第第頁北師大高中數學選擇性必修第一冊第三章課時作業27空間向量長度與夾角的坐標表示（含解析）北師大高中數學選擇性必修第一冊第三章

課時作業27空間向量長度與夾角的坐標表示(原卷版)

角

一、選擇題

1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱A1B1的中點，則異面直線AE與BD1所成角的余弦值為(A)

A.B.C.D.

2.記動點P是棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的對角線BD1上一點，記＝λ.當∠APC為鈍角時，則λ的取值范圍為(B)

A.(0，1)B.

C.D.(1，3)－

3.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分別是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，則E，F兩點間的距離為(C)

A.1B.C.D.

4.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(C)

A.C.D.

5.若a＝(1，λ，－1)，b＝(2，－1，2)，且a與b的夾角的余弦值為，則|a|＝(C)

A.C.

6.已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，則|b－a|的最小值是(C)

A.C.D.

7.四面體ABCD中，AB，BC，BD兩兩垂直，且AB＝BC＝1，點E是AC的中點，異面直線AD與BE所成角為θ，且cosθ＝，則該四面體的體積為(A)

A.B.

C.D.

8.已知空間向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，a·b＝3，則向量a與λb(λ≠0)的夾角為(B)

A.或

C.或

二、填空題

9.如圖在三棱錐S－ABC中，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝，M，N分別是AB和SC的中點.則異面直線SM與BN所成的角的余弦值為平行平行.

10.若a＝(2，－3，5)，b＝(－3，1，－4)，則|a－2b|＝平行平行.

11.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝AC＝BC＝1，則異面直線BC1與A1B1所成角大小為平行平行；BC1的長度是平行平行.

三、解答題

12.如圖，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點D是BC的中點.求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值.

12題圖

13.如圖，已知正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長為1.

(1)正方體ABCD－A'B'C'D'中哪些棱所在的直線與直線A'B是異面直線

(2)若M，N分別是A'B，BC'的中點，求異面直線MN與BC所成角的大小.

14.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1，已知G和E分別為A1B1和CC1的中點，D與F分別為線段AC和AB上的動點(不包括端點)，若GD⊥EF，則線段DF的長度的取值范圍為(A)

A.

C.為.

15.已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，＋λ與(O為坐標原點)的夾角為120°，則λ的值為－平行平行.

16.已知空間三點A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).

(1)求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；

(2)若向量a分別與向量垂直，且|a|＝，求向量a的坐標.

北師大高中數學選擇性必修第一冊第三章

課時作業27空間向量長度與夾角的坐標表示(解析版)

一、選擇題

1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱A1B1的中點，則異面直線AE與BD1所成角的余弦值為(A)

A.B.C.D.

解析：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱A1B1的中點，以D為原點，DA所在的直線為x軸，DC所在的直線為y軸，DD1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系，設正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則A(2，0，0)，E(2，1，2)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，＝(0，1，2)，＝(－2，－2，2)，設異面直線AE與BD1所成角為θ，則cosθ＝.∴異面直線AE與BD1所成角的余弦值為.故選A.

2.記動點P是棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的對角線BD1上一點，記＝λ.當∠APC為鈍角時，則λ的取值范圍為(B)

A.(0，1)B.

C.D.(1，3)

解析：由題設，建立如圖所示的空間直角坐標系D－xyz，則有A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，∴＝(1，1，－1)，∴＝(λ，λ，－λ)，

∴＝(－λ，－λ，λ)＋(1，0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，＝(－λ，－λ，λ)＋(0，1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)，顯然∠APC不是平角，所以∠APC為鈍角等價于cos∠APC＜0，

∴＜0，

∴(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)(λ－1)＝(λ－1)(3λ－1)＜0，得＜λ＜1.因此，λ的取值范圍是，故選B.

3.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分別是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，則E，F兩點間的距離為(C)

A.1B.C.D.

解析：以點A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則E(1，1，)，F，所以|EF|＝.故選C.

4.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(C)

A.C.D.

解析：以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(1，1，)，D1(0，0，)，所以＝(－1，0，)，＝(1，1，)，因為cos＜＝，所以異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為，故選C.

5.若a＝(1，λ，－1)，b＝(2，－1，2)，且a與b的夾角的余弦值為，則|a|＝(C)

A.C.

解析：因為a·b＝1×2＋λ×(－1)＋(－1)×2＝－λ，又因為a·b＝|a||b|·cos＝，所以＝－λ.解得λ2＝，所以|a|＝.

6.已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，則|b－a|的最小值是(C)

A.C.D.

解析：由已知得b－a＝(1＋t，2t－1，0)，

∴|b－a|＝＝.故選C.

7.四面體ABCD中，AB，BC，BD兩兩垂直，且AB＝BC＝1，點E是AC的中點，異面直線AD與BE所成角為θ，且cosθ＝，則該四面體的體積為(A)

A.B.

C.D.

解析：分別以BC，BA，BD所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設BD＝a，A(0，1，0)，B(0，0，0)，E，D(0，0，a)，

＝(0，－1，a)，，

cosθ＝＝

，解得a＝2，該四面體的體積為×1×1×2＝.故選A.

8.已知空間向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，a·b＝3，則向量a與λb(λ≠0)的夾角為(B)

A.或

C.或

解析：由a·b＝|a||b|cos＜a，b＞＝1＋n＝3，得n＝2，cos＜a，b＞＝3，從而cos＜a，b＞＝，又向量夾角的范圍為[0，π]，故a，b的夾角為，則當λ＞0時，a與λb的夾角為；當λ＜0時，a與λb的夾角為.故選B.

二、填空題

9.如圖在三棱錐S－ABC中，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝，M，N分別是AB和SC的中點.則異面直線SM與BN所成的角的余弦值為.

解析：因為∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝，所以以S為坐標原點，SA，SB，SC所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系.設SA＝SB＝SC＝2，則M(1，1，0)，B(0，2，0)，N(0，0，1)，A(2，0，0)，C(0，0，2).因為＝(1，1，0)，＝(0，－2，1)，cos＜，所以異面直線SM與BN所成的角的余弦值為.

10.若a＝(2，－3，5)，b＝(－3，1，－4)，則|a－2b|＝.

解析：因為a＝(2，－3，5)，b＝(－3，1，－4)，所以a－2b＝(8，－5，13)，所以|a－2b|＝.

11.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝AC＝BC＝1，則異面直線BC1與A1B1所成角大小為；BC1的長度是.

解析：直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，∴CC1⊥BC，CC1⊥AC，AC⊥BC.

以C為坐標原點，分別以CA，CB，CC1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，C1(0，0，1)，B1(0，1，1)，A1(1，0，1)，∴＝(0，－1，1)，＝(－1，1，0)，＝(－1，1，0)，∴|cos＜，∴異面直線BC1與A1B1所成角為，.

三、解答題

12.如圖，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點D是BC的中點.求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值.

題圖答圖

解：以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4).

易得＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4).

因為cos＝，

所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.

13.如圖，已知正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長為1.

(1)正方體ABCD－A'B'C'D'中哪些棱所在的直線與直線A'B是異面直線

(2)若M，N分別是A'B，BC'的中點，求異面直線MN與BC所成角的大小.

解：(1)正方體ABCD－A'B'C'D'中，與直線A'B是異面直線的棱所在直線有AD，B'C'，CD，C'D'，DD'，CC'，共6條.

(2)M，N分別是A'B，BC'的中點，以D為原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD'所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A'(1，0，1)，B(1，1，0)，C'(0，1，1)，M，N，C(0，1，0)，＝(－1，0，0)，

設異面直線MN與BC所成角的大小為θ，則cosθ＝，∴θ＝45°，∴異面直線MN與BC所成角的大小為45°.

14.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1，已知G和E分別為A1B1和CC1的中點，D與F分別為線段AC和AB上的動點(不包括端點)，若GD⊥EF，則線段DF的長度的取值范圍為(A)

A.

C.

解析：建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz，則G，E，

設D(0，y，0)，F(x，0，0)，

則，，

∵GD⊥EF，∴＝0，即－＝0，即x＋2y＝1，

又∵0＜x＜1，∴0＜1－2y＜1，

∴0＜y＜.

又|DF|＝＝

，

∴當y＝時，|DF|min＝

；

當y＝0時，|DF|＝1；

當y＝時，|DF|＝，故線段DF的長度的取值范圍為.

15.已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，＋λ與(O為坐標原點)的夾角為120°，則λ的值為－.

解析：＋λ＝(1，－λ，λ)，＝(0，－1，1).

由已知得cos120°＝＝，

∴λ＝－.

16.已知空間三點