2022-2023學年河南省駐馬店市高二下學期期末數學試題一、單選題1．數列的通項為（），則的值為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】A【分析】令代入即可.【詳解】,故選：A.2．直線平分圓（），則（

）A．1 B．-1 C．3 D．-3【答案】A【分析】直線平分圓，說明直線過圓心，把圓心坐標代入直線方程可得答案.【詳解】因為直線平分圓，化為，所以直線經過該圓的圓心，則，即.故選：A.3．空間直角坐標系中，點到坐標平面的距離為（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】C【分析】由空間直角坐標系中點的坐標的定義即可求解.【詳解】空間直角坐標系中，點到坐標平面的距離即為豎坐標3.故選：C4．定義在上的函數在區間內的平均變化率為，其中，則函數在處的導數（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導數的定義可求得的值.【詳解】由導數的定義可得，故選：B.5．橢圓的左右焦點為，，點P為橢圓上不在坐標軸上的一點，點M，N滿足，，若四邊形的周長等于，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據，，可得點為線段的中點，點為線段的中點，再根據四邊形的周長結合橢圓的離心率公式即可得解.【詳解】因為，所以點為線段的中點，因為，所以，即，所以點為線段的中點，又因點為線段的中點，所以且，且，所以四邊形的周長為，又因點P為橢圓上不在坐標軸上的一點，所以，所以，即，故橢圓C的離心率為.故選：C.

6．函數的極值點為（

）A．和 B．和 C． D．【答案】C【分析】由可求得實數的值，再利用導數可求得函數的單調性驗證極值點即可.【詳解】因為，則，由題意可得，解得或，令，可得或，列表如下：x00+減極小值增增因此，函數的極值點為.故選：C.7．下列說法正確的是（

）A．某同學定點投籃每次命中的概率均為，每命中一次得2分，若記10次投籃得分為X，則隨機變量X服從二項分布，簡記.B．某工廠生產了一批產品50件，其中質量達到“A級”的有20件，則從該批產品中隨機抽取10件，記錄抽到的產品中為“非A級”的個數為Y，則隨機變量Y的數學期望為.C．若隨機變量的成對數據的線性相關系數，則認為隨機變量X與Y是確定的函數關系，不是線性相關關系.D．若隨機變量，其分布密度函數為，則.【答案】D【分析】根據二項分布的定義即可判斷A；根據超幾何分布的期望公式即可判斷B；根據相關系數的意義即可判斷C；根據正態分布的對稱性即可判斷D.【詳解】對于A，由題意，記10次投籃命中的次數為，則，隨機變量命中次數服從二項分布，而隨機變量投籃得分X不服從二項分布，故A錯誤；對于B，由題意隨機變量服從超幾何分布，則，故B錯誤；對于C，若隨機變量的成對數據的線性相關系數，則認為隨機變量X與Y是確定的函數關系，且是線性相關關系，故C錯誤；對于D，因為隨機變量，其分布密度函數為，所以，則，故D正確.故選：D.8．設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用做差法比較，構造新函數，求導利用導數研究函數的單調性，找到，令，可通過轉換得到，此時只需令，找到即可判定.【詳解】,令，則根據余弦函數的單調性，易知，在單調遞減，且，所以在單調遞增，所以，即；令當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以，所以，即.令，故在上單調遞減，故，即，綜上：.故選：A.【點睛】結論點睛：常見的不等式轉換，，，，.二、多選題9．一批電阻的阻值（單位：）服從正態分布，現從甲、乙、丙三箱成品中各隨機抽取一只電阻，測得阻值分別為，，，則可以認為（

）A．甲、乙、丙三箱電阻均可出廠； B．甲、乙兩箱電阻可出廠；C．乙、丙兩箱不可出廠； D．丙箱電阻不可出廠.【答案】BD【分析】根據“”原則計算區間，進而可判斷.【詳解】因為，所以，，所以，，因為，，，所以甲、乙兩箱電阻可出廠，丙箱電阻不可出廠.故選：BD.10．下列直線在兩坐標軸上的截距相等的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據坐標軸的截距的定義，結合選項，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，直線，可得在軸和軸上的截距分別為和，不符合題意，所以A不正確；對于B中，直線，可得在軸和軸上的截距分別為和，符合題意，所以B正確；對于C中，直線，可得在軸和軸上的截距分別為和，符合題意，所以C正確；對于D中，直線，可得在軸和軸上的截距分別為和，不符合題意，所以D不正確.故選：BC.11．已知，則下列正確的是（

）A．B．C．D．【答案】AB【分析】令，找到，即可判定選項A；令，即可判定選項B；對二項式求導，令，即可判定C選項；D選項可轉換為B選項求解.【詳解】對于A選項，令，則，又，所以，故A選項正確；對于B選項，令，則，，故，故B選項正確；對于C選項，記，則，令，則，故C選項錯誤；對于D選項，的展開通項公式，當為奇數時，系數為負數，所以，故D選項錯誤，故選：AB.12．如圖，平行六面體中，，，與交于點O，則下列說法正確的有（

）

A．平面平面B．若，則平行六面體的體積C．D．若，則【答案】ABD【分析】對于A，由題意可得四邊形為菱形，則可得，再計算，可得，從而得平面，再利用面面垂直的判定定理可得結論；對于B，連接，可得，從而可證得平面，進而可求出體積，對于C，利用空間向量的加法分析判斷，對于C，設，則可得，然后利用向量的夾角公式計算判斷.【詳解】對于A，因為在平行四邊形中，，所以四邊形為菱形，所以，因為，，所以，所以，因為，所以，所以，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，所以A正確，對于B，連接，因為，，所以，所以為直角三角形，即，因為∥，所以，因為由選項A知平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，所以平行六面體的體積，所以B正確，對于C，因為四邊形為平行四邊形，所以為的中點，所以，所以，所以C錯誤，對于D，設，因為在菱形中，，所以，所以，所以D正確，故選：ABD

【點睛】關鍵點點睛：此題考查面面垂直的判斷，考查平行六面體體積的求法，考查空間向量的運算，解題的關鍵是正確利用平行六面體的性質結合題意分析求解，考查空間想能力和計算能力，屬于較難題.三、填空題13．若隨機變量，且，則．【答案】【分析】根據二項分布的期望公式得，進而根據二項分布概率公式計算即可.【詳解】因為隨機變量，且，所以，解得，則.故答案為：.14．已知遞增的等比數列中，，，則數列的前6項之積為．【答案】/【分析】由條件結合等比數列通項公式求數列的通項公式，再求數列的前6項之積.【詳解】設等比數列的公比為，由已知，因為，，所以，解得，所以，所以，故答案為：.15．共和國勛章，是中華人民共和國最高榮譽勛章，授予在中國特色社會主義建設和保衛國家中做出巨大貢獻、建立卓越功勛的杰出人士.共和國勛章獲得者有于敏、袁隆平、申紀蘭、張富清、黃旭華、孫家棟、李延年、屠呦呦、鐘南山，前四位共和國勛章獲得者已經作古.某校為了學習共和國勛章獲得者的先進事跡，弘揚時代精神，特在校園主干道設立并排的9個宣傳欄，前四位共和國勛章獲得者的先進事跡安排在1—4號欄，1—4號欄已經安排好，其余五位安排在5—9號欄.黃旭華和孫家棟兩位的先進事跡安排在5至7號欄，李延年的先進事跡欄不放在9號，則不同的安排順序有種（用數字作答）.【答案】【分析】根據題意，先安排黃旭華和孫家棟兩位，再安排李延年，最后安排屠呦呦、鐘南山，結合分步計數原理，即可求解.【詳解】由題意，黃旭華和孫家棟兩位的先進事跡安排在5至7號欄，有種安排方式，又由李延年的先進事跡欄不放在9號，有種安排方式，剩余的兩位屠呦呦、鐘南山，有種安排方式，由分步計數原理可得，共有種不同的安排方式.故答案為：.16．若函數有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍是．【答案】【分析】函數有兩個不同的零點，即函數的圖像與x軸有兩個不同的交點，借助導數研究函數值變化，，得出結果．【詳解】由題意，，，當時，恒大于0，則函數遞增，不可能有兩個零點；當時，令，得，即當時，，即單調遞增，且；即當時，，即單調遞減，且；由于函數有兩個不同的零點，即函數的圖像與x軸有兩個不同的交點，所以，解得，，所以當時，函數有兩個不同的零點.故答案為：．四、解答題17．三臺車床加工同樣的零件，第一臺出現廢品的概率是0.05，第二臺出現廢品的概率是0.03，第三臺出現廢品的概率是0.06，加工出來的零件放在一起，并且已知第一、二、三臺加工的零件之比為3：4：3.(1)求任意取出1個零件是廢品的概率；(2)如果任意取出的1個零件是廢品，求它是第二臺車床加工的概率.【答案】(1)0.045(2)【分析】（1）利用全概率公式計算即可；（2）利用條件概率公式計算即可.【詳解】（1）設事件表示“零件取自第臺車床”，事件表示“取到零件為廢品”，因此，，構成樣本空間的一個劃分.根據條件則：，，，，根據全概率公式可得（2）如果任意取出的1個零件是廢品，它是第二臺車床加工的概率.又因為.根據條件概率的求解公式，即為所求.18．已知數列滿足，.(1)證明數列為等比數列；(2)求數列的通項公式；(3)求數列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由條件，即，從而得證；（2）由（1）寫出的通項公式，從而解決；（3）利用分組求和法求前n項的和即可.【詳解】（1）由條件，即，又因，則.因此數列是以為首項，2為公比的等比數列（2）由（1）知是以為首項，2為公比的等比數列，則，即.（3）由（2）則.19．已知矩形中，，的中點為，將繞著折起，折起后點記作點（不在平面內），連接、得到幾何體，為直角三角形.

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明出面，可得出，利用勾股定理可證得，利用線面垂直和面面垂直的判定定可證得結論成立；（2）推導出面，，以點為坐標原點，分別以、、方向為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，利用空間向量法結合同角三角函數的基本關系可求得平面與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）證明：如圖，連接，連接交于點，則，翻折前，翻折后，則有，由于為直角三角形，且，，因此必有，又因為，、平面，則面，因為平面，從而可得，又因，，則，所以，.又因，、平面，即面，因為平面，因此，面面.

（2）解：如圖，取中點為，中點為，連接，由（1）可知，平面平面，因為，為的中點，則，因為平面平面，平面，所以，面，因為、分別為、的中點，則，因為，則，以點為坐標原點，分別以、、方向為、、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系.

則、、、，得，，，，設平面的一個法向量為，由，則，取，則，，得到，設平面的法向量為，則，取，則，，則，則，從而，也即平面與平面所成夾角的正弦值為.20．市場監管部門對某線下某實體店2023年前兩季度的月利潤情況進行調查統計，得到的數據如下：月份x123456凈利潤y（萬元）1.01.41.72.02.22.4(1)是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關系？請用相關系數r加以說明；（參考：若時，則線性相關程度較高，，則線性相關程度一般，計算時精確度為0.01）(2)利用最小二乘法求出y關于x的回歸方程；用樣本估計總體，請預估第9月份的利潤.附：對于一組數據，其回歸直線的斜率，.相關系數.參考數據：，，，，，.【答案】(1)可以，理由見解析(2)，3.32萬元【分析】（1）計算出相關數據，利用相關系數公式計算即可；（2）根據線性回歸方程公式計算即可.【詳解】（1）由條件則，，.根據相關系數公式則.因此可以用線性回歸模型擬合x與y的關系.（2）根據（1）則變量x，y線性相關，設所求的線性回歸方程為.根據回歸方程的回歸系數公式則.又因為.從而可得變量x，y線性回歸方程為當時，因此預測9月份的利潤為3.32萬元.21．已知.(1)當時，求在內的單調區間；(2)若對任意的時，恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)單調增區間為：，；單調減區間為：，；(2).【分析】（1）把代入，求出函數的導數，分段討論求解、作答.（2）探討函數的奇偶性，把問題轉化為時，恒成立求解.【詳解】（1）當時，，求導得，而，由，得，當時，，當時，，則當時，若，則；若，則，當時，若，則；若，則，所以函數在內的單調增區間為：，；單調減區間為：，.（2）因為，于是函數為偶函數，則對任意恒成立，等價于對任意的，恒有成立，求導得，當時，當，成立時，恒成立，即恒成立，函數在內單調遞增，則有，因此，解得，則；當，時，函數在上單調遞減，且，因此存在，使得當時，，，函數在上遞減，此時，，不符合題意，所以實數的取值范圍為.【點睛】關鍵點睛：探討函數是偶函數，把在實數集上恒成立問題轉化為時，不等式恒成立求解是關鍵.22．在平面直角坐標系中，已知點、，的內切圓與直線相切于點，記點M的軌跡為C.(1)求C的方程；(2)設點T在直線上，過T的兩條直線分別交C于A、B兩點和P，Q兩點，連接.若直線的斜率與直線的斜率之和為0，試比較與的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據內切圓的性質得到，從而結合雙曲線的定義得到軌跡方程；（2）根據條件設，，，，，，根據直線與雙曲線方程的聯立，由韋達定理得到，，結合弦長公式得到，從而證明，進而可得相似于，由四點共圓的知識即可得到答案.【詳解】（1）因為點、，的內切圓與直線相切于點，所以，因此根據雙曲線的定義可知，點的軌跡為以，為