據(jù)，為了求出回歸方程，設(shè)z=/〃y,將其變換后得到線

性方程z=6x+加3,則a,b的估計(jì)值分別是3和6.

n__

E（y-yp2

D.用產(chǎn)=i一個(gè)-----------來刻畫回歸模型的擬合效果時(shí)，若所有樣本點(diǎn)都落在一條

Z（Yi-y）2

i=l

斜率為非零實(shí)數(shù)的直線上，則N的值為1

10.（5分）將函數(shù)y=sin2x+?cos2x+l的圖象向右平移三個(gè)單位長度，再將所有點(diǎn)的橫

12

坐標(biāo)縮短到原來的工，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，則下面對函數(shù)g（X）的敘

2

述中正確的是（）

A.函數(shù)g（x）的最小正周期為三

2

B.函數(shù)g（無）圖象關(guān)于點(diǎn)（令，0）對稱

C.函數(shù)g（x）在區(qū)間小，看］內(nèi)單調(diào)遞增

D.函數(shù)g（x）圖象關(guān)于直線對稱

12

11.（5分）已知實(shí)數(shù)。、h,下列說法一定正確的是（）

A.若a<b,則g”<心）a<（&）a

B.若匕>。>1,則log?<—

iOSab2

C.若a>0,b>0,a+26=l,則的最小值為8

ab

D.若h>a>0,則上包〉上曳

.22

ba

12.（5分）已知等邊三角形ABC的邊長為6,M,N分別為AB,AC的中點(diǎn)，將△AMN沿

MN折起至△4'MN,在四棱錐A'-MNCB中，下列說法正確的是（）

A.直線MN〃平面A'BC

B.當(dāng)四棱錐A'-MNCB體積最大時(shí)，二面角A'-MN-B為直二面角

C.在折起過程中存在某位置使8NL平面A'NC

D.當(dāng)四棱A'-MNCB體積最大時(shí)，它的各頂點(diǎn)都在球。的球面上，則球。的表面積

為39n

三、填空題：本太題共4小題每小題5分，共計(jì)20分，押答家填車答陽專相應(yīng)的位置上.

13.（5分）數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,31,…你為斐波那劃數(shù)列，是意大利著名數(shù)

學(xué)家斐波那契于1202年在他寫的《算盤全書》提出的，該數(shù)列的特點(diǎn)是：從第三起，每

一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和.在該數(shù)列的前2021項(xiàng)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為

14.（5分）曲線y=ex+x2-3x在x=0處的切線的傾斜角為a,則sin（2a+'5）

15.（5分）已知點(diǎn)A（0,5）,過拋物線7=12y上一點(diǎn)P作y=-3的垂線，垂足為8,若

\PB\=\PA\,則|PB|=

16.（5分）已知函數(shù)f6）=（弋）？+（a-2）《+2-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)”，⑼對其中

ee

X1cXXQ

X1<X2<X3,貝IJ（1--）2（1一乙9）（1-3-）的值為.

X?X—c

e1e2e3

四、解答題：本大題共6個(gè)小題，共計(jì)70分，請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域作答解答時(shí)應(yīng)寫出文字

說明、證明過程或驗(yàn)算步驟.

17.（10分）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為“，b,c,且10si薩=7-cos2B，

（1）求角B的大小；

(2)己知點(diǎn)。滿足而q而，且若$△軸口色譽(yù)，AD=>/7，求AC.

18.(12分)在①m,。3,“21成等比數(shù)列②S4=28,③S“+I=S”+Z+4,這三個(gè)條件中任選一

個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并做出解答.

已知｛析｝是公差不為零的等差數(shù)列，際為其〃前項(xiàng)和，42=5,，｛尻｝是等比數(shù)列,

歷=9,。1+加=30,公比q>l.

(1)求數(shù)列｛。外，｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列｛“"｝和｛瓦｝的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合A,B,將4UB的元素按從小到大依次排列

構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列｛Cn｝,求780=CI+C2+C3++C80.

19.(12分)如圖，在平面四邊形ABC￡>中，BC=CD,BC1.CD,ADLBD,以8。為折痕

把折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PCLBC.

(1)證明：PDLCD-,

(2)若“為PB的中點(diǎn)，二面角尸-BC-O的大小為60°,求直線PC與平面所

成角的正弦值.

20.(12分)2021年3月5日李克強(qiáng)總理在政府作報(bào)告中特別指出：扎實(shí)做好碳達(dá)峰，碳中

和各項(xiàng)工作，制定2030年前碳排放達(dá)峰行動方案，優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)和能源結(jié)構(gòu).某環(huán)保機(jī)

器制造商為響應(yīng)號召，對一次購買2臺機(jī)器的客戶推出了兩種超過機(jī)器保修期后5年內(nèi)

的延保維修方案：

方案一；交納延保金5000元，在延保的5年內(nèi)可免費(fèi)維修2次，超過2次每次收取維修

費(fèi)1000元;

方案二：交納延保金6230元，在延保的5和內(nèi)可免費(fèi)維修4次，超過4次每次收取維修

費(fèi)f元：

制造商為制定的收取標(biāo)準(zhǔn)，為此搜集并整理了200臺這種機(jī)器超過保修期后5年內(nèi)維修

的次數(shù)，統(tǒng)計(jì)得到下表

維修次數(shù)0123

機(jī)器臺數(shù)20408060

以這200臺機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機(jī)器

超過保修期后5年內(nèi)共需維修的次數(shù).

(1)求X的分布列；

(2)以所需延保金與維修費(fèi)用之和的均值為決策依據(jù)，為使選擇方案二對客戶更合算，

應(yīng)把，定在什么范圍？

21.(12分)已知圓尸[:(x+1)2+y2==2,圓尸2：(x-1)2+y2=(4-r)2,0<r<4.當(dāng)

，?變化時(shí)，圓Fi與圓F1的交點(diǎn)P的軌跡為曲線C,

(1)求曲線C的方程；

(2)已知點(diǎn)p(l,1),過曲線C右焦點(diǎn)五2的直線交曲線C于A、8兩點(diǎn)，與直線x=

加交于點(diǎn)。是否存在實(shí)數(shù)相，入，使得如4+&PB=入kPQ成立，若存在，求出機(jī)，入；若不存

在，請說明理由.

22.(12分)已知/(x)-ax1-x-1.

(1)當(dāng)時(shí)，求/(K)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

2

(2)當(dāng)x€[0,+8)時(shí)，/(x)20,求〃的取值范圍；

(3)求證：—一2_+...H—2其中尤N*.

2eT2e2-l2en-l2

2021年山東省聊城市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（三）（三模）

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中.

只有一項(xiàng)是符合題目要求的

1.（5分）已知集合4={1,2},8={a,J+3},若AC8={1},則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.1B.-1C.2D.-2

【分析】根據(jù)AAB={1}即可得出從而可得出a的值.

【解答】解：：AnB={l},

A1GB,

B={1,4},滿足條件.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了列舉法的定義，交集的定義及運(yùn)算，元素與集合的關(guān)系，考查了計(jì)

算和推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.（5分）已知aCR,i為虛數(shù)單位，若生為實(shí)數(shù)，則a的值為（）

2+4i

A.3B.2C.上D.

2332

【分析】先求出復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡生生，再根據(jù)三理為實(shí)數(shù)，即可求出a的值.

2+412+41

［解冬］解.af=（a-3i）（2-4i）=⑵-⑵-（6+4a）i

"?2+4i（2+4i）（2-4i）20'

.??6+4〃=0,

:.a=-

2

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查了實(shí)數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題.

2

3.（5分）函數(shù)f（x）二,一的圖象大致為（）

【分析】根據(jù)題意，先分析函數(shù)的奇偶性，排除B、D,再求出了(10)的值，與1大小

比較，排除C,即可得答案.

2

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=-J』其定義域?yàn)閧MxWO},

22

有/(-X)=------=--------=-/(x),函數(shù)為奇函數(shù)，排除8、D,

e-x-eXe-Xe-X

>w

/(io)=-=?iooLg.<i,排除c,

101201

e-e「I

e

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的圖象分析，涉及函數(shù)的奇偶性、函數(shù)值符號的分析，屬于基礎(chǔ)

題.

4.(5分)己知直線/：(a-1)x+y-3=0,圓C：(x-1)2+/=5.貝U“a=-1”是“/與

C相切”的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義以及直線和圓的關(guān)系判斷即可.

【解答】解：若直線/與圓C相切，

則圓心(1,0)到直線(a-l)x+y-3=0的距離d=丘1-3|==娓,

22

V(a-1)+1

或a=-1,

2

...a=-1是直線/與圓C相切的充分不必要條件.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了充分必要條件，考查直線和圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

5.（5分）聲強(qiáng)級。（單位:由公式LT=101g（―給出，其中為聲強(qiáng)（單位：W/m2）.一

1（）72

般正常人聽覺能忍受的最高聲強(qiáng)級為1204B,平時(shí)常人交談時(shí)強(qiáng)級約為6（W8,那么一般

正常人能忍受的最高聲強(qiáng)是平時(shí)常人交談時(shí)聲強(qiáng)的（）

A.IO4倍B.1。5倍C.1（）6倍D.IO7倍

【分析】根據(jù)已知函數(shù)關(guān)系式，設(shè)出未知數(shù)，解方程即可求出對應(yīng)的聲強(qiáng)，然后可直接

得結(jié)果.

【解答】解：設(shè)一般正常人聽覺能忍受的最高聲強(qiáng)為/I,

平時(shí)常人交談時(shí)聲強(qiáng)為12,

I[

120=101g(%)

10-12‘解得『

由題意得＜

1=1018

60=101g(―工)2

10-12

T24

1_10-106

可凝

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查正常人能忍受的最高聲強(qiáng)是平時(shí)常人交談時(shí)聲強(qiáng)的倍數(shù)的求法，考查

對數(shù)性質(zhì)、運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識，運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.（5分）在某次脫貧攻堅(jiān)表彰會上，共有36人受到表彰，其中男性多于女性.現(xiàn)從中隨

機(jī)選出2人作為代表上臺領(lǐng)獎，若選出的兩人性別相同的概率為工，則受表彰人員中男

2

性人數(shù)為（）

A.15B.18C.21D.15或21

,2C2

【分析】根據(jù)兩人性別相同的概率為工，利用古典概型得到‘?善2_=工，解方程即可

022

rC36c362

求解.

【解答】解：設(shè)受表彰人員中男性人數(shù)為蒼則女性人數(shù)為36-x,

r2r2

則P=母+造-36x+315=O,；.x=21或x—15,

C22

36c36

?.,男性多于女性，；.x=2L

故選：C.

【點(diǎn)評】本擷主要考查古典概型的問題，熟記概率的計(jì)算公式即可，屬于基礎(chǔ)題.

7.(5分)在△ABC中，\AB\=3,\AQ=4,18cl=5,“為BC中點(diǎn)，。為△ABC的內(nèi)心,

月.正=入標(biāo)+四氤，貝iJX+R=()

A.-LB.3C§D.1

1246

【分析】根據(jù)三角形是直角三角形，得到它的內(nèi)心的位置，從而表示出向量菽，根據(jù)向

量的線性運(yùn)算，寫出向量與要求兩個(gè)向量之間的關(guān)系，得到兩個(gè)系數(shù)的值，求和得到結(jié)

果.

【解答】解:，/M為BC中點(diǎn),二高=工（薪+而，，菽1=入標(biāo)+|1高=（入+區(qū)）族+衛(wèi)?配

222

???0為△ABC的內(nèi)心,...AO=^AB+—AC,

34

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)是關(guān)鍵，屬于中檔

題.

22

8.（5分）已知A,B,C是雙曲線弓-qiQ〉。，b>0）上的三點(diǎn)，直線AB經(jīng)過原點(diǎn)

O,AC經(jīng)過右焦點(diǎn)F,若BFLAC,且赤號■冠，則該雙曲線的離心率為（）

A但B.叵C.2D.叵

2325

【分析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)，連接如圖所示的線段，由雙曲線的定義及向量的關(guān)系可得

Hfl,|AE|,|C￡l與2a,2c之間的關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線的離心率.

【解答】解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為E,連接8E4E,CE,

由題意可得=

因?yàn)锽FJ_AC可得四邊形8E4尸為矩形，設(shè)由f1=|AE|=m,|BE1=|AQ=",

由雙曲線的定義可得|C￡1-\CF\=\AE\-|Afl=2a,所以2a=m-n,

又因?yàn)槎?旦而，所以ic/quSdAaqc/q+iAMnSzic8=2〃+|仃1=2“+3凡

2222

在RtZ\E4c中，|AE|2+|4cF=|CE|2,即川+（互。2=q〃+當(dāng)尸，

將2a=m-n代入可得m=6n,

所以n=^-a,m=^-a,

55

2:222

在直角三角形E4F中，|AEl+||A/l=|￡：fl=(2c),

即m2-“2=4,2,

所以(2?)~+2=4°2,可得：e=￡=J紅,

55a5

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的性質(zhì)及向量的運(yùn)算，屬于中檔題.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)的得0分

9.（5分）對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x和y進(jìn)行回歸分析時(shí)，經(jīng)過隨機(jī)抽爛獲得成對的樣

本點(diǎn)數(shù)據(jù)（xi,yi）（i=l,2,?,,,n）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若兩變量x,y具有線性相關(guān)關(guān)系，則回歸直線至少經(jīng)過一個(gè)樣本點(diǎn)

B.若兩變量x,y具有線性相關(guān)關(guān)系，則回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)中心Q,y）

C.若以模型y="e"擬合該組數(shù)據(jù)，為了求出回歸方程，設(shè)z=/”y,將其變換后得到線

性方程z=6x+歷3,則〃，方的估計(jì)值分別是3和6.

n__

E%不）2

D.用叱=1-得-----------來刻畫回歸模型的擬合效果時(shí)，若所有樣本點(diǎn)都落在一條

￡（yry）2

i=l

斜率為非零實(shí)數(shù)的直線上，則R2的值為1

【分析】利用線性相關(guān)關(guān)系以及擬合曲線的關(guān)系，對四個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可.

【解答】解：對于A,若兩變量x,y具有線性相關(guān)關(guān)系，則滿足線性回歸方程，但是樣

本的不一定都在擬合直線上，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對于8,若兩變量x,y具有線性相關(guān)關(guān)系，則回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)中心(x，y)，

故選項(xiàng)B正確；

對于C,若以模型丫=四"擬合該組數(shù)據(jù)，為了求出回歸方程，設(shè)2=/”乃將其變換后得

到線性方程z=6x+/〃3,則a,b的估計(jì)值分別是3和6,故選項(xiàng)C正確；

n__

工仇-4)2

對于D,用解=1-得-----------來刻畫回歸模型的擬合效果時(shí)，若所有樣本點(diǎn)都落

X(y「y)2

i=l

在一條斜率為非零實(shí)數(shù)的直線上，則—,

7i7i

n__

E(y1K產(chǎn)

則叱=1-W----------=1-0=1,故選項(xiàng)D正確.

￡(y「y)2

i=l

故選：BCD.

【點(diǎn)評】本題考查了回歸分析的理解和應(yīng)用，涉及了線性相關(guān)關(guān)系的理解，線性回歸方

程必過樣本中心的應(yīng)用，非線性回歸方程的理解以及相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用，考查了邏輯推理

能力，屬于中檔題.

10.(5分)將函數(shù)V=sin2x+?cos2x+l的圖象向右平移.個(gè)單位長度，再將所有點(diǎn)的橫

坐標(biāo)縮短到原來的工，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，則下面對函數(shù)g(x)的敘

2

述中正確的是()

A.函數(shù)g(x)的最小正周期為三

2

B.函數(shù)g(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(喉，0)對稱

C.函數(shù)g(x)在區(qū)間小，g］內(nèi)單調(diào)遞增

D.函數(shù)g(x)圖象關(guān)于直線乂上對稱

x12

【分析】由題意利用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)產(chǎn)Asin(3x+cp)

的圖象變換規(guī)律、正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論.

【解答】解：將函數(shù)y=sin2x+?cos2x+l=2sin(2x+?)+l的圖象向右平移三個(gè)單位

312

長度,

可得y=2sin(2x-2L+_ZL)+1=2sin(2x+?L)+l的圖象;

-636

再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的工，縱坐標(biāo)不變，

2

得到函數(shù)g(x)=2sin(4x+匹)+1的圖象的圖象，

則函數(shù)g(外的最小正周期為"=三，故A正確；

42

令x=--,求得sin(4x+E_)=-g(x)=O,故函數(shù)g(x)圖象不關(guān)于點(diǎn)(一匹,

126212

0)對稱，故B錯(cuò)誤；

在區(qū)間「工，工]內(nèi)，4x+2Le[Z2L,空口，函數(shù)g(x)沒有單調(diào)性，故c錯(cuò)誤：

L42」666

令X=_2L,求得g(x)=3,為最大值，故函數(shù)g(x)圖象關(guān)于直線》=工對稱，故。正

1212

確，

故選：AD.

【點(diǎn)評】本題主要考查兩角和的正弦公式，函數(shù)y=Asin(3x+(p)的圖象變換規(guī)律，正弦

函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

11.(5分)已知實(shí)數(shù)〃、h,下列說法一定正確的是()

A.若a<b,則(2)b<4)a<(1)a

B.若則loga<C—

xosavb2

C.若a>0,b>0,a+2b=\,則ZJ的最小值為8

ab

D.若心a>0,則上包〉上也

,22

ba

【分析】直接利用不等式的性質(zhì)，基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用判斷A、B、C、。的結(jié)論.

a

【解答】解：對于A：a<b,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(1)S,故A錯(cuò)誤;

對于8：由于所以坨>1，則log—故8正確;

Igaa。lga+1gb1Igb2

對于C：若a>0,b>0,a+2b=l,則(a+2b)

8,

當(dāng)且僅當(dāng)。=工，b」時(shí)等號成立，故C正確;

24

對于D：由于b>a>0,所以曲=G*力>+（用22）=

,222,2

baab

（a-b）（a2+b2+ab+a+b）/n

272〈°'

ab

故選：BC.

【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)

生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.（5分）已知等邊三角形A8C的邊長為6,M,N分別為AB,AC的中點(diǎn)，將△AMN沿

MN折起至MN,在四棱錐A'-MNCB中，下列說法正確的是（）

A.直線MN〃平面A'BC

B.當(dāng)四棱錐4'-MNCB體積最大時(shí)，二面角A'-MN-B為直二面角

C.在折起過程中存在某位置使BN_L平面A'NC

D.當(dāng)四棱4'-MNCB體積最大時(shí)，它的各頂點(diǎn)都在球。的球面上，則球。的表面積

為39n

【分析】利用線面平行的判定定理判斷選項(xiàng)A；利用四棱錐4-MNCB的底面是定值，

則當(dāng)點(diǎn)4到平面MNC8的距離最大時(shí)，體積最大，即可判斷選項(xiàng)以利用反證法判斷選

項(xiàng)C;取8c的中點(diǎn)E,作OEJ_平面MNCB,OFJ_平面A'MN,確定外接球的球心，然

后求出半徑，由球的表面積公式求解，即可判斷選項(xiàng)D

【解答】解：對于4,因?yàn)镸N〃BC,MNC平面ABC,BCu平面48C,

所以MN〃平面A8C,故選項(xiàng)A正確；

對于8,因?yàn)樗睦忮F4-MNCB的底面面積是定值，

所以當(dāng)點(diǎn)4到平面MNCB的距離最大時(shí)，體積最大，

故當(dāng)二面角A'-MN-B為直二面角時(shí)，點(diǎn)A'到平面MNCB的距離最大，

所以四棱錐4'-MNCB體積最大時(shí)，二面角4'-MN-B為直二面角，故選項(xiàng)8正確;

對于C,如圖所示，若BNJ_平面47VC,又A4u平面4WC,則BMLA4,

又A'O_LMM則A￡>_LMM又4￡>nAO=A,A'D,4Qu平面A'AD,

故MN_L平面A'AO,又A'Au平面A'AO,則

又MNCBN=N,MN,BNu平面MNCB,所以AA'_LMVC8,

這與題意矛盾，故假設(shè)不成立，

所以在折起過程中不存在某位置使BNL平面A'NC,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對于￡）,當(dāng)四棱錐4-MNCB體積最大時(shí)，二面角A'-MN-8為直二面角，如圖所示，

由取BC的中點(diǎn)E,則E為等腰梯形MNCB外接圓的圓心，F(xiàn)為△AMN

3

的外3

作OEJ■.平面MNCB,OF_L平面A'MN,

則0為四棱錐A'-MNCB的外接球的球心，且。尸=。￡=色巨，AF=M，

2

設(shè)四棱錐A-MNCB的外接球半徑為R,則R2=^2+0?2g9，

4

所以球的表面積為4兀R2=4兀?里-39兀，故選項(xiàng)D正確.

4

故選:ABD.

【點(diǎn)評】本題考查線面平行的證明，二面角的求解，空間幾何體的外接球問題，空間中

線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，是中

檔題.

三、填空題：本太題共4小題每小題5分，共計(jì)20分，押答家填車答陽專相應(yīng)的位置上.

13.（5分）數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,31,…你為斐波那劃數(shù)列，是意大利著名數(shù)

學(xué)家斐波那契于1202年在他寫的《算盤全書》提出的，該數(shù)列的特點(diǎn)是：從第三起，每

一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和.在該數(shù)列的前2021項(xiàng)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為1348.

【分析】根據(jù)題意，分析數(shù)列中偶數(shù)的規(guī)律，即可得前2021項(xiàng)中偶數(shù)的個(gè)數(shù)，據(jù)此分析

可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，在該數(shù)列中，第三，六，九…為偶數(shù)，以3為周期，

2021=3X673+2,有673個(gè)偶數(shù)，

則有2021-673=1348個(gè)奇數(shù);

故答案為：1348.

【點(diǎn)評】本題考查歸納推理的應(yīng)用，注意分析數(shù)列中偶數(shù)的規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題.

14.（5分）曲線＞="+/-3x在x=0處的切線的傾斜角為a,則ITQ

sin(2a-*-^-)=-

【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公

式，計(jì)算可得所求值.

【解答】解：y="+?-3x的導(dǎo)數(shù)為y'=ex+2x-3,

可得在x=0處的切線的斜率為1+0-3=-2,

則tana=-2,

所以sin（2a+三尸.:.口"2a=1-tan2a=上￡=_3,.

2cos2a+sin2a1+tan2a1+45

故答案為：-3.

5

【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，以及三角函數(shù)的求值，考查方程思想和

運(yùn)算能力，屬于中檔題.

15.（5分）已知點(diǎn)A（0,5）,過拋物線f=12y上一點(diǎn)P作y=-3的垂線，垂足為8,若

\PB\^\PA\,則|尸8=7.

【分析】由拋物線性質(zhì)可得,|PB|=|PR,又由已知條件|PB|=|網(wǎng),可得|令|=|尸網(wǎng),即4

以尸是等腰三角形，可得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,結(jié)合拋物線性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：?.?拋物線』=12y,

；.2p=12,即p=6,焦點(diǎn)尸（0,3）,

由拋物線性質(zhì)可得，\PB\=^\PF],

又=|明，

...|附|=|「內(nèi)，即△B4F是等腰三角形，

VA(0,5),8(0,3),P(xo,yo),

?.3+5,

；.|P8|=y。玲=4+3=7,

故答案為:7.

【點(diǎn)評】本題重點(diǎn)考查了拋物線的性質(zhì)，需要學(xué)生熟練使用公式，屬于基礎(chǔ)題.

16.(5分)已知函數(shù)f(x)=(工)2+(a-2)工+2-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)XI，加，孫其中

exex

X1cXXq

X1<X2<A3,則(1~~—)2(1—；—9)(1-：)的值為1

e1e2e3

【分析】令t*，將問題轉(zhuǎn)化為P+(a-2)f+2-a=0要有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根fiq(n<

X

e

t2),通過韋達(dá)定理確定根的情況，再結(jié)合函數(shù)g(X)=弋的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)

ex

行分析求解即可.

【解答】解：設(shè)g(x)=工，則p(x)=±3,

XX

ee

當(dāng)xvi時(shí)，g'a)>o,則g(%)單調(diào)遞增，

當(dāng)%>i時(shí),g'a)vo,則g(%)單調(diào)遞減，

又x>0時(shí)，g(x)>0,當(dāng)x<0時(shí)，g(x)<0,

當(dāng)x=l時(shí)，g(x)取得最大值g(1)=A,

e

作出函數(shù)g(x)的圖象如圖所示，

要使得f(x)=(《)？+(a-2)《+2-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)XI，必布，其中xi<x2<x3,

ee

令t*，則有尸+(a-2)f+2-a=0要有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根Ct\<t2),

X

e

,(t]+t2=2-a

△=(a-2)2-4(2-a)>0,即a>2或a<-2,且《，

tjt2=2-a

=_

tj+t22a<0

若a>2,則因?yàn)椤?lt;/2,所以fi<0,則、^(。，工),

=-1

%t22a<C02e

所以“<0<及<2則XIVOVx2Vl<X3,且g(X2)=g(X3)=t2.

xiXnXq

所以9

e1e2e3

2212

(l-t1)(l-t2)(l-t2)=[l-(t1+t2)+t1t2]=[-(2-?)-?-2-a]=l：

't,+t2=2-a>4

若a<-2,則12、因?yàn)間（x）取得最大值g（i）=1,且ME（o工）,

2

tjt2=2-a>4e，a

（fl+/2）〃?or<4,不符合題意,舍去.

綜上所述，(1-^-)2(1-^-)(1--)-1.

\X,'、X」、X.7

e1eze3

故答案為：1.

V

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的綜合應(yīng)用，解決函數(shù)零點(diǎn)或方程根的問題，

常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函數(shù)的零點(diǎn)）；（2）圖象法（直接畫出函數(shù)

的圖象分析得解）；（3）方程+圖象法（令函數(shù)為零，再重新構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，數(shù)形結(jié)合分

析得解）.屬于中檔題.

四、解答題：本大題共6個(gè)小題，共計(jì)70分，請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域作答解答時(shí)應(yīng)寫出文字

說明、證明過程或驗(yàn)算步驟.

17.（10分）在AABC中，角A,B,C的對邊分別為“，兒c,且10sir?竽=7-cos2B，

（1）求角B的大小；

（2）已知點(diǎn)力滿足而q阮，且若$△必AD=A/7，求AC.

【分析】（1）結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式和二倍角公式，可求得cosB=/，再求

出角8的大小；

（2）由三角形的面積公式，可得BZ>B4=3①，在△A8O中，由余弦定理推出

=10②，聯(lián)立①②解出8。和54的值，最后在aABC中，利用余弦定理，求出4c.

【解答】解：（1）；A+B+C=TT,

..ACB

?,sin2"cosg

由lOsin2-^^-=7-cos2B,得lOcos2--=7-cos2B,

2

即1QXHCOSB7,(2COSB-1),

2

化簡得2COS2B+5COSB-3=0,

解得cosB==/■或cos3=-3(舍)，

jr

VO<B<TT,AR=—.

3

(2).??江即寺小隊(duì)人龍乎’

.?.8Z>BA=3①，

在△ABO中，由余弦定理知，AEr=BD1+B/^-2BDBAcosB,

：.BD^BA1-BDBA=7,即BD^+BA2=10②，

由①②，解得80=1，BA=3或B￡>=3,BA=\,

又AB>BD,：.BD^\,54=3,BC=4BD=4,

在△ABC中，由余弦定理知，AC^B^+BC2-2BC8AcosB=9+16-2X3X4xJi=13,

2

,AC=>/13-

【點(diǎn)評】本題考查解三角形在平面幾何中的應(yīng)用，熟練掌握余弦定理、三角形面積公式

和二倍角公式是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

18.(12分)在①G,43,“21成等比數(shù)列②54=28,③S"+i=S"+a〃+4,這三個(gè)條件中任選一

個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并做出解答.

已知｛〃”｝是公差不為零的等差數(shù)列，S,為其〃前項(xiàng)和，及=5,,｛尻｝是等比數(shù)列,

歷=9,4+歷=30,公比q>l.

(1)求數(shù)列｛以｝,｛為｝的通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列伍")和｛治｝的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合A,B,將AUB的元素按從小到大依次排列

構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列｛Cn｝,求780=Cl+C2+C3+-+C80.

【分析】(1)分別選①②③，由等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列和等

比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公差和公比，可得所求；

(2)首先判斷｛Cn｝的前80項(xiàng)中，數(shù)列｛尻｝的項(xiàng)最多有5項(xiàng),推得｛Cn｝的前80項(xiàng)是由3｝

的前77項(xiàng)及4，加，加構(gòu)成，再由等差數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求和.

【解答】解：(1)選①，因?yàn)椋āǎ枪畈粸?的等差數(shù)列，設(shè)公差為d,

由0,。3,si成等比數(shù)歹!J可得(a[+2d)2="](&]+20由，由于所以4m=d,

又。2=5,所以m+d=5,解得m=l,d=4,所以。〃=1+4(〃-1)=4幾-3.

選②，因?yàn)镾4=28,。2=5,所以4〃i+6d=28,m+d=5,可得。1=1,d=4,

所以。〃=1+(〃-1)X4=4〃-3.

選③，因?yàn)槠?1=品+。〃+4,所以art+\-0?=1=4,

因?yàn)椤?=5,所以m+d=5,即有m=L

所以。〃=1+(〃-1)X4=4〃-3.

因?yàn)椋樱堑缺葦?shù)列，由歷=9,從+加=30,9>1,

得biq=9,b[+b]q2=30，解得夕=3,61=3,

所以bn=3R

(2)080=317,35=243<317<36=729,

所以｛5｝的前80項(xiàng)中,數(shù)列｛加｝的項(xiàng)最多有5項(xiàng)，

其中歷=9=43,從=81=421為公共項(xiàng)，

又477=305>243=b5,

所以｛Cn｝的前80項(xiàng)是由｛〃”｝的前77項(xiàng)及為，b3,加構(gòu)成.

720=Cl+C2+C3+--+C80=Q1+42+…〃77+Z?1+/73+加

=Ax77X(1+305)+3+27+243

2

=11781+2