第五節

函數的微分第二章一、微分的定義二、微分的幾何意義三、基本初等函數的微分公式與運算法則四、微分在近似計算中的應用一、微分的定義x0DxDx)2x0Dx(DxA

=

x20x0關于△x

的線性主部Dx

fi

0

時為高階無窮小故稱為函數在x0

的微分設薄片邊長為x

,面積為A

,則A

=x2

,當x

在x0

取得增量D

x時,面積的增量為引例:

一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,其邊長由x0

變到x0

+

Dx

,

問此薄片面積改變了多少?定義:若函數(A

為不依賴于△x

的常數)的微分,記作，即在點

x0

的增量可表示為=

ADx

+

o(Dx)dy

=

ADx問題:

什么樣的函數可微？微分怎樣求？則稱函數

y

=

f

(x)

在點可微,而AD

x

稱為證:“必要性”已知在點 可微

,

則Dxfi

0Dxfi

0

Dx\

lim

D

y

=

lim

(

A

+

o(Dx)

)

=

A故D

y

=

f

(x0

+

Dx)

-

f

(x0

)

=

ADx

+

o(Dx)Dx在點 的可導,

且在點x0

可微的必要條件是定理:函數在點 處可導,

且即dy

=

f

(x0

)Dx充分定理:函數在點 處可導,

且即dy

=

f

(x0

)Dx“充分性”已知0lim

D

y

=

f

￠(x

)Dxfi

0

Dx0Dx\

D

y

=

f

￠(x

)

+a( lim

a

=

0

)Dxfi

0故

D

y

=

f

(x0

)Dx

+a

Dx

=

f

(x0

)Dx

+

o(Dx)

線性主部即

dy

=

f

(x0

)Dx在點 的可導,

則在點x0

可微的充要條件是例如,y

=

x3

,dyx

=

2Dx

=

0.02=

3x2D

xx

=

2Dx

=

0.02=

0.24y

=

arctan

x

,Dxdy

=1+

x21又如,說明:Dy

=

f

(x0

)Dx

+

o(Dx)dy

=

f

(x0

)DxDxfi

0

dyDylim

Dy

=

limDxfi

0

f

￠(x0

)Dx=f

￠(x0

)

Dxfi

0

Dx1lim

Dy

=1當

f

(x0

)

?

0

時

,所以Dx

fi

0

時

D

y

與dy

是等價無窮小,

故當

Dx很小時,

有近似公式D

y

?

dy二、微分的幾何意義xyoy

=

f

(x)a0x0

+

DxxDydyDxdy

=

f

(x0

)Dx

=

tana當Dx

很小時,

Dy

?

dy當y

=x

時，則有dy

=

f

(x)

dx從而dxdy

=

f

￠(x)導數也叫作微商切線縱坐標的增量Dy

=Dx

記dx=稱Dx為自變量的微分,

記作

dx三、基本初等函數的微分公式與微分運算法則(C

為常數)=

f

(u)

j

(x)

dxdudy

=

f

(u)

du微分形式不變性則復合函數 的微分為設

u(x)

,

v(x)

均可微

,

則=

du

–

dv=

vdu+

udv5.

復合函數的微分分別可微,基本初等函數的微分公式(見P113表)例1.解:121

+

exdy

=求2d(1

+

ex

)=12xdx1+

ex21ex221

+

ex=2xex2=

2

dx1

+

exex2

d

(x2

)例2.

設求解:

利用一階微分形式不變性

,

有d(

y

sin

x)

-

d(cos(x

-

y))

=

0sin

x

dy

+

y

cos

x

dx

+

sin(x

-

y)

(dx

-

dy)

=

0dy

=

y

cos

x

+

sin(x

-

y)

dxsin(x

-

y)

-sin

x例3.

在下列括號中填入適當的函數使等式成立:2w(1) d(

1

x2+

C

)

=

xdx(2)d(

1

sinw

t +

C)

=

cosw

t

d

t說明:上述微分的反問題是不定積分要研究的內容.注意:數學中的反問題往往出現多值性.22

=

(

4

)(

–

2

)2

=

44sin

p

=

(22

)224sin(

p

+

2kp

)

=數學中的反問題往往出現多值性,例如四、微分在近似計算中的應用D

y

=

f

(x0

)Dx

+

o(Dx)使用原則:

1)f

(x0

),

f

(x0

)好算;2)

x

與x0

靠近.當

Dx

很小時,

得近似等式:D

y

=

f

(x0

+

Dx)

-

f

(x0

)

?

f

(x0

)Dxf

(x0

+

Dx)

?

f

(x0

)

+

f

(x0

)Dx令x

=x0

+Dxf

(x)

?

f

(x0

)

+

f

(x0

)(x

-

x0

)特別當

x0

=

0

,

x

很小時,f

(x)

?

f

(0)

+

f

(0)x常用近似公式:

(

x

很小)xxx1

+

x1

+a

xf

(x)

=

(1+

x)a證明:

令得f

(0)

=1,f

(0)

=a\

當

x

很小時,180的近似值.解:

設

f

(x)

=

sin

x

,取則dx

=-p180

622=

1

+

3

(-0.0175)6

180例4.

求sin

29

=

sin

29

p

?

sin

p

+

cos

p

(-

p

)的近似值.解:35

=

2431=

(243+

2)51)52432=

3

(1+2

)5

243?

3

(1+

1=

3.0048例5.

計算(1+

x)a

?1+a

xR

=1DR

=

0.01=

4p

R2DRR

=1DR

=

0.01?

0.13

(cm3

)因此每只球需用銅約為8.9

·0.13

=1.16

(

g

)例6.

有一批半徑為1cm

的球,為了提高球面的光潔度,要鍍上一層銅

,

厚度定為

0.01cm

,

估計一下,每只球需用銅多少克

.解:

已知球體體積為鍍銅體積為

V

在 時體積的增量內容小結微分概念微分的定義及幾何意義可微可導2.

微分運算法則微分形式不變性

:

d

f

(u)

=

f

(u)

d

u(u

是自變量或中間變量)3.

微分的應用：近似計算思考與練習1.

設函數的圖形如下,試在圖中標出的點dy

<

0x0

+

Dxx0xoDy<

0x0

處的dy

,Dy

及Dy

-dy

,并說明其正負.Dy

-

dy

<

0y2.de-xd(arctan

e-x

)

=11+

e-2

xdx=1+

e-2

x-

e-xdsin

x3.

d

tan

x

=sec3

x24. d

(

-

1

cos

2

x

+

C

)

=

sin

2

x

d

x5.

設由方程確定,2=

1

d

xx=0求解:方程兩邊求微分,得3

x2

d

x