7.1復數的概念7.1.1數系的擴充和復數的概念學習目標1.了解引進虛數單位i的必要性，了解數系的擴充過程.2.理解在數系的擴充中由實數集擴展到復數集出現的一些基本概念.3.掌握復數代數形式的表示方法，理解復數相等的充要條件.知識點一復數的有關概念1.復數(1)定義：我們把形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位，滿足i2＝－1.(2)表示方法：復數通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做復數z的實部，b叫做復數z的虛部.2.復數集(1)定義：全體復數所構成的集合叫做復數集.(2)表示：通常用大寫字母C表示.知識點二復數的分類1.復數z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實數b＝0，,虛數b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(純虛數a＝0，,非純虛數a≠0.))))2.復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系知識點三復數相等的充要條件設a，b，c，d都是實數，則a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d，a＋bi＝0?a＝b＝0.1.若a，b為實數，則z＝a＋bi為虛數.(×)2.復數i的實部不存在，虛部為0.(×)3.bi是純虛數.(×)4.如果兩個復數的實部的差和虛部的差都等于0，那么這兩個復數相等.(√)一、復數的概念例1下列命題：①若a∈R，則(a＋1)i是純虛數；②若a，b∈R，且a>b，則a＋i>b＋i；③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數，則實數x＝±2；④實數集是復數集的真子集.其中正確的是()A.①B.②C.③D.④答案D解析對于復數a＋bi(a，b∈R)，當a＝0且b≠0時，為純虛數.對于①，若a＝－1，則(a＋1)i不是純虛數，即①錯誤.兩個虛數不能比較大小，則②錯誤.對于③，若x＝－2，則x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此時(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是純虛數，則③錯誤.顯然，④正確.反思感悟復數a＋bi(a，b∈R)中，實數a和b分別叫做復數的實部和虛部.特別注意，b為復數的虛部而不是虛部的系數，b連同它的符號叫做復數的虛部.跟蹤訓練1(多選)對于復數a＋bi(a，b∈R)，下列說法不正確的是()A.若a＝0，則a＋bi為純虛數B.若a＋(b－1)i＝3－2i，則a＝3，b＝－2C.若b＝0，則a＋bi為實數D.i的平方等于1答案ABD解析對于A，當a＝0時，a＋bi也可能為實數；對于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，則a＝3，b＝－1；對于D，i的平方為－1.所以ABD均錯誤.二、復數的分類例2當m為何實數時，復數z＝eq\f(m2－m－6,m＋3)＋(m2－2m－15)i.(1)是虛數；(2)是純虛數.解(1)當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3≠0，,m2－2m－15≠0，))即m≠5且m≠－3時，z是虛數.(2)當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m2－m－6,m＋3)＝0，,m2－2m－15≠0，))即m＝3或m＝－2時，z是純虛數.延伸探究1.本例中條件不變，當m為何值時，z為實數？解當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3≠0，,m2－2m－15＝0，))即m＝5時，z是實數.2.已知z＝log2(1＋m)＋i(3－m)(m∈R)，若z是虛數，求m的取值范圍.解∵z是虛數，∴(3－m)≠0，且1＋m>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－m>0，,3－m≠1，,1＋m>0，))∴－1<m<2或2<m<3.∴m的取值范圍為(－1,2)∪(2,3).反思感悟解決復數分類問題的方法與步驟(1)化標準式：解題時一定要先看復數是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部.(2)定條件：復數的分類問題可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)即可.(3)下結論：設所給復數為z＝a＋bi(a，b∈R)，①z為實數?b＝0.②z為虛數?b≠0.③z為純虛數?a＝0且b≠0.跟蹤訓練2若復數(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數，則實數a的值為()A.1B.2C.1或2D.－1答案B解析根據復數的分類知，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋2＝0，,a－1≠0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1或a＝2，,a≠1，))即a＝2.三、復數相等的充要條件例3若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求實數x，y的值.解由復數相等的充要條件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,y＝x＋1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(1,2).))延伸探究若關于x的方程3x2－eq\f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有實根，求實數a的值.解設方程的實根為x＝m，則原方程可變為3m2－eq\f(a,2)m－1＝(10－m－2m2)i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m2－\f(a,2)m－1＝0，,10－m－2m2＝0，))解得a＝11或a＝－eq\f(71,5).反思感悟復數相等問題的解題技巧(1)必須是復數的代數形式才可以根據實部與實部相等，虛部與虛部相等列方程組求解.(2)根據復數相等的條件，將復數問題轉化為實數問題，為應用方程思想提供了條件，同時這也是復數問題實數化思想的體現.(3)如果兩個復數都是實數，可以比較大小，否則是不能比較大小的.跟蹤訓練3復數z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，則m＝________.答案5解析因為m∈R，z1＝z2，所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.由復數相等的充要條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋7＝m2－8，,m2－2＝4m＋3，))解得m＝5.1.在2＋eq\r(7)，eq\f(2,7)i,8＋5i，(1－eq\r(3))i,0.618這幾個數中，純虛數的個數為()A.0B.1C.2D.3答案C解析eq\f(2,7)i，(1－eq\r(3))i是純虛數，2＋eq\r(7)，0.618是實數，8＋5i是虛數.2.已知復數z＝a2－(2－b)i的實部和虛部分別是2和3，則實數a，b的值分別是()A.eq\r(2)，1 B.eq\r(2)，5C.±eq\r(2)，5 D.±eq\r(2)，1答案C解析令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝2，,－2＋b＝3，))得a＝±eq\r(2)，b＝5.3.(多選)若復數z＝m2－1＋(m2－m－2)i為實數，則實數m的值可以為()A.－1 B.2C.1 D.－2答案AB解析因為復數z＝m2－1＋(m2－m－2)i為實數，所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.4.已知復數z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的實部大于虛部，則實數a的取值范圍是________________.答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1，因此，實數a的取值范圍是(－∞，－1)∪(3，＋∞).5.已知x2－y2＋2xyi＝2i(其中x>0)，則實數x＝________，y＝________.答案11解析∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝0，,2xy＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1舍.))1.知識清單：(1)數系的擴充.(2)復數的概念.(3)復數的分類.(4)復數相等的充要條件.2.方法歸納：方程思想.3.常見誤區：未化成z＝a＋bi的形式.1.設a，b∈R，“a＝0”是“復數a＋bi是純虛數”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案B解析因為a，b∈R，當“a＝0”時，“復數a＋bi是純虛數”不一定成立，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R.而當“復數a＋bi是純虛數”時，“a＝0”一定成立.所以a，b∈R，“a＝0”是“復數a＋bi是純虛數”的必要不充分條件.2.給出下列三個命題：①若z∈C，則z2≥0；②2i－1的虛部是2i；③2i的實部是0.其中正確命題的個數為()A.0B.1C.2D.3答案B解析①錯誤，例如z＝i，則z2＝－1；②錯誤，因為2i－1虛部是2；③正確，因為2i＝0＋2i.3.在復平面內，復數z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)是純虛數，則()A.a＝0或a＝2 B.a＝0C.a≠1且a≠2 D.a≠1或a≠2答案B解析因為復數z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是純虛數，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.4.若a，b∈R，i是虛數單位，a＋2019i＝2－bi，則a2＋bi等于()A.2019＋2i B.2019＋4iC.2＋2019i D.4－2019i答案D解析因為a＋2019i＝2－bi，所以a＝2，－b＝2019，即a＝2，b＝－2019，所以a2＋bi＝4－2019i.5.(多選)下列命題中錯誤的有()A.若x，y∈C，則x＋yi＝1＋i的充要條件是x＝y＝1B.純虛數集相對于復數集的補集是虛數集C.若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，則z1＝z2＝z3D.若實數a與ai對應，則實數集與復數集一一對應答案ABCD解析取x＝i，y＝－i，則x＋yi＝1＋i，但不滿足x＝y＝1，故A錯；BC錯；對于D，a＝0時，ai＝0，D錯.6.設m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是純虛數，其中i是虛數單位，則m＝________.答案－2解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－2＝0，,m2－1≠0，))得m＝－2.7.如果x－1＋yi與i－3x為相等復數，x，y為實數，則x＝________，y＝________.答案eq\f(1,4)1解析由復數相等可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝－3x，,y＝1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4)，,y＝1.))8.如果(m2－1)＋(m2－2m)i>1則實數m的值為________.答案2解析由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝0，,m2－1>1，))解得m＝2.9.實數m分別取什么數值時，復數z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)是實數；(2)是虛數；(3)是純虛數；(4)是0.解由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.(1)當m2－2m－15＝0時，復數z為實數，∴m＝5或－3.(2)當m2－2m－15≠0時，復數z為虛數，∴m≠5且m≠－3.(3)當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－15≠0，,m2＋5m＋6＝0))時，復數z是純虛數，∴m＝－2.(4)當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－15＝0，,m2＋5m＋6＝0))時，復數z是0，∴m＝－3.10.分別求滿足下列條件的實數x，y的值.(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；(2)eq\f(x2－x－6,x＋1)＋(x2－2x－3)i＝0.解(1)∵x，y∈R，∴由復數相等的定義，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＝x－y，,y＋1＝－x－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－2.))(2)∵x∈R，∴由復數相等的定義，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2－x－6,x＋1)＝0，,x2－2x－3＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3或x＝－2，且x≠－1，,x＝3或x＝－1，))∴x＝3.11.若sin2θ－1＋i(eq\r(2)cosθ＋1)是純虛數，則θ的值為()A.2kπ－eq\f(π,4)(k∈Z) B.2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)C.2kπ±eq\f(π,4)(k∈Z) D.eq\f(k,2)π＋eq\f(π,4)(k∈Z)答案B解析由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2θ－1＝0，,\r(2)cosθ＋1≠0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(θ＝kπ＋\f(π,4)，,θ≠2kπ±\f(3π,4)，))k∈Z，∴θ＝2kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z.12.已知關于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有實數根n，且z＝m＋ni，則復數z等于()A.3＋i B.3－iC.－3－i D.－3＋i答案B解析由題意知(n2＋mn)＋2ni＝－2－2i，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2＋mn＋2＝0，,2n＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝－1.))∴z＝3－i.13.已知z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i.則m＝1是z1＝z2的______________條件.答案充分不必要解析當z1＝z2時，必有m2＋m＋1＝3且m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，顯然m＝1是z1＝z2的充分不必要條件.14.使不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立的實數m的取值集合是________.答案{3}解析由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m＝0，,m2－4m＋3＝0，,m2<10，))解得m＝3，所以所求的實數m的取值集合是{3}.15.若復數z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ－\f(4,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ－\f(3,5)))i是純虛數(i為虛數單位)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))的值為()A.7 B.－eq\f(1,7)C.－7 D.－7或－eq\f(1,7)答案C解析∵復數z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ－\f(4,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ－\f(3,5)))i是純虛數，∴cosθ－eq\f(4,5)＝0，sinθ－eq\f(3,5)≠0，∴sinθ＝－eq\f(3,5)，∴tanθ＝－eq\f(3,4)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(tanθ－1,1＋tanθ)＝eq\f(－\f(3,4)－1,1－\f(3,4))＝－7.16.已知復數z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sinθ＋(cosθ－2)i(其中i是虛數單位，m，λ，θ∈R).(1)若z1為純虛數，求實數m的值；(2)若z1＝z2，求實數λ的取值范圍.解(1)∵z1為純虛數，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－m2＝0，,m－2≠0，))解得m＝－2.(2)由z1＝z2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－m2＝λ＋2sinθ，,m－2＝cosθ－2，))∴λ＝4－cos2θ－2sinθ＝sin2θ－2sinθ＋3＝(sinθ－1)2＋2.∵－1≤sinθ≤1，∴當sinθ＝1時，λmin＝2，當sinθ＝－1時，λmax＝6，∴實數λ的取值范圍是[2,6].7.1.2復數的幾何意義學習目標1.理解可以用復平面內的點或以原點為起點的向量來表示復數及它們之間的一一對應關系.2.掌握實軸、虛軸、模、共軛復數等概念.3.掌握用向量的模來表示復數的模的方法.知識點一復平面思考有些同學說：實軸上的點表示實數，虛軸上的點表示虛數，這句話對嗎？答案不正確.實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數，原點對應的有序實數對為(0,0)，它所確定的復數是z＝0＋0i＝0，表示的是實數.知識點二復數的幾何意義1.復數z＝a＋bi(a，b∈R)復平面內的點Z(a，b).2.復數z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).知識點三復數的模1.定義：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模或絕對值.2.記法：復數z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|.3.公式：|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).知識點四共軛復數1.定義：當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數.虛部不等于0的兩個共軛復數也叫共軛虛數.2.表示：z的共軛復數用eq\x\to(z)表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq\x\to(z)＝a－bi.1.復平面內的點與復數是一一對應的.(√)2.復數的模一定是正實數.(×)3.若|z1|＝|z2|，則z1＝z2.(×)4.兩個復數互為共軛復數，則它們的模相等.(√)一、復數與復平面內的點的關系例1已知復數z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.當復數z在復平面內對應的點Z滿足下列條件時，求a的值(或取值范圍).(1)在實軸上；(2)在第三象限.解(1)若z對應的點Z在實軸上，則有2a－1＝0，解得a＝eq\f(1,2).(2)若z對應的點Z在第三象限，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1<0，,2a－1<0，))解得－1<a<eq\f(1,2).故a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).反思感悟利用復數與點的對應關系解題的步驟(1)找對應關系：復數的幾何表示法即復數z＝a＋bi(a，b∈R)可以用復平面內的點Z(a，b)來表示，是解決此類問題的根據.(2)列出方程：此類問題可建立復數的實部與虛部應滿足的條件，通過解方程(組)或不等式(組)求解.跟蹤訓練1在復平面內，若復數z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的對應點在虛軸上和實軸負半軸上，分別求復數z.解若復數z的對應點在虛軸上，則m2－m－2＝0，所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0.若復數z的對應點在實軸負半軸上，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－2<0，,m2－3m＋2＝0，))所以m＝1，所以z＝－2.二、復數與復平面內的向量的關系例2(1)已知M(1,3)，N(4，－1)，P(0,2)，Q(－4,0)，O為復平面的原點，試寫出eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))所表示的復數；(2)已知復數1，－1＋2i，－3i,6－7i，在復平面內畫出這些復數對應的向量；(3)在復平面內的長方形ABCD的四個頂點中，點A，B，C對應的復數分別是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求點D對應的復數.解(1)eq\o(OM,\s\up6(→))表示的復數為1＋3i；eq\o(ON,\s\up6(→))表示的復數為4－i；eq\o(OP,\s\up6(→))表示的復數為2i；eq\o(OQ,\s\up6(→))表示的復數為－4.(2)設復數1對應的向量為eq\o(OA,\s\up6(→))，其中A(1,0)；復數－1＋2i對應的向量為eq\o(OB,\s\up6(→))，其中B(－1,2)；復數－3i對應的向量為eq\o(OC,\s\up6(→))，其中C(0，－3)；復數6－7i對應的向量為eq\o(OD,\s\up6(→))，其中D(6，－7).如圖所示.(3)記O為復平面的原點，由題意得eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2,3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3,2)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－2，－3).設eq\o(OD,\s\up6(→))＝(x，y)，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x－2，y－3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－5，－5).由題意知，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝－5，,y－3＝－5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－2，))故點D對應的復數為－3－2i.反思感悟復數與平面向量的對應關系(1)根據復數與平面向量的對應關系，可知當平面向量的起點在原點時，向量的終點對應的復數即為向量對應的復數.反之復數對應的點確定后，從原點引出的指向該點的有向線段，即為復數對應的向量.(2)解決復數與平面向量一一對應的問題時，一般以復數與復平面內的點一一對應為工具，實現復數、復平面內的點、向量之間的轉化.跟蹤訓練2已知平面直角坐標系中O是原點，向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))對應的復數分別為2－3i，－3＋2i，那么向量eq\o(BA,\s\up6(→))對應的復數是()A.－5＋5i B.5－5iC.5＋5i D.－5－5i答案B解析向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))對應的復數分別記作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根據復數與復平面內的點一一對應，可得向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－3,2).由向量減法的坐標運算可得向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根據復數與復平面內的點一一對應，可得向量eq\o(BA,\s\up6(→))對應的復數是5－5i.三、復數的模及其應用例3(1)設(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數，則|x＋yi|等于()A.1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D.2答案B解析因為(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).(2)已知復數z滿足z＋|z|＝2＋8i，求復數z.解設z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝eq\r(a2＋b2)，代入方程得a＋bi＋eq\r(a2＋b2)＝2＋8i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－15，,b＝8.))∴z＝－15＋8i.反思感悟復數模的計算(1)計算復數的模時，應先確定復數的實部和虛部，再利用模長公式計算.雖然兩個虛數不能比較大小，但它們的模可以比較大小.(2)設出復數的代數形式，利用模的定義轉化為實數問題求解.跟蹤訓練3(1)已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列選項中正確的是()A.z1>z2 B.z1<z2C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2|答案D解析|z1|＝|5＋3i|＝eq\r(52＋32)＝eq\r(34)，|z2|＝|5＋4i|＝eq\r(52＋42)＝eq\r(41).因為eq\r(34)<eq\r(41)，所以|z1|<|z2|.(2)已知0<a<3，復數z＝a＋i(i是虛數單位)，則|z|的取值范圍是()A.(1，eq\r(10)) B.(1，eq\r(3))C.(1,3) D.(1,10)答案A解析0<a<3，復數z＝a＋i(i是虛數單位)，則|z|＝eq\r(a2＋1)∈(1，eq\r(10)).復數模的幾何意義典例設z∈C，且滿足下列條件，在復平面內，復數z對應的點Z的集合是什么圖形？(1)|z|<3；(2)|z|＝2.解(1)設z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|＝eq\r(x2＋y2).由題意知eq\r(x2＋y2)<3，x2＋y2<9.所以復數z對應的點Z的集合是以原點O為圓心，3為半徑的圓面，不包括邊界.(2)根據模的幾何意義，|z|＝2表示復數z對應的點到原點的距離為2.所以滿足|z|＝2的點Z的集合為以原點為圓心，2為半徑的圓.[素養提升]復數模的幾何意義可以延伸為|z|表示復數z對應的點Z與原點之間的距離，從而可以用數形結合解決有關的問題，考查直觀想象素養.1.復數z＝－1－2i(i為虛數單位)在復平面內對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案C解析z＝－1－2i對應點Z(－1，－2)，位于第三象限.2.(多選)已知復數z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，則實數m的值可以為()A.1B.2C.3D.4答案AC解析依題意可得eq\r(m－32＋m－12)＝2，解得m＝1或3.3.已知z＝m－1＋(m＋2)i在復平面內對應的點在第二象限，則實數m的取值范圍是()A.(－1,2) B.(－2,1)C.(1，＋∞) D.(－∞，－2)答案B解析∵z＝m－1＋(m＋2)i在復平面內對應的點在第二象限，∴m－1<0，m＋2>0，解得－2<m<1，則實數m的取值范圍是(－2,1).4.設復數z＝i，則z的共軛復數為______.答案－i1.知識清單：(1)復數與復平面內的點、向量之間的對應關系.(2)復數的模及幾何意義.(3)共軛復數.2.方法歸納：待定系數法、數形結合.3.常見誤區：虛數不能比較大小，虛數的模可以比較大小；|z－(a＋bi)|表示復平面內的點到點(a，b)的距離.1.已知復數z1＝2＋i，z2＝－i，則eq\f(|z1|,|z2|)等于()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(1,5)C.eq\r(5)D.5答案C解析依題意|z1|＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，|z2|＝eq\r(－12)＝1，所以eq\f(|z1|,|z2|)＝eq\r(5).2.向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))對應的復數是5－4i，向量eq\o(OZ2,\s\up6(→))對應的復數是－5＋4i，則eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))對應的復數是()A.－10＋8i B.10－8iC.0 D.10＋8i答案C解析由復數的幾何意義，可得eq\o(OZ1,\s\up6(→))＝(5，－4)，eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(－5,4)，所以eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))對應的復數為0.3.在復平面內，復數6＋5i，－2＋3i對應的點分別為A，B，若C為線段AB的中點，則點C對應的復數是()A.4＋8i B.8＋2iC.2＋4i D.4＋i答案C解析因為復數6＋5i，－2＋3i對應的點分別為A，B，所以A(6,5)，B(－2,3)，又C為線段AB的中點，所以C(2,4)，所以點C對應的復數是2＋4i.4.已知復數z＝a＋eq\r(3)i(a∈R)在復平面內對應的點位于第二象限，且|z|＝2，則復數z等于()A.－1＋eq\r(3)i B.1＋eq\r(3)iC.－1＋eq\r(3)i或1＋eq\r(3)i D.－2＋eq\r(3)i答案A解析因為z在復平面內對應的點位于第二象限，所以a<0，由|z|＝2知，eq\r(a2＋\r(3)2)＝2，解得a＝±1，故a＝－1，所以z＝－1＋eq\r(3)i.5.(多選)設z＝(2m2＋2m－1)＋(m2－2m＋2)i(m∈R)，則下列結論中錯誤的是()A.z在復平面內對應的點在第一象限B.z一定不是純虛數C.z在復平面內對應的點在實軸上方D.z一定是實數答案ABD解析2m2＋2m－1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)))2－eq\f(3,2)，m2－2m＋2＝(m－1)2＋1>0，則z在復平面內對應的點一定在實軸上方.6.復數z＝x－2＋(3－x)i在復平面內對應的點在第四象限，則實數x的取值范圍是________.答案(3，＋∞)解析∵復數z在復平面內對應的點在第四象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2>0，,3－x<0，))解得x>3.7.若復數z＝(m－2)＋(m＋1)i為純虛數(i為虛數單位)，其中m∈R，則|z|＝________.答案3解析復數z＝(m－2)＋(m＋1)i為純虛數(i為虛數單位)，所以m－2＝0且m＋1≠0，解得m＝2，所以z＝3i，所以|z|＝3.8.復數4＋3i與－2－5i分別表示向量eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))表示的復數是________.答案－6－8i解析因為復數4＋3i與－2－5i分別表示向量eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4,3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－2，－5)，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))表示的復數是－6－8i.9.在復平面內，O是原點，向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應的復數為2＋i.(1)如果點A關于實軸的對稱點為點B，求向量eq\o(OB,\s\up6(→))對應的復數；(2)如果(1)中的點B關于虛軸的對稱點為點C，求點C對應的復數.解(1)設向量eq\o(OB,\s\up6(→))對應的復數為z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，則點B的坐標為(x1，y1)，由題意可知，點A的坐標為(2,1).根據對稱性可知，x1＝2，y1＝－1，故z1＝2－i.(2)設點C對應的復數為z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，則點C的坐標為(x2，y2)，由對稱性可知，x2＝－2，y2＝－1，故z2＝－2－i.10.設z＝x＋yi(x，y∈R)，若1≤|z|≤eq\r(2)，判斷復數w＝x＋y＋(x－y)i的對應點的集合表示什么圖形，并求其面積.解|w|＝eq\r(x＋y2＋x－y2)＝eq\r(2x2＋y2)＝eq\r(2)|z|，而1≤|z|≤eq\r(2)，故eq\r(2)≤|w|≤2.所以w對應點的集合是以原點為圓心，半徑為eq\r(2)和2的圓所夾圓環內點的集合(含內外圓周)，其面積S＝π[22－(eq\r(2))2]＝2π.11.已知a為實數，若復數z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i為純虛數，則復數a－ai在復平面內對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析若復數z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i是純虛數，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a－4＝0，,a－4≠0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4或a＝－1，,a≠4，))即a＝－1，則復數a－ai＝－1＋i對應的點為(－1,1)，位于第二象限.12.在復平面內，把復數3－eq\r(3)i對應的向量按順時針方向旋轉eq\f(π,3)，所得向量對應的復數是()A.2eq\r(3) B.－2eq\r(3)iC.eq\r(3)－3i D.3＋eq\r(3)i答案B解析復數對應的點為(3，－eq\r(3))，對應的向量按順時針方向旋轉eq\f(π,3)，則對應的點為(0，－2eq\r(3))，所得向量對應的復數為－2eq\r(3)i.13.設A，B為銳角三角形的兩個內角，則復數z＝(cosB－tanA)＋itanB對應的點位于復平面的()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析因為A，B為銳角三角形的兩個內角，所以A＋B>eq\f(π,2)，即A>eq\f(π,2)－B，sinA>cosB，cosB－tanA＝cosB－eq\f(sinA,cosA)<cosB－sinA<0，又tanB>0，所以點(cosB－tanA，tanB)在第二象限，故選B.14.若復數3－5i,1－i和－2＋ai在復平面上對應的點在同一條直線上，則實數a的值為________.答案5解析由點(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共線可知a＝5.15.已知復數z滿足|z|2－3|z|＋2＝0，則復數z對應點的軌跡是()A.一個圓 B.兩個圓C.兩點 D.線段答案B解析由|z|2－3|z|＋2＝0，得(|z|－1)·(|z|－2)＝0，所以|z|＝1或|z|＝2.由復數模的幾何意義知，z對應點的軌跡是兩個圓.16.已知O為坐標原點，eq\o(OZ1,\s\up6(→))對應的復數為－3＋4i，eq\o(OZ2,\s\up6(→))對應的復數為2a＋i(a∈R).若eq\o(OZ1,\s\up6(→))與eq\o(OZ2,\s\up6(→))共線，求a的值.解因為eq\o(OZ1,\s\up6(→))對應的復數為－3＋4i，eq\o(OZ2,\s\up6(→))對應的復數為2a＋i，所以eq\o(OZ1,\s\up6(→))＝(－3,4)，eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(2a,1).因為eq\o(OZ1,\s\up6(→))與eq\o(OZ2,\s\up6(→))共線，所以存在實數k使eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝keq\o(OZ1,\s\up6(→))，即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝－3k，,1＝4k，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,4)，,a＝－\f(3,8).))即a的值為－eq\f(3,8).7.2復數的四則運算7.2.1復數的加、減運算及其幾何意義學習目標1.熟練掌握復數代數形式的加、減運算法則.2.理解復數加減法的幾何意義，能夠利用“數形結合”的思想解題.知識點一復數加法與減法的運算法則1.設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數，則(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.2.對任意z1，z2，z3∈C，有(1)z1＋z2＝z2＋z1；(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).知識點二復數加減法的幾何意義如圖，設復數z1，z2對應向量分別為eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))與復數z1＋z2對應，向量eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))與復數z1－z2對應.思考類比絕對值|x－x0|的幾何意義，|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是什么？答案|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是復平面內點Z到點Z0的距離.1.兩個虛數的和或差可能是實數.(√)2.在進行復數的加法時，實部與實部相加得實部，虛部與虛部相加得虛部.(√)3.復數與復數相加減后結果只能是實數.(×)4.復數的加法不可以推廣到多個復數相加的情形.(×)一、復數代數形式的加、減運算例1(1)計算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；(2)設z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.解(1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.(2)因為z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋x＝5，,2－y＝－6，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝8，))所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i.反思感悟解決復數加減運算的思路兩個復數相加(減)，就是把兩個復數的實部相加(減)，虛部相加(減).復數的減法是加法的逆運算.當多個復數相加(減)時，可將這些復數的所有實部相加(減)，所有虛部相加(減).跟蹤訓練1復數(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)對應的點在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案A解析復數(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其對應的點為(9,1)，在第一象限.二、復數加減法的幾何意義例2如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O，A，C分別表示0,3＋2i，－2＋4i.求：(1)eq\o(AO,\s\up6(→))表示的復數；(2)對角線eq\o(CA,\s\up6(→))表示的復數；(3)對角線eq\o(OB,\s\up6(→))表示的復數.解(1)因為eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))表示的復數為－3－2i.(2)因為eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，所以對角線eq\o(CA,\s\up6(→))表示的復數為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因為eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，所以對角線eq\o(OB,\s\up6(→))表示的復數為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.反思感悟復數與向量的對應關系的兩個關注點(1)復數z＝a＋bi(a，b∈R)是與以原點為起點，Z(a，b)為終點的向量一一對應的.(2)一個向量可以平移，其對應的復數不變，但是其起點與終點所對應的復數可能改變.跟蹤訓練2已知平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))對應的復數分別是3＋2i與1＋4i，兩對角線AC與BD相交于點O.求：(1)eq\o(AD,\s\up6(→))對應的復數；(2)eq\o(DB,\s\up6(→))對應的復數.解(1)因為ABCD是平行四邊形，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，于是eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即eq\o(AD,\s\up6(→))對應的復數是－2＋2i.(2)因為eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即eq\o(DB,\s\up6(→))對應的復數是5.三、復數模的綜合問題例3如果復數z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是()A.1B.eq\f(1,2)C.2D.eq\r(5)答案A解析設復數z，－i，i，－1－i在復平面內對應的點分別為Z，Z1，Z2，Z3，因為|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以點Z的集合為線段Z1Z2.所以Z點在線段Z1Z2上移動，|Z1Z3|min＝1，所以|z＋i＋1|min＝1.反思感悟|z1－z2|表示復平面內z1，z2對應的兩點間的距離.利用此性質，可把復數模的問題轉化為復平面內兩點間的距離問題，從而進行數形結合，把復數問題轉化為幾何圖形問題求解.跟蹤訓練3△ABC的三個頂點所對應的復數分別為z1，z2，z3，復數z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，則z對應的點是△ABC的()A.外心 B.內心C.重心 D.垂心答案A解析由復數模及復數減法運算的幾何意義，結合條件可知復數z的對應點P到△ABC的頂點A，B，C的距離相等，∴P為△ABC的外心.1.復數(1－i)－(2＋i)＋3i等于()A.－1＋i B.1－iC.i D.－i答案A解析原式＝1－i－2－i＋3i＝－1＋i.2.已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，則復數z＝z2－z1對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案C解析z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z對應的點為(－1，－3)，位于第三象限.3.若復數z滿足z＋(3－4i)＝1，則z的虛部是()A.－2B.4C.3D.－4答案B解析∵z＋(3－4i)＝1，∴z＝－2＋4i，故z的虛部是4.4.已知復數z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2為純虛數，則a＝________.答案－1解析∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)為純虛數，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a－2＝0，,a2＋a－6≠0，))解得a＝－1.5.設平行四邊形ABCD在復平面內，A為原點，B，D兩點對應的復數分別是3＋2i和2－4i，則點C對應的復數是__________.答案5－2i解析設AC與BD的交點為E，則E點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－1))，設點C坐標為(x，y)，則x＝5，y＝－2，故點C對應的復數為5－2i.1.知識清單：(1)復數代數形式的加減運算法則.(2)復數加減法的幾何意義.(3)復平面上兩點間的距離公式.2.方法歸納：類比、數形結合.3.常見誤區：忽視模的幾何意義.1.已知z＋5－6i＝3＋4i，則復數z為()A.－4＋20i B.－2＋10iC.－8＋20i D.－2＋20i答案B解析z＝3＋4i－(5－6i)＝(3－5)＋(4＋6)i＝－2＋10i.2.復數(3＋mi)－(2＋i)對應的點在第四象限內，則實數m的取值范圍是()A.m<eq\f(2,3) B.m<1C.eq\f(2,3)<m<1 D.m>1答案B解析∵(3＋mi)－(2＋i)＝3＋mi－2－i＝1＋(m－1)i，∴m－1<0，∴m<1.3.若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所對應的點在實軸上，則a的值為()A.3B.2C.1D.－1答案D解析z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵z1＋z2所對應的點在實軸上，∴1＋a＝0，∴a＝－1.4.如果一個復數與它的模的和為5＋eq\r(3)i，那么這個復數是()A.eq\f(11,5) B.eq\r(3)iC.eq\f(11,5)＋eq\r(3)i D.eq\f(11,5)＋2eq\r(3)i答案C解析設這個復數為a＋bi(a，b∈R)，則|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).由題意知a＋bi＋eq\r(a2＋b2)＝5＋eq\r(3)i，即a＋eq\r(a2＋b2)＋bi＝5＋eq\r(3)i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝5，,b＝\r(3)，))解得a＝eq\f(11,5)，b＝eq\r(3).∴所求復數為eq\f(11,5)＋eq\r(3)i.5.在平行四邊形ABCD中，若A，C對應的復數分別為－1＋i和－4－3i，則該平行四邊形的對角線AC的長度為()A.eq\r(5)B.5C.2eq\r(5)D.10答案B解析依題意，eq\o(AC,\s\up6(→))對應的復數為(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的長度為|－3－4i|＝5.6.已知復數z滿足z＋(1＋2i)＝5－i，則z＝________.答案4－3i解析z＝(5－i)－(1＋2i)＝4－3i.7.已知|z|＝4，且z＋2i是實數，則復數z＝________.答案±2eq\r(3)－2i解析因為z＋2i是實數，可設z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16，所以a2＝12，所以a＝±2eq\r(3)，所以z＝±2eq\r(3)－2i.8.設復數z滿足z＋|z|＝2＋i，則z＝________.答案eq\f(3,4)＋i解析設z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|＝eq\r(x2＋y2).∴x＋yi＋eq\r(x2＋y2)＝2＋i.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\r(x2＋y2)＝2，,y＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,4)，,y＝1.))∴z＝eq\f(3,4)＋i.9.計算：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)i))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－2i))；(2)(3＋2i)＋(eq\r(3)－2)i；(3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|；(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i).解(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2))i＝eq\f(5,2)－eq\f(5,2)i；(2)(3＋2i)＋(eq\r(3)－2)i＝3＋(2＋eq\r(3)－2)i＝3＋eq\r(3)i；(3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|＝1＋2i＋i－1＋5＝5＋3i；(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i.10.在復平面內，復數－3－i與5＋i對應的向量分別是eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))，其中O是原點，求向量eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))對應的復數及A，B兩點之間的距離.解因為復數－3－i與5＋i對應的向量分別是eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))，其中O是原點，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－3，－1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(5,1)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－3，－1)＋(5,1)＝(2,0)，所以向量eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))對應的復數是2，又eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－3，－1)－(5,1)＝(－8，－2)，所以eq\o(BA,\s\up6(→))對應的復數是－8－2i，A，B兩點之間的距離|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|－8－2i|＝eq\r(－82＋－22)＝2eq\r(17).11.在復平面內點A，B，C所對應的復數分別為1＋3i，－i，2＋i，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，則點D表示的復數是()A.1－3i B.－3－iC.3＋5i D.5＋3i答案C解析∵點A，B，C對應的復數分別為1＋3i，－i,2＋i，∴eq\o(BC,\s\up6(→))對應的復數為2＋2i.設D(x，y)，∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴(x－1，y－3)＝(2,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝2，,y－3＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝5.))∴點D表示的復數為3＋5i.12.復數z1＝1＋icosθ，z2＝sinθ－i，則|z1－z2|的最大值為()A.3－2eq\r(2) B.eq\r(2)－1C.3＋2eq\r(2) D.eq\r(2)＋1答案D解析|z1－z2|＝|(1－sinθ)＋(cosθ＋1)i|＝eq\r(1－sinθ2＋1＋cosθ2)＝eq\r(3＋2cosθ－sinθ)＝eq\r(3＋2\r(2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))).∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))))max＝1，∴|z1－z2|max＝eq\r(3＋2\r(2))＝eq\r(2)＋1.13.A，B分別是復數z1，z2在復平面上對應的兩點，O為原點，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，則△AOB為________.答案直角三角形解析由復數的加、減法的幾何意義可知，當|z1＋z2|＝|z1－z2|時，∠AOB＝90°.14.在復平面內，O是原點，eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))對應的復數分別為－2＋i，3＋2i,1＋5i，那么eq\o(BC,\s\up6(→))對應的復數為________.答案4－4i解析因為eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))對應的復數分別為－2＋i,3＋2i,1＋5i，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝3＋2i－[(－2＋i)＋(1＋5i)]＝4－4i.15.若復數z滿足z－1＝cosθ＋isinθ，則|z|的最小值為______，|z|的最大值為______.答案02解析∵|z－1|＝1，∴復數z對應的點的軌跡為以(1,0)為圓心，1為半徑的圓，∴|z|的最小值為0，最大值為2.16.已知復平面內平行四邊形ABCD，A點對應的復數為2＋i，向量eq\o(BA,\s\up6(→))對應的復數為1＋2i，向量eq\o(BC,\s\up6(→))對應的復數為3－i.(1)求點C，D對應的復數；(2)求平行四邊形ABCD的面積.解(1)∵向量eq\o(BA,\s\up6(→))對應的復數為1＋2i，向量eq\o(BC,\s\up6(→))對應的復數為3－i，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))，∴向量eq\o(AC,\s\up6(→))對應的復數為(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，∴點C對應的復數為(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴向量eq\o(AD,\s\up6(→))對應的復數為3－i，即eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3，－1).設D(x，y)，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝3，,y－1＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝0.))∴點D對應的復數為5.(2)∵eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(BA,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cosB，∴cosB＝eq\f(\o(BA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(3－2,\r(5)×\r(10))＝eq\f(1,5\r(2))＝eq\f(\r(2),10).∴sinB＝eq\f(7\r(2),10).∵S?ABCD＝|eq\o(BA,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|sinB＝eq\r(5)×eq\r(10)×eq\f(7\r(2),10)＝7，故平行四邊形ABCD的面積為7.7.2.2復數的乘、除運算學習目標1.掌握復數代數形式的乘法和除法運算.2.理解復數乘法的交換律、結合律和乘法對加法的分配律.知識點一復數乘法的運算法則和運算律1.復數的乘法法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2.復數乘法的運算律對任意復數z1，z2，z3∈C，有交換律z1z2＝z2z1結合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)乘法對加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3思考|z|2＝z2，正確嗎？答案不正確.例如，|i|2＝1，而i2＝－1.知識點二復數除法的法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意兩個復數，則eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).1.(1＋i)(2＋i)＝________.答案1＋3i解析依題意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i2＋3i＝1＋3i.2.i是虛數單位，復數eq\f(1－3i,1－i)＝________.答案2－i解析eq\f(1－3i,1－i)＝eq\f(1－3i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i.3.復數z＝i(－2－i)(i為虛數單位)在復平面內所對應的點在第________象限.答案四解析因為z＝i(－2－i)＝1－2i，所以復數z對應的點在第四象限.4.已知復數z＝eq\f(5i,1＋2i)(i是虛數單位)，則|z|＝________.答案eq\r(5)解析|z|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5i,1＋2i)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5i1－2i,5)))＝|i＋2|＝eq\r(5).一、復數代數形式的乘法運算例1計算下列各題.(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.解(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.反思感悟(1)兩個復數代數形式乘法的一般方法①首先按多項式的乘法展開.②再將i2換成－1.③然后再進行復數的加、減運算.(2)常用公式①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R).②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).③(1±i)2＝±2i.跟蹤訓練1(1)計算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于()A.2－13i B.13＋2iC.13－13i D.－13－2i答案D解析(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.(2)若復數(1－i)(a＋i)在復平面內對應的點在第二象限，則實數a的取值范圍是()A.(－∞，1) B.(－∞，－1)C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)答案B解析因為z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在復平面內對應的點為(a＋1,1－a)，又此點在第二象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1<0，,1－a>0，))解得a<－1.二、復數代數形式的除法運算例2(1)如圖，在復平面內，復數z1，z2對應的向量分別是eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，則復數eq\f(z1,z2)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析由復數的幾何意義知，z1＝－2－i，z2＝i，所以eq\f(z1,z2)＝eq\f(－2－i,i)＝－1＋2i，對應的點在第二象限.(2)計算：eq\f(1＋i7,1－i)＋eq\f(1－i7,1＋i)－eq\f(3－4i2＋2i3,4＋3i).解原式＝[(1＋i)2]3·eq\f(1＋i,1－i)＋[(1－i)2]3·eq\f(1－i,1＋i)－eq\f(83－4i1＋i3,3－4ii)＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－eq\f(8·2i1＋i,i)＝8＋8－16－16i＝－16i.反思感悟(1)兩個復數代數形式的除法運算步驟①首先將除式寫為分式.②再將分子、分母同乘以分母的共軛復數.③然后將分子、分母分別進行乘法運算，并將其化為復數的代數形式.(2)常用公式①eq\f(1,i)＝－i；②eq\f(1＋i,1－i)＝i；③eq\f(1－i,1＋i)＝－i.跟蹤訓練2(1)設復數z滿足eq\f(1＋z,1－z)＝i，則|z|等于()A.1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D.2答案A解析由eq\f(1＋z,1－z)＝i得1＋z＝i(1－z)，即z＝eq\f(－1＋i,1＋i)＝eq\f(－1＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(－1－i2,2)＝i，|z|＝1.(2)計算：①eq\f(7＋i,3＋4i)；②eq\f(－1＋i2＋i,－i).解①eq\f(7＋i,3＋4i)＝eq\f(7＋i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq\f(25－25i,25)＝1－i.②eq\f(－1＋i2＋i,－i)＝eq\f(－3＋i,－i)＝eq\f(－3＋i·i,－i·i)＝－1－3i.三、在復數范圍內解方程例3在復數范圍內解方程x2＋6x＋10＝0.解因為x2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1，所以(x＋3)2＝－1，又因為i2＝－1，所以(x＋3)2＝i2，所以x＋3＝±i，即x＝－3±i.反思感悟當一元二次方程中Δ<0時，在復數范圍內有兩根且互為共軛復數.跟蹤訓練3已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c為實數)的一個根.(1)求b，c的值；(2)試判斷1－i是不是方程的根.解(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，且b，c為實數，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(b＋2)i＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝0，,2＋b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝2.))(2)由(1)知方程為x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左邊得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右邊，即方程式成立.∴1－i是方程的根.1.若a，b∈R，i為虛數單位，且(a＋i)i＝b＋i，則()A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1C.a＝－1，b＝－1 D.a＝1，b＝－1答案D解析∵(a＋i)i＝ai－1＝b＋i，∴a＝1，b＝－1.2.復數(1＋i)2(2＋3i)的值為()A.6－4i B.－6－4iC.6＋4i D.－6＋4i答案D解析(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.3.在復平面內，復數eq\f(i,1＋i)＋(1＋eq\r(3)i)2對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析eq\f(i,1＋i)＋(1＋eq\r(3)i)2＝eq\f(1,2)i＋eq\f(1,2)＋1－3＋2eq\r(3)i＝－eq\f(3,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2\r(3)))i，對應點在第二象限.4.(1＋i)2－eq\f(2－i,2＋i)＝________.答案－eq\f(3,5)＋eq\f(14,5)i解析(1＋i)2－eq\f(2－i,2＋i)＝2i－eq\f(2－i2,5)＝－eq\f(3,5)＋eq\f(14,5)i.5.方程x2＋3＝0在復數范圍內的解為x＝________.答案±eq\r(3)i1.知識清單：(1)復數的乘法及運算律.(2)復數的除法運算.(3)復數的綜合運算.(4)在復數范圍內解方程.2.方法歸納：分母實數化；配方法解方程；求根公式法.3.常見誤區：分母實數化時忽視i2＝－1造成運算錯誤.1.復平面內表示復數z＝i(－2＋i)的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案C解析z＝i(－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i，故復平面內表示復數z＝i(－2＋i)的點位于第三象限.2.若z(1＋i)＝2i，則z等于()A.－1－i B.－1＋iC.1－i D.1＋i答案D解析z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i1－i,1＋i1－i)＝1＋i.3.設z＝eq\f(3－i,1＋2i)，則|z|等于()A.2B.eq\r(3)C.eq\r(2)D.1答案C解析z＝eq\f(3－i,1＋2i)＝eq\f(3－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(1,5)－eq\f(7,5)i，所以|z|＝eq\r(2).4.(1＋i)20－(1－i)20的值是()A.－1024B.1024C.0D.512答案C解析∵(1＋i)2＝2i，∴(1＋i)4＝－4，又(1－i)2＝－2i，∴(1－i)4＝－4，∴(1＋i)20－(1－