2023年高考真題——數學（全國甲卷）（理科）1.設集合，，為整數集，則（

）????A.

?B.

?C.

?D.

?知識點：交集全集與補集答案：A解析：整數集，所以.2.若復數，則（

）??A.

B.

C.

D.

知識點：復數相等的條件及應用復數的乘法答案：C解析：，所以解得.故選C.3.執行下面的程序框圖，輸出的（

）

??A.

B.

C.

D.

知識點：算法與程序框圖答案：B解析：，，，，，，，，，，，結束，輸出.?4.向量，且，則（

）?????A.

?B.

?C.

?D.

?知識點：數量積的性質數量積的運算律答案：D解析：因為，所以，平方得同理得所以同理

所以故選D.??????5.已知等比數列中，?的前項和為，，則（

）?A.

B.

C.

D.

知識點：等比數列前n項和的應用答案：C解析：，當時，不成立，當時，，解得，，故選C.6.百分之六十的人喜歡滑雪，百分之五十的人喜歡滑冰，百分之七十的喜歡清雪或滑冰，問一個人在喜歡滑冰的前提下，他又喜歡滑雪的概率是多少（

）??A.

B.

C.

D.

知識點：Venn圖條件概率的應用答案：A解析：由韋恩圖易知既喜歡滑冰又喜歡滑雪為，所以，故選A.??7.“”是“”的（

）?A.

充分條件但不是必要條件?B.

必要條件但不是充分條件?C.

充要條件?D.

既不是充分條件也不是必要條件?知識點：充分、必要條件的判定同角三角函數的平方關系答案：B解析：故??“”是“”的必要不充分條件，故選B.?8.已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于兩點,則（

）?A.

B.

C.

?D.

?知識點：雙曲線的離心率雙曲線的漸近線直線與圓相交答案：D解析：雙曲線的離心率為，即，所以，所以漸近線方程為，圓心到漸近線的距離，?故選D.?9.有五名志愿者參加社區服務，共服務星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務，?則兩天中恰有人連續參加兩天服務的選擇種數為?（

）A.

B.

C.

D.

知識點：排列與組合的綜合應用答案：B解析：.?10.已知為函數向左平移個單位所得函數，則與?的交點個數為（

）?A.

B.

C.

D.

知識點：三角函數的圖象變換函數零點個數的判定答案：C解析：由題可知，由圖可知有個交點.?

?11.在四棱錐中，底面為正方形，，，，?則的面積為（

）?A.

B.

C.

D.

知識點：余弦定理及其應用棱錐的結構特征及其性質三角形的面積（公式）答案：C解析：由題可知，由余弦定理，由幾何關系可得，所以，從而，所以.12.已知橢圓，為兩個焦點，為原點，為橢圓上一點，，?則（

）?A.

B.

C.

D.

知識點：橢圓的標準方程橢圓的定義答案：B解析：由焦點三角形面積公式知，代入數據，代入方程得，所以.??????13.若為偶函數，則

??知識點：函數奇、偶性的定義余弦（型）函數的奇偶性答案：解析：為偶函數，則，所以???14.設滿足約束條件，設則的最大值為

?.????知識點：根據線性規劃求最值或范圍答案：解析：通過作圖（圖略）可知，當過點時，得最大值.?15.在正方體中，分別為的中點，則以為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數為

???知識點：與球有關的切、接問題答案：解析：由于球心是正方體的中心，球的半徑為，交于正方體每條棱的中點，所以交點總數為個.?16.已知中，平分交于點則

?.??????知識點：余弦定理及其應用三角形的面積（公式）答案：解析：由余弦定理得，可得，由等面積法可知化簡得，代入得??????17.已知數列?中，，?設?為?前項和，.??(1)求的通項公式.(2)求數列的前項和.?知識點：數列的遞推公式累乘法求數列通項錯位相減法求和答案：(1)①，時，②，①②得，，所以，當時，，是從第項開始的常數數列，，所以，當時，，，所以.?(2)，，，兩式相減，，所以解析：(1)略(2)略18.在三棱柱中，底面到平面的距離為.

?(1)證明：?(2)??若直線與距離為求與平面所成角的正弦值.?知識點：點到平面的距離平面與平面垂直的判定定理平面與平面垂直的性質定理直線與平面所成的角答案：(1)證明：底面平面，即，平面，

平面，平面平面，

過作交于

平面平面，平面，平面

????到平面的距離為，

在中，

設則

解得??????(2)，

過作交于則為中點，??

?，?

且到平面的距離也為，

則與平面所成角的正弦值為?.?解析：(1)略(2)略19.為探究某藥物對小鼠的生長作用，將只小鼠均分為兩組，分別為對照組（不加藥物）和實驗組（加藥物）.?(1)設其中兩只小鼠中對照組小鼠數目為求的分布列和數學期望；?(2)測得只小鼠體重如下（單位：）:（已按從小到大排好）

對照組：

??

實驗組：

???①求只小鼠體重的中位數并完成下面列聯表：

對照組

實驗組

??②根據列聯表，能否有的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.

參考數據：?知識點：列聯表眾數、中位數和平均數超幾何分布獨立性檢驗及其應用離散型隨機變量的均值或數學期望答案：(1)的可能取值為，

，，，

?的分布列為??(2)①中位數為，所以，

列聯表為：

對照組實驗組②故能有的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.?解析：(1)略(2)①略②略20.直線與交于兩點，.?????(1)求的值.(2)為的焦點，為拋物線上的兩點，且，求面積的最小值.?知識點：拋物線的標準方程直線與拋物線的綜合應用圓錐曲線的弦長及中點弦問題圓錐曲線的最值（范圍）問題答案：(1)設，聯立，得，??，且，所以，?，，解得（舍），.????(2)由（1）可知，設直線方程為，聯立，得，，

所以，，，所以，所以或，當??????

?時，?解析：(1)略(2)略21.已知函數.??(1)當時,討論函數的單調性.?(2)若，求的取值范圍.?知識點：利用導數求參數的取值范圍利用導數討論函數單調性導數中不等式恒成立與存在性問題答案：(1)，令，則，則，當????時，，當，即，當，即，所以在上單調遞增，在上單調遞減.(2)恒成立，即恒成立，令，則，，令，再令?，?，（擴充因式分解?），所以由復合函數單調性易知在上單調遞減，當時，，當時，，所以存在唯一的零點，使得，則當時，在上單調遞增，則，不滿足；當時，，所以在上單調遞減，所以，滿足；綜上，的取值范圍是.?????????解析：(1)略(2)略22.已知，直線為參數)，為的傾斜角，??與軸正半軸，軸正半軸分別交于兩點，且.??(1)求的值；(2)以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，求的極坐標方程.知識點：參數方程和普通方程的互化簡單曲線的參數方程極坐標和直角坐標的互化答案：(1)因為與軸，軸正半軸交于兩點，所以，

令，，令，，

所以，所以，

即，解得，

因為，所以．(2)由（1）可知，直線的斜率為，且過點，

所以直線的普通方程為：，即，

由可得直線的極坐標方程為．解析：(1)略(2)