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人教版高中數學選擇性必修第三冊6.2.3排列組合的綜合運用同步訓練（原卷版）

考法一全排列

【例1】（2023·全國專題練習）在新冠肺炎疫情防控期間，某記者要去武漢4個方艙醫院采訪，則不同的采訪順序有（）

A．4種B．12種C．18種D．24種

【一隅三反】

1．（2023·全國專題練習）2023年初，我國向相關國家派出了由醫療專家組成的醫療小組．現有四個醫療小組和4個需要援助的國家，每個醫療小組只去一個國家，且4個醫療小組去的國家各不相同，則不同的分配方法有（）

A．64種B．48種C．24種D．12種

2．（2023·吉林吉林市·高二期末）將5本不同的數學用書放在同一層書架上，則不同的放法有（）

A．50B．60C．120D．90

3．（2023·靈丘縣豪洋中學高二期末）3本不同的課外讀物分給3位同學，每人一本，則不同的分配方法有（）

A．3種B．6種C．12種D．5種

考法二相鄰問題

【例2】（2023·河北張家口市）某班優秀學習小組有甲乙丙丁戊共5人，他們排成一排照相，則甲乙二人相鄰的排法種數為（）

A．24B．36C．48D．60

【一隅三反】

1．（2023·全國專題練習）在某場新冠肺炎疫情視頻會議中，甲乙丙丁戊五位疫情防控專家輪流發言，其中甲必須排在前兩位，丙丁必須排在一起，則這五位專家的不同發言順序共有（）

A．8種B．12種C．20種D．24種

2．（2023·湖北隨州市·高二期末）5個人排成一排照相，甲乙要相鄰，則有多少種排列的方法（）

A．24種B．36種C．48種D．72種

3．（2023·重慶高二期末）6月，也稱畢業月，高三的同學們都要與相處了三年的同窗進行合影留念.現有4名男生、2名女生照相合影，若女生必須相鄰，則有（）種排法.

A．24B．120C．240D．140

4.（2023·深圳市龍崗區龍城高級中學）把座位號為、、、、、的六張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一張，且分給同一人的多張票必須連號，那么不同的分法種數為（）

A．B．C．D．

考法三不相鄰問題

【例3】（2023·河北石家莊市·石家莊二中高二期中）省實驗中學為預防秋季流感爆發，計劃安排學生在校內進行常規體檢，共有3個檢查項目，需要安排在3間空教室進行檢查，學校現有一排6間的空教室供選擇使用，但是為了避免學生擁擠，要求作為檢查項目的教室不能相鄰，則共有（）種安排方式.

A．12B．24C．36D．48

【一隅三反】

1．（2023·北京高二期末）3位老師和4名學生站成一排，要求任意兩位老師都不相鄰，則不同的排法種數為（）

A．B．

C．D．

2．（2023·北海市教育教學研究室高二期末）若5個人排成一列縱隊，則其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法有（）

A．12種B．14種C．5種D．4種

3．（2023·四川省新津中學）五名學生和五名老師站成一排照相，五名老師不能相鄰的排法有（）

A．B．C．D．

4．（2023·重慶市第七中學校高二月考）現“學習強國”平臺設有“閱讀文章”、“視聽學習”等多個欄目.在某時段時，更新了2篇文章和4個視頻，一位學習者準備學習這2篇文章和其中2個視頻，則這2篇文章學習順序不相鄰的學法有（）種.

A．24B．36C．72D．144

考法四分組分配

【例4】（2023·全國）疫情期間，上海某醫院安排5名專家到3個不同的區級醫院支援，每名專家只去一個區級醫院，每個區級醫院至少安排一名專家，則不同的安排方法共有（）

A．60種B．90種C．150種D．240種

【一隅三反】

1．（2023·廣東深圳市·深圳外國語學校）有四位朋友于七夕那天乘坐高鐵G77從武漢出發（G77只會在長沙、廣州、深圳停），分別在每個停的站點至少下一個人，則不同的下車方案有（）

A．24種B．36種C．81種D．256種

2．（2023·河北）特崗教師是上都實施的一項對中西部地區農村義務教育的特殊政策.某教育行政部門為本地兩所農村小學招聘了6名特崗教師，其中體育教師2名，數學教師4名.按每所學校1名體育教師，2名數學教師進行分配，則不同的分配方案有（）

A．24B．14C．12D．8

3．（2023·江西高二期末）江西省旅游產業發展大會于2023年6月11日～13日在贛州舉行，某旅游公司為推出新的旅游項目，特派出五名工作人員前往贛州三個景點進行團隊游的可行性調研.若每名工作人員只去一個景點且每個景點至少有一名工作人員前往，則不同的人員分配方案種數為（）

A．60B．90C．150D．240

4．（2023·四川達州市·高二期末）公元2023年年初，肆虐著中國武漢，為了抗擊，中國上下眾志成城，紛紛馳援武漢.達州市決定派出6個醫療小組馳援武漢市甲、乙、丙三個地區，每個地區分配2個醫療小組，其中A醫療小組必須去甲地，則不同的安排方法種數為（）

A．30B．60C．90D．180

5．（2023·沈陽市·遼寧省實驗中學分校高二期末）據《孫子算經》中記載，中國古代諸侯的等級從低到高分為：男、子、伯、侯、公，共五級，若給獲得巨大貢獻的7人進行封爵，要求每個等級至少有一人，至多有兩人，則伯爵恰有兩人的概率為（）

A．B．C．D．

考向五幾何問題

【例5】（2023·全國）如圖，的邊上有四點、、、，上有三點、、，則以、、、、、、、中三點為頂點的三角形的個數為（）

A．B．

C．D．

【一隅三反】

1．（2023·湖南高三開學考試）以長方體的頂點為頂點的三棱錐共有（）個

A．70B．64C．60D．58

2．（2023·昆明呈貢新區中學）在圓上有6個不同的點，將這6個點兩兩連接成弦，這些弦將圓分割成的區域數最多為（）

A．32B．15C．16D．31

3．（2023·北京豐臺區·高二期末）平面內有8個點，以其中每2個點為端點的線段的條數為（）

A．21B．28C．42D．56

4．（2023·上海浦東新區·華師大二附中高二期中）以長方體的任意三個頂點為頂點作三角形，從中隨機取出2個三角形，則這2個三角形不共面的情兄有（）種

A．1480B．1468C．1516D．1492

考向六方程不等式問題

【例6】（2023·全國）方程的正整數解的個數__________.

【一隅三反】

1．（2023·山西太原市）三元一次方程x+y+z=13的非負整數解的個數有_____.

2．（2023·四川雅安市·雅安中學高二月考）方程的正整數解共有（）組

A．165B．120C．38D．35

考向七數字問題

【例7】（2023·南通西藏民族中學）從，，，，，中任取三個不同的數相加，則不同的結果共有（）

A．種B．種C．種D．種

【一隅三反】

1．（2023·全國）在1，2，3，4，5，6，7這組數據中，隨機取出五個不同的數，則數字5是取出的五個不同數的中位數的所有取法種數為()

A．6B．12C．18D．24

2．（2023·廣東汕尾市·高二月考）從1，3，5，7，9中任取3個數宇，與0，2，4組成沒有重復數字的六位數，其中偶數共有（）

A．312個B．1560個C．2160個D．3120個

3．（2023·浙江高三其他模擬）從1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個數中取三個，所取三個數之積為偶數且能被3整除，則不同的選取方法有（）

A．55種B．61種C．64種D．70種

人教版高中數學選擇性必修第三冊6.2.3排列組合的綜合運用同步訓練（解析版）

考法一全排列

【例1】（2023·全國專題練習）在新冠肺炎疫情防控期間，某記者要去武漢4個方艙醫院采訪，則不同的采訪順序有（）

A．4種B．12種C．18種D．24種

【答案】D

【解析】由題意可得不同的采訪順序有種，故選：D.

【一隅三反】

1．（2023·全國專題練習）2023年初，我國向相關國家派出了由醫療專家組成的醫療小組．現有四個醫療小組和4個需要援助的國家，每個醫療小組只去一個國家，且4個醫療小組去的國家各不相同，則不同的分配方法有（）

A．64種B．48種C．24種D．12種

【答案】C

【解析】4個醫療小組全排列后按順序到四個國家即可，共有種方法．故選：C．

2．（2023·吉林吉林市·高二期末）將5本不同的數學用書放在同一層書架上，則不同的放法有（）

A．50B．60C．120D．90

【答案】C

【解析】由題意，將5本不同的數學用書放在同一層書架上，即將5本不同數學書全排列，故有種，故選：C．

3．（2023·靈丘縣豪洋中學高二期末）3本不同的課外讀物分給3位同學，每人一本，則不同的分配方法有（）

A．3種B．6種C．12種D．5種

【答案】B

【解析】3本不同的課外讀物分給3位同學，每人一本，全排列：.故選：B

考法二相鄰問題

【例2】（2023·河北張家口市）某班優秀學習小組有甲乙丙丁戊共5人，他們排成一排照相，則甲乙二人相鄰的排法種數為（）

A．24B．36C．48D．60

【答案】C

【解析】先安排甲乙相鄰，有種排法，再把甲、乙看作一個元素，與其余三個人全排列，

故有排法種數為.故選：C

【一隅三反】

1．（2023·全國專題練習）在某場新冠肺炎疫情視頻會議中，甲乙丙丁戊五位疫情防控專家輪流發言，其中甲必須排在前兩位，丙丁必須排在一起，則這五位專家的不同發言順序共有（）

A．8種B．12種C．20種D．24種

【答案】C

【解析】當甲排在第一位時，共有種發言順序，當甲排在第二位時，共有種發言順序，所以一共有種不同的發言順序.故選：C.

2．（2023·湖北隨州市·高二期末）5個人排成一排照相，甲乙要相鄰，則有多少種排列的方法（）

A．24種B．36種C．48種D．72種

【答案】C

【解析】5個人排成一排照相，甲乙要相鄰，則有種排列的方法.故選：C.

3．（2023·重慶高二期末）6月，也稱畢業月，高三的同學們都要與相處了三年的同窗進行合影留念.現有4名男生、2名女生照相合影，若女生必須相鄰，則有（）種排法.

A．24B．120C．240D．140

【答案】C

【解析】將2名女生捆綁在一起，當作1個元素，與另4名男生一起作全排列，有種排法，而2個女生可以交換位置，所以共有排法，故選：C.

4.（2023·深圳市龍崗區龍城高級中學）把座位號為、、、、、的六張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一張，且分給同一人的多張票必須連號，那么不同的分法種數為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】因為每人至少一張，且分給同一人的多張票必須連號，又分給甲、乙、丙、丁四個人，

則在座位號、、、、、的五個空位插3個板子，有種，

然后再分給甲、乙、丙、丁四個人，有種，所以不同的分法種數為,故選：B

考法三不相鄰問題

【例3】（2023·河北石家莊市·石家莊二中高二期中）省實驗中學為預防秋季流感爆發，計劃安排學生在校內進行常規體檢，共有3個檢查項目，需要安排在3間空教室進行檢查，學校現有一排6間的空教室供選擇使用，但是為了避免學生擁擠，要求作為檢查項目的教室不能相鄰，則共有（）種安排方式.

A．12B．24C．36D．48

【答案】B

【解析】6間空教室，有3個空教室不使用，故可把作為檢查項目的教室插入3個不使用的教室之間，故所有不同的安排方式的總數為.故選：B.

【一隅三反】

1．（2023·北京高二期末）3位老師和4名學生站成一排，要求任意兩位老師都不相鄰，則不同的排法種數為（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】根據題意，分2步進行：①將4名學生站成一排，有種排法；

②4人排好后，有5個空位可選，在其中任選3個，安排三名教師，有種情況；則有種排法；

故選：D.

2．（2023·北海市教育教學研究室高二期末）若5個人排成一列縱隊，則其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法有（）

A．12種B．14種C．5種D．4種

【答案】A

【解析】分兩步完成：第一步，5個人中除去甲、乙、丙三人余2人排列有種排法；第二步，從3個可插空檔給甲、乙、丙3人排隊有種插法.由分步乘法計數原理可知，一共有種排法.故答案選A

3．（2023·四川省新津中學）五名學生和五名老師站成一排照相，五名老師不能相鄰的排法有（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由題意五名老師不能相鄰用插空法，排法數為．故選：B．

4．（2023·重慶市第七中學校高二月考）現“學習強國”平臺設有“閱讀文章”、“視聽學習”等多個欄目.在某時段時，更新了2篇文章和4個視頻，一位學習者準備學習這2篇文章和其中2個視頻，則這2篇文章學習順序不相鄰的學法有（）種.

A．24B．36C．72D．144

【答案】C

【解析】根據題意，分2步進行分析：

①，在4個視頻中任選2個進行學習，有種情況，

②，將選出的2個視頻與2篇文章依次進行學習，共有種情況，其中2篇文章學習順序相鄰的情況有種情況，故2篇文章學習順序不相鄰的情況有12種，

則這2篇文章學習順序不相鄰的學法有種；故選：C

考法四分組分配

【例4】（2023·全國）疫情期間，上海某醫院安排5名專家到3個不同的區級醫院支援，每名專家只去一個區級醫院，每個區級醫院至少安排一名專家，則不同的安排方法共有（）

A．60種B．90種C．150種D．240種

【答案】C

【解析】5名專家到3個不同的區級醫院，分為1，2，2和1,1,3兩種情況；

分為1，2，2時安排有;分為1，1，3時安排有

所以一共有故選：C

【一隅三反】

1．（2023·廣東深圳市·深圳外國語學校）有四位朋友于七夕那天乘坐高鐵G77從武漢出發（G77只會在長沙、廣州、深圳停），分別在每個停的站點至少下一個人，則不同的下車方案有（）

A．24種B．36種C．81種D．256種

【答案】B

【解析】依據題意每個停的站點至少下一個人，先按2+1+1分成三組，有種分法，再分配到三個站點，有種分法，所以一共有種不同的下車方案.故選：B.

2．（2023·河北）特崗教師是上都實施的一項對中西部地區農村義務教育的特殊政策.某教育行政部門為本地兩所農村小學招聘了6名特崗教師，其中體育教師2名，數學教師4名.按每所學校1名體育教師，2名數學教師進行分配，則不同的分配方案有（）

A．24B．14C．12D．8

【答案】C

【解析】先把4名數學教師平分為2組，有種方法，

再把2名體育教師分別放入這兩組，有種方法，

最后把這兩組教師分配到兩所農村小學，共有種方法.故選：C.

3．（2023·江西高二期末）江西省旅游產業發展大會于2023年6月11日～13日在贛州舉行，某旅游公司為推出新的旅游項目，特派出五名工作人員前往贛州三個景點進行團隊游的可行性調研.若每名工作人員只去一個景點且每個景點至少有一名工作人員前往，則不同的人員分配方案種數為（）

A．60B．90C．150D．240

【答案】C

【解析】根據題意，分2步進行分析：

①將五名工作人員分成3組，

若分為3、1、1的三組，有種分法，

若分為2、2、1的三組，種分法，

則有種分組分法；

②將分好的三組全排列，對應三個景點，有種情況，

則有種分配方法；故選：．

4．（2023·四川達州市·高二期末）公元2023年年初，肆虐著中國武漢，為了抗擊，中國上下眾志成城，紛紛馳援武漢.達州市決定派出6個醫療小組馳援武漢市甲、乙、丙三個地區，每個地區分配2個醫療小組，其中A醫療小組必須去甲地，則不同的安排方法種數為（）

A．30B．60C．90D．180

【答案】A

【解析】根據題意，分2步進行：

①將6個醫療小組平均分成3組，每組2支醫療隊，有種分組方法；

②將甲所在的小組安排到甲地，其他兩個小組安排到乙、丙兩地，有種情況，

則有種不同的安排方法.

故選：A.

5．（2023·沈陽市·遼寧省實驗中學分校高二期末）據《孫子算經》中記載，中國古代諸侯的等級從低到高分為：男、子、伯、侯、公，共五級，若給獲得巨大貢獻的7人進行封爵，要求每個等級至少有一人，至多有兩人，則伯爵恰有兩人的概率為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】人進行封爵，每個等級至少一人，至多兩人，則共有種分法；

其中伯爵恰有兩人的分法有種分法，

伯爵恰有兩人的概率.故選：.

考向五幾何問題

【例5】（2023·全國）如圖，的邊上有四點、、、，上有三點、、，則以、、、、、、、中三點為頂點的三角形的個數為（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】利用間接法，先在個點中任取個點，再減去三點共線的情況，

因此，符合條件的三角形的個數為.故選：B.

【一隅三反】

1．（2023·湖南高三開學考試）以長方體的頂點為頂點的三棱錐共有（）個

A．70B．64C．60D．58

【答案】D

【解析】三棱錐有4個頂點，從長方體8個頂點中任取4個點共有種取法，排除其中四點共面的有：長方體的面6個，對角面6個，可得不同的三棱錐有個.故選：D.

2．（2023·昆明呈貢新區中學）在圓上有6個不同的點，將這6個點兩兩連接成弦，這些弦將圓分割成的區域數最多為（）

A．32B．15C．16D．31

【答案】D

【解析】兩個點可以連一條弦，將圓分為兩部分，加一個點，多兩條弦，將圓多分出來兩部分，所以每加一條弦可以按這種方式多出一個區域，再加一個點，變成了一對相交弦和四條其他的弦，共分為8個區域，所以除去前一種方式增加的區域數，一對相交弦還會多產生一個區域，故當點數多于4個時，最多可分得總的區域數為，此題，所以最多可分為31個區域.故選：D.

3．（2023·北京豐臺區·高二期末）平面內有8個點，以其中每2個點為端點的線段的條數為（）

A．21B．28C．42D．56

【答案】B

【解析】線段由個端點組成，因此只需要從個點中選取個即可構成一條線段，

所以線段條數為，故選：B.

4．（2023·上海浦東新區·華師大二附中高二期中）以長方體的任意三個頂點為頂點作三角形，從中隨機取出2個三角形，則這2個三角形不共面的情兄有（）種

A．1480B．1468C．1516D．1492

【答案】B

【解析】因為平行六面體的8個頂點任意三個均不共線，

故從8個頂點中任取三個均可構成一個三角形共有個三角形，

從中任選兩個，共有種情況，

因為平行六面體有六個面,六個對角面，

從8個頂點中4點共面共有12種情況，

每個面的四個頂點共確定6個不同的三角形，

故任取出2個三角形，則這2個三角形不共面共有1540-12×6=1468種，故選：B.

考向六方程不等式問題

【例6】（2023·全國）方程的正整數解的個數__________.

【答案】

【解析】問題中的看作是三個盒子，問題則轉化為把個球放在三個不同的盒子里，有多少種方法．

將個球排一排后，中間插入兩塊隔板將它們分成三堆球，使每一堆至少一個球．

隔板不能相鄰，也不能放在兩端，只能放在中間的個空內．共有種．故答案為：

【一隅三反】

1．（2023·山西太原市）三元一次方程x+y+z=13的非負整數解的個數有_____.

【答案】

【解析】由,則

設，則且，

則三元一次方程x+y+z=13的非負整數解的個數等價于,的解的個數,等價于將16個相同的小球分成3組，每組至少1個小球的不同分法，

又將16個相同的小球分成3組，每組至少1個的不同分法，只需在16個球之間的15個空中選2個空用隔板隔開即可，則共有種分法，即三元一次方程x+y+z=13的非負整數解的個數有個，

故答案為：.

2．（2023·四川雅安市·雅安中學高二月考）方程的正整數解共有（）組

A．165B．120C．38D．35

【答案】A

【解析】如圖，將12個完全相同的球排成一列，

在它們之間形成的11個空隙中任選三個插入三塊隔板，把球分成四組，每一種分法所得球的數目依次是、、、，顯然滿足，故是方程的一組解，

反之，方程的每一