排列與組合一、考綱解讀（1）理解排列、組合的概念。（2）能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式。（3）能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。?？碱}型：選擇、填空、分布列。占分比重：5分—10分二、考點(diǎn)梳理（命題特點(diǎn)）&考試趨勢(shì)2.1.全面考察，重點(diǎn)突出。2.2.發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)能力。2.3.貼近生活，關(guān)注熱點(diǎn)問(wèn)題。三、題型講解3.1解題技巧歸納3.1.1歸納1、相鄰問(wèn)題捆綁法例1、6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須在一起的不同排法共有（）。A、720種B、360種C、240種D、120種答案：C解析：因甲、乙兩人要排在一起，故將甲、乙兩人“捆”在一起視作一個(gè)人，與其余四人全排列共有A55種方法，但甲、乙兩人之間的排列有A22種方法。由分布乘法計(jì)數(shù)原理可知：共有【注意事項(xiàng)】n個(gè)不同元素排列時(shí)，若要求其中指定的m個(gè)元素相鄰，則有（n-m+1）！m!種不同的排列方法。3.1.2歸納2、不相鄰問(wèn)題插空法例1、6人站成一排，甲、乙、丙任何兩人都不相鄰的排法共有（）種。A、A33·A44B、A33·A43答案：B解析：第一步，除甲、乙、丙外，其他3個(gè)人的排法有A33種；第二步，3個(gè)人共形成4個(gè)空，讓甲、乙、丙3個(gè)人在這4個(gè)空中任選3個(gè)進(jìn)行排列，其排法有A43種。由分布乘法計(jì)數(shù)原理，得共有3.1.3歸納3、錯(cuò)排問(wèn)題窮舉法例1、a，b，c，d排成一行，a不排第一，b不排第二，c不排第三，d不排第四的排法有多少種？答案：9種解析：按照題目的要求，采用畫(huà)樹(shù)狀圖的方式可逐個(gè)排出所有的結(jié)果，如圖所示：bbacdddacacdacbcabbacaddbabba所以符合題意的排法有9種?！咀⒁馐马?xiàng)】3個(gè)元素錯(cuò)排有2種方法。4個(gè)元素錯(cuò)排有9種方法，必須要記住。3.1.4歸納4、定序問(wèn)題例1、某班級(jí)新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目，如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（）.A、42B、30C、20D、12答案：A解析：方法一、當(dāng)新增加的兩個(gè)節(jié)目相鄰時(shí)，有12種方法；當(dāng)新增加的兩個(gè)節(jié)目不相鄰時(shí)，有A6方法二、新增加的節(jié)目分別記為甲、乙，要完成這一事件，可分成兩步：第一步把甲插入，共有6種方法；第二步把乙插入，共有7種方法。應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有6×7=42種方法。方法三、當(dāng)7個(gè)節(jié)目進(jìn)行全排列時(shí)，共有A77種方法，而原有的5個(gè)節(jié)目全排列時(shí)共有A53.1.5歸納5、分組問(wèn)題與分配問(wèn)題例1、從5名男公務(wù)員和4名女公務(wù)員中選出3人，分別派到西部的三個(gè)不同地區(qū)，要求3人中既有男公務(wù)員又有女公務(wù)員，則不同的選派方法種數(shù)是多少？答案：420解析：由題意，從5名男公務(wù)員和4名女公務(wù)員中選出3人，有C93種。其中只有男公務(wù)員的選法有C5所以既有男公務(wù)員又有女公務(wù)員的選法有（C93-C5再分別派到西部的三個(gè)不同地區(qū)，則共有A33（C93-例2、六本不同的書(shū)，按照以下要求處理，各有多少種分發(fā)？（1）一堆一本，一堆兩本，一對(duì)三本；（2）分給甲、乙、丙三人，甲得一本，乙得兩本，丙得三本；（3）分給甲、乙、丙三人，一人得一本，一人得兩本，一人得三本；（4）平均分給甲、乙、丙三人，每人兩本；（5）平均分成三堆，每堆兩本；（6）分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少一本。答案：（1）60種；（2）60種；（3）360種；（4）90種；（5）15種；（6）1560解析：（1）先在六本書(shū)中任取一本，作為一堆，有C61種取法；再?gòu)挠嘞碌奈灞緯?shū)中任取兩本，作為一堆，有C52種取法；最后從余下的三本書(shū)中取三本，作為一堆，有C33種取法，故共有（2）由（1）知，分成三堆的方法有C61·C52·C33=60種，而每種分組方法就對(duì)應(yīng)一種甲得一本，乙得兩本，丙得三本的分配方法。故甲得一本，乙得兩本，丙得三本的分法應(yīng)為（3）由（1）知，分成三堆的方法有C61·C52·C33=60種，但每一種分組方法又有A33種不同的分配方案，故一人得一本，一人得兩本，一人得三本的分法有（4）三個(gè)人一個(gè)一個(gè)地來(lái)取書(shū)，甲從六本不同的書(shū)中任取兩本的方法有C62種；甲不論用哪一種方法取得兩本書(shū)后，乙再?gòu)挠嘞碌乃谋緯?shū)中任取兩本有C42種方法；而甲、乙不論用哪一種方法各取得兩本書(shū)后，丙再?gòu)挠嘞碌膬杀緯?shū)中取兩本書(shū)，有C22種方法，所以一共有（5）把六本不同的書(shū)平均分成三堆，每堆兩本與把六本不同的書(shū)分給甲、乙、丙三人，每人兩本的區(qū)別在于后者相當(dāng)于把六本不同的書(shū)平均分成三堆后再把每次分得的三堆書(shū)分給甲、乙、丙三人。因此設(shè)把六本不同的書(shū)平均分成三堆的方法有x種，那么把六本不同的書(shū)分給甲、乙、丙三人，每人兩本應(yīng)該有x·A33種。由（4）知，把六本不同的書(shū)分給甲、乙、丙三人，每人兩本的方法有C62·C42·C22種，所以x·X=C6（6）先把六本不同的書(shū)分成四組，每組至少一本的分法有兩種。①有一組3本，其余三組每組1本，不同的分法有C6③有兩組每組2本，其余兩組每組1本，不同的分法共有C62C所以不同的分組方法共有20+45=65種。然后把分好的4組書(shū)分給4個(gè)人，所以不同的分法有65×A4【注意事項(xiàng)】（1）對(duì)于整體均分，解題時(shí)要注意分組后，不管順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以An（2）對(duì)于部分均分，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，一個(gè)分組過(guò)程中有幾個(gè)這樣的均勻分組就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)。（3）對(duì)于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不想等，所以不需要除以全排列數(shù)。3.1.6歸納6、相同元素優(yōu)先滿(mǎn)足題設(shè)法例1、某中學(xué)準(zhǔn)備組建一個(gè)18人的足球隊(duì)，這18人由高一年級(jí)10個(gè)班的學(xué)生組成，每個(gè)班至少一個(gè)名額，分配方案共有多少種？答案：24130解析：取18枚棋子排成一行，每個(gè)棋子代表一個(gè)班級(jí)，在相鄰的兩枚棋子形成的17個(gè)間隙中選取9個(gè)插入擋板，將18枚棋子分隔成10個(gè)區(qū)間，第i（0≤i≤10）個(gè)區(qū)間的棋子數(shù)對(duì)應(yīng)第i個(gè)班級(jí)的學(xué)生名額，因此，名額分配方案總數(shù)與插入擋板的方法數(shù)相等。因?yàn)椴迦霌醢宓姆椒〝?shù)為C179，故名額分配方案共有例2、某中學(xué)準(zhǔn)備組建一個(gè)18人的足球隊(duì)，這18人由高一年級(jí)10個(gè)班的學(xué)生組成，學(xué)生班級(jí)分配方法有多少種？答案：C28解析：這題和上題唯一的區(qū)別是沒(méi)有了“每個(gè)班至少一個(gè)名額”這個(gè)限制條件，也就是有的班級(jí)可能分配多個(gè)名額，有的班級(jí)沒(méi)有名額。對(duì)于這種情況，我們可以在分配之前先“借”給每個(gè)班1個(gè)名額，保證每個(gè)班至少有一個(gè)名額，這個(gè)時(shí)候“借”出去的10個(gè)名額再加上原先的18個(gè)名額總共就有28個(gè)名額。同樣的取28枚棋子排成一行，在相鄰的每?jī)擅镀遄有纬傻?7個(gè)間隙中選取9個(gè)插入擋板，將這28枚棋子分隔成10個(gè)區(qū)間第i（0≤i≤10）個(gè)區(qū)間的棋子數(shù)對(duì)應(yīng)第i個(gè)班級(jí)的學(xué)生名額，這樣的插入擋板的方法有C289種，這樣也保證了每班至少一個(gè)名額，因?yàn)橹啊敖琛苯o每個(gè)班一個(gè)名額，現(xiàn)在每個(gè)班級(jí)需要“還”回一個(gè)名額，比如之前28個(gè)名額分到3個(gè)名額班級(jí)其實(shí)就分到了18個(gè)名額中的2個(gè)名額，之前分到1個(gè)名額的班級(jí)其實(shí)就是沒(méi)有分到名額的班級(jí)，所以并不是每個(gè)班都至少分到一個(gè)名額，滿(mǎn)足題意。所以該題的分配方法有3.1.7歸納7、涂色問(wèn)題654123例1、如圖某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分?，F(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，那么不同的栽種方法有多少種？答案：120種解析：將此類(lèi)問(wèn)題看成涂色問(wèn)題，涂不同顏色代表不同顏色的花，區(qū)域2，5不相鄰，取區(qū)域2，5作為討論對(duì)象。（1）若區(qū)域2，5同色，則區(qū)域3，5一定不同色，先涂區(qū)域5有4種方法，涂區(qū)域2有1種方法，涂區(qū)域6有2種方法，涂區(qū)域3有2種方法，涂區(qū)域4有1種方法，即有4×1×3×2×2×1=48種方法。（2）若區(qū)域2，5不同色。①區(qū)域3，5同色：先涂區(qū)域5有4種方法，涂區(qū)域2有3種方法，涂區(qū)域1有2種方法，涂區(qū)域6有1種方法，涂區(qū)域3有1種方法，涂區(qū)域4有2種方法，即有4×3×2×1×1×2=48種方法；②區(qū)域3，5不同色：先涂區(qū)域5有4種方法，涂區(qū)域2有3種方法，涂區(qū)域1有2種方法，涂區(qū)域6有1種方法，涂區(qū)域3有1種方法，涂區(qū)域4有一種方法，即有4×3×2×1×1×1=24種方法。綜上，共有48+48+24=120種方法?！咀⒁馐马?xiàng)】按事件發(fā)生的效果進(jìn)行分類(lèi)，按事件發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步。3.1.8歸納8、特殊元素（位置）優(yōu)先考慮例1、6位選手依次演講，其中選手甲不在第一個(gè)也不在最后一個(gè)，則不同的演講次序共有（）。A、240種B、360種C、480種D、720種答案：C解析：利用特殊元素優(yōu)先安排原則分布完成得到結(jié)論。甲先安排在除開(kāi)始與結(jié)尾的位置有C41種不同的排法，剩余的選手進(jìn)行全排列有A55種不同的排法，故不同的演講次序共有例2、將5輛列車(chē)停在5條不同的軌道上，其中A列車(chē)不停在第一軌道上，B列車(chē)不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有（）.A、120種B、96種C、78種D、72種答案：C解析：A列車(chē)和B列車(chē)是特殊元素，優(yōu)先考慮，分兩種情況。①A列車(chē)停在第二軌道上，那么剩下的4輛列車(chē)可以進(jìn)行全排列則有A4②A(yíng)列車(chē)不停在第二軌道上，在剩下的三條軌道任選一條軌道讓A列車(chē)停放，有C31種方法，接下來(lái)安排B列車(chē)，供B列車(chē)停放的軌道除去第二條和A列車(chē)停放的軌道還有3條軌道，任選一條有C31種方法，剩下三輛列車(chē)三條軌道全排列有A33種方法，所以這種情況下共有所以共有24+54=78種停放方法。3.1.9歸納9、先選后排與先分組后排列當(dāng)元素之間互不相同，且元素個(gè)數(shù)與位置個(gè)數(shù)不一致時(shí)，往往用先選后排或先分組后排列的解題策略。例1、某校安排5個(gè)班到4個(gè)工廠(chǎng)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)班去一個(gè)工廠(chǎng)，每個(gè)工廠(chǎng)至少安排一個(gè)班，則不同的安排方法共有多少種？答案：240種解析：本題中元素個(gè)數(shù)是5，位置的個(gè)數(shù)是4，所以本題的入手點(diǎn)是先將5個(gè)元素分成4組，而從效果來(lái)看只有一類(lèi)5=1+1+1+2，所以要完成分組，有C52種方法，然后將4組元素在4個(gè)位置上進(jìn)行全排列，即有C5【注意事項(xiàng)】元素個(gè)數(shù)大于位置個(gè)數(shù)，且所有元素都參與排列，所以需先分組在排列。例2、小張同學(xué)計(jì)劃在期末考試結(jié)束后，和其他小伙伴一塊兒外出旅游，增長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)。旅行社為他們提供了省內(nèi)的都江堰、峨眉山九寨溝和省外的麗江古城、黃果樹(shù)瀑布和鳳凰古城這6個(gè)景點(diǎn)。由于時(shí)間和距離等原因，只能從中任取4個(gè)景點(diǎn)進(jìn)行參觀(guān)，其中黃果樹(shù)瀑布不能第一個(gè)參觀(guān)，且最后參觀(guān)的是省內(nèi)的景點(diǎn)，則不同的旅游順序有（）。A、54種B、72種C、120種D、144種答案：D解析：根據(jù)題意，分兩類(lèi)情況討論：①當(dāng)選擇的4個(gè)景點(diǎn)不含黃果樹(shù)瀑布時(shí)，先在3個(gè)省內(nèi)景點(diǎn)中選一個(gè)，放在最后參觀(guān)，有C31種選法，再在剩下的4個(gè)景點(diǎn)種任選3個(gè)，放在前三個(gè)參觀(guān)，有A43種順序，共有②當(dāng)選擇的4個(gè)景點(diǎn)含黃果樹(shù)瀑布時(shí)，先在3個(gè)省內(nèi)景點(diǎn)中任選1個(gè)放在最后參觀(guān)，有C31種順序，黃果樹(shù)瀑布可以放在第二個(gè)或第三個(gè)參觀(guān)，有A21種順序，再在剩下的4個(gè)景點(diǎn)任選2個(gè)，放在剩余的位置進(jìn)行參觀(guān)，有A42種順序，此時(shí)有綜上，不同的旅游順序有72+72=144種，故選D。3.1.10歸納10、分排問(wèn)題直排處理法把n個(gè)元素排成前后若干排的排列問(wèn)題，若沒(méi)有其他特殊要求，可采取統(tǒng)一排成一排的方法處理。例1、兩排座位，第一排3個(gè)座位，第二排5個(gè)座位，若8名學(xué)生坐（每人一個(gè)座位），則不同的做法種數(shù)是（）。A.C85C83B.答案：D解析：因?yàn)?名學(xué)生可在前后兩排的8個(gè)座位中隨意入座，再無(wú)其他條件，所以?xún)膳抛豢梢钥醋饕慌艁?lái)處理，不同的做法種數(shù)是A83.1.11歸納11、部分符合條件選用淘汰法在選取總數(shù)中，只有一部分符合條件，可從總數(shù)中減去不符合條件的方法數(shù)，即為所求。例1、某通訊公司推出一組手機(jī)卡號(hào)碼，卡號(hào)的前7位數(shù)字固定，從“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000個(gè)號(hào)碼。若公司規(guī)定：凡卡號(hào)的后四位帶有數(shù)字“4”或“7”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號(hào)碼中“優(yōu)惠卡”的個(gè)數(shù)為（）。A.2000B.4096C.5904D.8320答案：C解析：后四位中不帶數(shù)字“4“和”7“，則后四位只能從0,1,2,3,5,6,8,9這8個(gè)數(shù)字中可重復(fù)地選4個(gè)進(jìn)行排列，有84種不同的排法，故”優(yōu)惠卡“共有10000-83.1.12歸納12、重排問(wèn)題求冪法例1、把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車(chē)間實(shí)習(xí)，共有多少種不同的分配方法？答案：76解析：完成分配共分6步：把第1名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間有7種分法；把第2名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間有7種分法；把第3名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間有7種分法；以此類(lèi)推，由分布計(jì)數(shù)原理把5名實(shí)習(xí)生分配完共有76【注意事項(xiàng)】允許重復(fù)的排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置點(diǎn)約束，可以逐一安排各個(gè)元素的位置，一般地n個(gè)不同的元素沒(méi)有限制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為mn3.1.13歸納13、環(huán)排問(wèn)題線(xiàn)排法例1、8人圍桌而坐，共有多少種做法？答案：7！種坐法解析：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒(méi)有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展開(kāi)成直線(xiàn)其余7人共有（8-1）！種排法即7！EFEFABCDGHA 【注意事項(xiàng)】一般地，n個(gè)不同的元素作圓形排列，共有（n-1）！種排法；如果從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作圓形排列共有1n3.1.14歸納14、小集團(tuán)問(wèn)題先整體后局部法例1、用1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)的數(shù)字的五位數(shù)中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾在1，5兩個(gè)奇數(shù)之間，這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？答案：8個(gè)解析：把1，5，2，4當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與3排列共有A22種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部，先排1，5有A22種排法，在1，5之間排2，4有A3.1.15歸納15、化歸法例1、25人排成5×5方陣，現(xiàn)從中選3人不在同一行也不在在同一列，不同的選法有多少種？答案：600種。解析：將這個(gè)問(wèn)題退化成9人排成3×3方陣，現(xiàn)從中選出3人，要求3人不在同一行也不在同一列，有多少種選法？這樣每行必有1人，從其中的一行選取1人后，把這人所在的行列都劃掉，如此繼續(xù)下去，從3×3方陣選3人的方法有C31C213.2易錯(cuò)易混歸納3.2.1歸納1、混淆兩個(gè)計(jì)數(shù)原理致錯(cuò)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理對(duì)應(yīng)著“分類(lèi)”活動(dòng)，每一類(lèi)方法都能完成相應(yīng)的事情；分布乘法計(jì)數(shù)原理對(duì)應(yīng)著“分布”活動(dòng)，只有完成每一個(gè)步驟才能完成相應(yīng)的事情。例1、把4個(gè)選調(diào)生平均分配到甲、乙兩個(gè)辦公室，不同的分法有多少種？答案：6種。解析：兩個(gè)辦公室選人應(yīng)是一前一后的分步關(guān)系。所以要用分布乘法計(jì)數(shù)原理，則不同的分配方法有C42·【易錯(cuò)警示】本題易混淆分類(lèi)與分步的標(biāo)準(zhǔn)，把該分成兩步的問(wèn)題錯(cuò)誤地分成兩類(lèi)問(wèn)題，從而得出C42+3.2.2歸納2、排除法使用不當(dāng)致誤在用排除法解排列組合問(wèn)題時(shí)。要避免多算、少算的情況，重點(diǎn)注意因排除造成少算的情況。例1、在一次團(tuán)隊(duì)活動(dòng)中，有5個(gè)好友排成一排照相，其中甲不站在最左端，乙不站在最右端，有多少種不同排法？答案：78種。解析：5個(gè)人全排列有A55種方法