湖北省荊門市沙洋縣綜合實驗中學2022-2023學年高三數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列各組函數是同一函數的是（

）①與；

②與；③與；

④與。A.①②

B.①③

C.③④

D.①④參考答案：C2.（5分）函數y=sin（2x﹣）的圖象與函數y=cos（x﹣）的圖象（）A．有相同的對稱軸但無相同的對稱中心B．有相同的對稱中心但無相同的對稱軸C．既有相同的對稱軸也有相同的對稱中心D．既無相同的對稱中心也無相同的對稱軸參考答案：D【考點】：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】：三角函數的圖像與性質．【分析】：分別求出2函數的對稱軸和對稱中心即可得解．解：由2x﹣=k，k∈Z，可解得函數y=sin（2x﹣）的對稱軸為：x=+，k∈Z．由x﹣=kπ，k∈Z，可解得函數y=cos（x﹣）的對稱軸為：x=kπ，k∈Z．故2個函數沒有相同的對稱軸．由2x﹣=kπ，k∈Z，可解得函數y=sin（2x﹣）的對稱中心為：（，0），k∈Z．由x﹣=k，k∈Z，可解得函數y=cos（x﹣）的對稱中心為：（kπ+，0），k∈Z．故2函數沒有相同的對稱中心．故選：D．【點評】：本題主要考查了三角函數的圖象和性質，屬于基本知識的考查．3.函數的圖象大致是

（

）參考答案：C4.已知a，b，a+b成等差數列，a，b，ab成等比數列，且0＜logm（ab）＜1，則m的取值范圍是(

)A．m＞1B．1＜m＜8C．m＞8D．0＜m＜1或m＞8參考答案：C考點：等比數列的性質；等差數列的性質．專題：計算題；等差數列與等比數列．分析：由已知可得b=2a，b2=a2b，聯立可求a，b，代入已知不等式即可求解m的范圍解答： 解：∵a，b，a+b成等差數列，∴2b=2a+b，即b=2a．①∵a，b，ab成等比數列，∴b2=a2b，即b=a2（a≠0，b≠0）．②由①②得a=2，b=4．∵0＜logm8＜1，∴m＞1．∵logm8＜1，即logm8＜logmm∴m＞8故選C點評：本題主要考查了等差數列及等比數列的性質及對數不等式的求解，屬于知識的簡單應用．5.已知某班學生的數學成績x(單位:分)與物理成績y(單位:分)具有線性相關關系，在一次考試中，從該班隨機抽取5名學生的成績，經計算:，設其線性回歸方程為:.若該班某學生的數學成績為105，據此估計其物理成績為（

）A.66 B.68 C.70 D.72參考答案：B【分析】由題意求出?，代入線性回歸方程求得，再計算x=105時的值.【詳解】由題意知，xi475=95，yi320=64，代入線性回歸方程0.4x中，得64=0.4×95，解26；所以線性回歸方程為0.4x+26，當x=105時，0.4×105+26=68，即該班某學生的數學成績為105時，估計它的物理成績為68.故選：B.【點睛】本題主要考查線性回歸方程的求解及應用，還考查運算求解的能力，屬于基礎題.6.閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的結果=(

)A.4

B.5

C.6

D.7參考答案：B略7.已知是橢圓,上除頂點外的一點，是橢圓的左焦點，若則點到該橢圓左焦點的距離為A.

B.

C.

D.

參考答案：C8.在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積不小于300m2的內接矩形花園(陰影部分),則其邊長x(單位m)的取值范圍是 (A)[15,20] (B)[12,25] (C)[10,30] (D)[20,30]參考答案：C如圖△ADE∽△ABC，設矩形的另一邊長為y，則，所以y=40-x，又xy≥300，，所以x(40-x)≥300即，解得10≤x≤309.設，且，則A. B. C. D.參考答案：D【分析】取特殊值排除A，B，C，根據函數的單調性即可得出正確答案.【詳解】對A項，當時，，故A錯誤；對B項，取，時，，不滿足，故B錯誤；對C項，取，時，，不滿足，故C錯誤；對D項，函數在上單調遞增，，則，故D正確;故選：D【點睛】本題主要考查了不等式的性質，屬于基礎題.10.下列敘述中：①在中，若，則；②若函數的導數為，為的極值的充要條件是；③函數的圖象可由函數的圖象向左平移個單位得到；④在同一直角坐標系中，函數的圖象與函數的圖象僅有三個公共點．其中正確敘述的個數為（）A．0B．1C．2D．3參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.運行右面的程序框圖，如果輸入的的值在區間內，那么輸出的的取值范圍是

參考答案：12.函數的定義域為D，若對任意的、，當時，都有，則稱函數在D上為“非減函數”．設函數在上為“非減函數”，且滿足以下三個條件：（1）；（2）；（3）,則

、

．參考答案：1；13.下列命題：①偶函數的圖像一定與軸相交；

②定義在上的奇函數必滿足；③既不是奇函數又不是偶函數；④，則為的映射；⑤在上是減函數.其中真命題的序號是（把你認為正確的命題的序號都填上）

.參考答案：②14.已知由樣本數據點集合求得的回歸直線方程為，且.現發現兩個數據點和誤差較大，去除后重新求得的回歸直線的斜率為1.2，那么，當時，的估計值為

.參考答案：3.8；將代入得.所以樣本中心點為，由數據點(1.1,2.1)和(4.9,7.9)知：，，故去除這兩個數據點后，樣本中心點不變.設新的回歸直線方程為，將樣本中心點坐標代入得：，所以，當時，的估計值為.15.已知冪函數的圖像經過點，則該函數的解析式為

.參考答案：【知識點】冪函數.

B8【答案解析】

解析：設，因為的圖像經過點，所以，所以該函數的解析式為：.【思路點撥】待定系數法求該冪函數的解析式.16.已知正項等比數列{an}滿足：＝＋2，若存在兩項，使得，則的最小值為__________.參考答案：略17.的二項展開式中，的系數等于

．參考答案：15三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=xlnx，g（x）=x2+x﹣a（a∈R）．（Ⅰ）若直線x=m（m＞0）與曲線y=f（x）和y=g（x）分別交于M，N兩點．設曲線y=f（x）在點M處的切線為l1，y=g（x）在點N處的切線為l2．（?。┊攎=e時，若l1⊥l2，求a的值；（ⅱ）若l1∥l2，求a的最大值；（Ⅱ）設函數h（x）=f（x）﹣g（x）在其定義域內恰有兩個不同的極值點x1，x2，且x1＜x2．若λ＞0，且λlnx2﹣λ＞1﹣lnx1恒成立，求λ的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性．【分析】（Ⅰ）（i）f（x）的定義域為{x|x＞0}，f′（x）=1+lnx，g′（x）=ax+1，當m=e時，f′（e）=1+lne=2，g′（e）=ae+1，由l1⊥l2，利用導數的幾何意義得f′（e）g′（e）=2（ae+1）=﹣1，由此能求出a．（ii）f′（m）=1+lnm，g′（m）=am+1，由l1∥l2，得lnm=am在（0，+∞）上有解，從而a=，令F（x）=（x＞0），由=0，得x=e，利用導數性質求出F（x）max=F（e）=，由此能求出a的最大值．（Ⅱ）h（x）=xlnx﹣﹣x+a，（x＞0），h′（x）=lnx﹣ax，從而x1，x2是方程lnx﹣ax=0的兩個根，進而a=，推導出＞，從而ln＜，令t=，則t∈（0，1），從而lnt＜在t∈（0，1）上恒成立，令φ（t）=lnt﹣，則φ′（t）==，由此根據λ2≥1和λ2＜1分類討論，利用導數性質能求出λ的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）（i）∵函數f（x）=xlnx，∴f（x）的定義域為{x|x＞0}，f′（x）=1+lnx，∵g（x）=+x﹣a（a∈R），∴g′（x）=ax+1，當m=e時，f′（e）=1+lne=2，g′（e）=ae+1，∵l1⊥l2，∴f′（e）g′（e）=2（ae+1）=﹣1，解得a=﹣．（ii）∵函數f（x）=xlnx，∴f（x）的定義域為{x|x＞0}，f′（x）=1+lnx，∵g（x）=+x﹣a（a∈R），∴g′（x）=ax+1，∴f′（m）=1+lnm，g′（m）=am+1，∵l1∥l2，∴f′（m）=g′（m）在（0，+∞）上有解，∴lnm=am在（0，+∞）上有解，∵m＞0，∴a=，令F（x）=（x＞0），則=0，解得x=e，當x∈（0，e）時，F′（x）＞0，F（x）為增函數，當x∈（e，+∞）時，F′（x）＜0，F（x）為減函數，∴F（x）max=F（e）=，∴a的最大值為．（Ⅱ）h（x）=xlnx﹣﹣x+a，（x＞0），h′（x）=lnx﹣ax，∵x1，x2為h（x）在其定義域內的兩個不同的極值點，∴x1，x2是方程lnx﹣ax=0的兩個根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，兩式作差，并整理，得：a=，∵λ＞0，0＜x1＜x2，由λlnx2﹣λ＞1﹣lnx1，得1+λ＜lnx1+λlnx2，則1+λ＜a（x1+λx2），∴a＞，∴＞，∴ln＜，令t=，則t∈（0，1），由題意知：lnt＜在t∈（0，1）上恒成立，令φ（t）=lnt﹣，則φ′（t）==，①當λ2≥1時，即λ≥1時，?t∈（0，1），φ′（t）＞0，∴φ（t）在（0，1）上單調遞增，又φ（1）=0，則φ（t）＜0在（0，1）上恒成立．②當λ2＜1，即0＜λ＜1時，t∈（0，λ2）時，φ′（t）＞0，φ（t）在（0，λ2）上是增函數；當t∈（λ2，1）時，φ′（t）＜0，φ（t）在（λ2，1）上是減函數．又φ（1）=0，∴φ（t）不恒小于0，不合題意．綜上，λ的取值范圍是[1，+∞）．19.已知等比數列{an}的首項為1，公比為q，它的前n項和為Sn；（1）若S3=3，S6=﹣21，求公比q；（2）若q＞0，且Tn=a1+a3+…+a2n﹣1，求．參考答案：【考點】數列的極限．【分析】（1）判斷公比不為1，運用等比數列的求和公式，解方程可得公比q；（2）分別運用等比數列的求和公式，求得Sn，Tn，再對公比q討論：0＜q＜1，q=1，q＞1，由極限公式，即可得到所求值．【解答】解：（1）S3=3，S6=﹣21，可得q≠1，則=3，=﹣21，兩式相除可得1+q3=﹣7，解得q=﹣2；（2）Sn=，Tn=a1+a3+…+a2n﹣1=．當q＞1時，==0；當0＜q＜1時，==1+q；當q=1時，==1．20.（10分）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD于點E，DA平分∠BDE．（1）證明：AE是⊙O的切線；（2）如果AB=2，AE=，求CD．參考答案：考點： 與圓有關的比例線段．專題： 幾何證明．分析： （1）首先通過連接半徑，進一步證明∠DAE+∠OAD=90°，得到結論．（2）利用第一步的結論，找到△ADE∽△BDA的條件，進一步利用勾股定理求的結果解答： （1）證明：連結OA，在△ADE中，AE⊥CD于點E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切線（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直徑∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED

∵AB=2

求得：BD=4，AD=2

∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°進一步求得：CD=2

故答案為：（1）略（2）CD=2點評： 本題考查的知識點：證明切線的方法：連半徑，證垂直．三角形相似的判定，勾股定理的應用．21.如圖所示，等腰△ABC的底邊AB=6,高CD=3，點E是線段BD上異于點B、D的動點.點F在BC邊上，且EF⊥AB.現沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.記,用表示四棱錐P-ACFE的體積.（Ⅰ）求的表達式；（Ⅱ）當x為何值時,取得最大值？(Ⅲ）當V(x)取得最大值時，求異面直線AC與PF所成角的余弦值參考答案：(Ⅰ)即;

(Ⅱ),時,

時,

時取得最大值.(Ⅲ)以E為空間坐標原點,