§1－1集合，符號一、1.

我們用符號“"”表示“任取”或“對于任意的”或“對于所有的”,符號“"”稱為全稱量詞.2.我們用符號“$”表示“存符號“$”稱在”.為存在量詞.例：命題“對任意的實數x,都存在實數y,使得x+y=1”可表示為“"x?

R,$y?

R,使x+y=1”3.

我們用符號“

”表示“充分條件”或“推出”這一意思.比如,若用p,q分別表示兩個命題或陳述句.則“p

q”表示“若p成立,則q也成立”.即p是q成立的充分條件.比如“p

q”表示“p成立當且僅當q成立”或者說p成立的充要條件是q成立.4.

我們用符號“

”表示“當且僅當”或“充要條件”這一意思.x0-dx0

x0+dx集合的概念(略)區間(略)鄰域"x0?

R,d

>0.(1)記U(x0,d

)=(x0

-d,x0+d

)={x?

R||x-x0|<d

}稱為x0的d

鄰域.其中x0稱為這個鄰域的中心,

d

稱為這個鄰域的半徑.

如圖d二、集合的概念及運算這就是從U(x0,d

).中去掉中心點x0所余下的部分.(3)當不必強調指出鄰域和去心鄰域的半徑時,將鄰域和去心鄰域簡記為U(x0

)和U(x0).(2)記U

(x0

,d)=U

(x0

,d)-{x0},稱為x0的去心d鄰域.x0-dx0

x0+dx4.

集合的運算及公式(略)設A,B為實數,有1.

-

|

A

|￡

A

￡|

A

|2.

|

A

|￡

B3.

|

A

|?

B-B

￡

A

￡

BA

￡-B,或,A

?B4.

|

A

–

B

|￡|

A

|

+

|

B

|5. |

A

|

-

|

B

|

￡|

A

-

B

|6.

|

AB

|=|

A

||

B

|,

A

=|

A

|

,其中B

?0.B

|

B

|三、絕對值不等式性質AB§1－2映射定義：設A,B是兩非空集,若存在對應規則f,使"x?

A,按照對應規則f,都有唯一確定的

y?

B與之對應,則稱f是從A到B的一個映射.記作f

:Afi

B,xfi

y.fxy稱y為x在f

下的像,記作f

(x).即,y

=f

(x),稱x為y在

f

下的原像,

習慣上也將映射記作y

=

f

(x).注1.映射是一種建立在兩集合間的對應規則,它滿足A中任一元素x都能且只能對應一個y,但不同的x可以對應同一個y,即可以出現“多對一”的情形.注2.在定義中并不要求對每一個y?

B,都有一個x與這個y對應.即，有些y可能并不是某個x的像.定義：設f

:Afi

B,xfi

f

(x).若"x1,x2?

A,當x1

?x2時,f

(x1)?f

(x2).則稱f

是單射.定義：設f

:Afi

B,xfi

f

(x).若"y?

B,$x?

A,使得f

(x)=y.則稱f

是滿射.定義：若映射f

:Afi

B既是單射,又是滿射.則稱f

是一個雙射也稱f是一一對應.f:

Xfi

Y,

xfi

y§1－3函數一、函數的概念定義1.設實數集X,Y

均非空.若存在對應規則f,使得"x?

X,按照f,都有唯一確定的y?

Y,與之對應.則稱f是定義在X上的一元實值函數.記作記作R(f

).

顯然有R(f

)Y.稱y為x在f

下的像,記作f

(x).即,y=f

(x)稱x為y在f

下的原像,稱X為函數f

的定義域.

記作D(f

).X在f

下的像集f

(X)={f

(x)|

"x?

X}稱為f

的值域.注1.定義1可改寫為“若f

是從實數集X到實數集Y的一個映射.則稱f是一個一元實值函數”.注2.在定義1中，f是函數,它是一個映射,是一個對應規則.而f

(x)則是函數值,是x在f下的像.但在習慣上,我們把f

(x)也稱作x的函數.另外,習慣上,稱x為自變量,y為因變量.注3.本教材中用符號“”表示子集,而不是用

“?

”因.此,本教材中不用符號嚴格區分子集和真子集兩概念.設函數f

(x),g(x).定義域分別為A=D(f

),B=D(g).1.

兩函數相等 它們的定義域相同,并且,對應規則相同.二、函數的運算2.

設A

B

=D(f

)

D(g)??

.則A

B在上可定義f"x

?

A

B

,且,g

(x

)?0f f

(

x

)(iv)(

g

)(

x

)

=

g

(

x

)和g的和,差,積,商如下.(f

+

g)(x)

=

f

(x)

+

g(x)

"

x?

A

B(f

–

g)(x)

=

f

(x)

–

g(x)

"

x?

A

B(iii)

(f·

g)(x)

=

f

(x)

·

g(x)

"

x?

A

B3.

復合函數設y=f

(u).即,y是u的函數,而u是x的函數u=j(x).

一般說來,這時,y通過中間變量u而成為x的函數.x

j

fi

u

f

fi

y而函數式則可通過代入運算而得到:將u=j(x)代入到y=f(u)中.得到y=f[j(x)].稱它為由f

(u)和j(x)構成的復合函數.例1.設y=f

(u)=lgu,而u=j(x)=sinx.則它們構成的復合函數為y=f

[j(x)]=lgsinx.例2.設y=f

(u)=lg(u–2),

而u=j(x)=sinx.代入后y=lg(sinx

–2).

因定義域為空集,所以它們不能構成復合函數.定義2.若y=f

(u)的定義域U.而u=j(x)的定義域為X,值域為U*.且U

U*??

.則y

通過中間變量u成為x的函數,稱它為由f

(u)和j(x)構成的復合函數.記作y=f

[j(x)].注1：復合函數f

[j(x)]的定義域X￠包含在u=j(x)注2：本教材也把復合函數記作(f。g)(x),即(f

。g)(x)=f

[j(x)]的定義域X之中.即,X￠

X

(如例1)定義3:

設函數y=f

(x)的定義域為X,

值域為Y.

且f

是從X到Y的一一對應(即,

f

是從X到Y的單射和滿射),

則"

y?

Y.

都有唯一確定的x與之對應.因此,x是y的函數,稱它為y=f

(x)的反函數.記作x=f

–1

(y).由于習慣上用x表自變量,y表因變量.所以,反函數也記為y

=f

–1

(x).三、反函數注1.y

=f

–1

(x)的定義域為Y,值域為X.注2.y

=f

–1

(x)與y

=f

(x)的圖象關于y=x對稱.注3.求反函數的一般步驟為(1)從y=f(x)解出x

;(2)

將x換成y,y換成x.1.

基本初等函數冪函數y

=

xa,

指數函數y

=

ax

(a>0,

a?1),對數函數y

=logax

(a>0,

a?1),三角函數y=sinx,y=cosx,y=tanx

=tgx,y=cotx=ctgx,

y=secx,

y=cscx,反三角函數y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx=arctanx,y=arccotx

=arcctgx以及常數函數y=c(c為常數),這6種函數統稱為基本初等函數.定義域,值域,性質,圖象.(略)四、初等函數2.

稱由基本初等函數經有限次加,減,乘,除運算和有限次復合運算而構成的函數為初等函數.如y

=

ln

cos

x

2

,

y

=

sin

2

(

x

+1)都是初等函數.但也有很多不是初等函數的函數.x例3.符號函數

1

-1

x

<

0x

=

0x

>

0y

=

sgn

x

=

0y10?–1其圖象為符號函數是一個分段函數,它不是初等函數,|

f

(

x

)

|=

f

(

x

) sgn

f

(

x

)=

0x

?

0x

=

0x

|

x

|且有例4.取整函數y

=[x],如,若取x=1,2,則[x]=1;其圖象為取整函數也不是初等函數.其中[x]表示不超過x的最大整數.若取x=–1,2,則[x]=–2;若取x

=2,則[x]=2;y321y=[x]x12340-4

-3

-2 -1-1-2-3例5.狄利克萊函數

當x為有理數.

0,

當x為無理數.y

=

D(x)

=

1,狄利克萊函數的圖象無法準確畫出來.D(x)不是初等函數.(2)1y

=

a

x

,例6.將下列函數分解成基本初等函數的復合.(1)

y

=

cos2x,

是由y

=

u2,

u=

cosx復合而成.復合而成.1x是由y

=

au

,

u

=

e

1

x(3)

y

=

arctge–x,

是由y=arctgu,

u

=

復合而成.(4)

y

=

lncosx2

,

y

=u,

而u

=

lncosx2

,

再分解.u

=lnv,

而v

=cos

x2.再分解.v

=cosw,

而w

=x2.所以,y

=u,

u

=

ln

v,ln

cos

x2

,是由y

=v

=cos

w,

w

=x2復合而成.xyof(x)單調遞增yoxf(x)單調遞減1.

單調性.設f

(x)在(a,b)有定義.若"x1,x2?(a,b).x1<x2,有f

(x1)￡f

(x2)(f

(x1)?f

(x2)),則稱f(x)在(a,b)上單調遞增(單調遞減).區間(a,b)稱為f(x)的單調區間.單調遞增函數和單調遞減函數統稱為單調函數.五、函數的基本特性如,

y

=

x2,

圖y=x20xy在(-￥

,0]上單調遞減,而在[0,+￥)上單調遞增.奇偶性.設f

(x)的定義域為D(f

).滿足"x?

D(f

).有–x?

D(f

).

若"x?

D(f).有f(–x)=f(x).則稱f(x)為偶函數.其圖形關于y

軸對稱.

若"x?

D(f).有f(–x)=–f(x).則稱f(x)為奇函數.其圖形關于原點對稱.易見,常函數y=c是偶函數.狄利克萊函數D(x)也是偶函數.因為若x為有理數,

則–x也是有理數,

從而若x為無理數,

則–x也是無理數,

從而綜合起來,總有D(x)=D(–x).因此,D(x)是一個偶函數.D(x)=

D(–

x)=1D(x)=

D(–

x)=03.

周期性.設f

(x)的定義域為D(f

).若存在常數T?0,使"

x?

D(f

).

有x–T?

D(f

).

且

f(x–T)=f

(x).則稱f

(x)為周期函數.T為f

(x)的周期.由于周期函數的函數值是呈周期變化.因此,周期函數的圖形也是呈周期性變化.會周而復始的重復出現.如y=sinx,y=cosx.畫周期函數圖形可以先在一周期內畫好,然后向數軸兩端平移.易見,若T為f(x)的周期,則nT均為f(x)的周期,n=1,2,…,通常稱最小正周期為f

(x)的周期.如y=sinx,2np都是sinx的周期,其中n=1,2,…,它的最小正周期為2p.又如,

y

=

sin

2

x

=

1

-

cos

2x

是周期函數,2它的周期為np,

n=1,2,…最小正周期為p.有些周期函數沒有最小正周期.如常數函數y=f(x)=c(常數),是一個周期函數.任何一個大于0的常數T都是它的一個周期.這是因為

f

(x)=

c=

f

(x+T)在這無窮多個大于0的周期T中,找不到一個最小的正周期T.又如,狄利克萊函數D(x)也是周期函數.任何一個大于0的有理數T都是D(x)的周期.因為(i)若x為有理數,則x+T也是有理數.從而

D(x)

=

1

=

D(x+T

)(ii)若x為無理數,則x+T也是無理數.從而

D(x)

=

0

=

D(x+T

)所以,

總有D(x)

=

D(x+T

).

即T是D(x)的周期.但是在這無窮多個大于0的有理數T中,找不到一個最小的T.幾何意義：由于|

f

(x)|￡M

-M￡

f

(x)￡M.因此,f(x)在(a,b)內有界.就表示了

f

(x)的圖形夾在兩平行直線

y

=–M

之間.xo

ab-MyM4.

有界性定義4.設f(x)在(a,b)有定義,若存在常數M>0,使

"x?(a,b),有|

f(x)|￡M.則稱f

(x)在(a,b)內有界.否則,稱f(x)在(a,b)內無界.若$M

,使"x?(a,b),1有f

(x)￡

M1,則稱f

(x)在(a,b)內有上界.M1稱為它的一個上界,看圖.若$M2,使"x?(a,b),有M2

￡

f(x),則稱f(x)在(a,b)內有下界.M2稱為它的一個下界,看圖.xyo

abM2xoabyM1f

(x)在(a,

b)有界