2022-2023學年福建省莆田市高二下學期6月月考數學試題一、單選題1．已知集合，，則（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】解一元二次不等式化簡集合，再根據集合的包含關系求解即可.【詳解】由解得，所以，又因為，所以，故選：C2．已知復數z滿足,則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將當作未知數解出來,再化簡即可.【詳解】由得故選:A.3．若的展開式中所有項系數和為81，則該展開式的常數項為（

）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】B【分析】由給定條件求出冪指數n值，再求出展開式的通項即可作答.【詳解】在的二項展開式中，令得所有項的系數和為，解得，于是得展開式的通項為，令，得，常數項為.故選：B4．魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經》是關于測量的數學著作，其中第一題是測量海島的高.如圖，點E，H，G在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，若，，，，則海島的高（

）A．20 B．16 C．27 D．9【答案】A【分析】利用平面相似的有關知識即可解出．【詳解】由平面相似知識可知，，，所以，解得，從而．故選：A．5．在中，點是邊上一點，若，則實數（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量共線定理設，，通過線性運算得，結合題目條件得到方程組，解出即可.【詳解】作出如圖所示圖形：三點共線，故可設，，則，，，解得.故選：D.6．設函數的圖象的一個對稱中心為，則的一個最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正切型函數的對稱性可得出的表達式，再利用正切型函數的周期公式可求得結果.【詳解】因為函數的圖象的一個對稱中心為，所以，，可得，，則，故函數的最小正周期為，當時，可知函數的一個最小正周期為.故選：C.7．已知函數為定義在上的偶函數，當時，函數的最小值為1，則（

）A．3 B． C．1 D．2【答案】D【分析】先由函數為偶函數求出的值，即可寫出的解析式，然后令，則，最后利用二次函數的圖象與性質分情況求出的值，即可求得結果．【詳解】解：由題意知，得，整理得，所以，所以，，令，則．易知在上是增函數，所以．因為在上的最小值是1，所以在上的最小值是1，當時，，解得或（舍去）；當時，，不合題意，舍去．綜上，，故選：D．8．已知雙曲線的右焦點為，點、在雙曲線上，且關于原點對稱.若，且的面積為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設該雙曲線的左焦點為，分析可知四邊形為矩形，利用三角形的面積公式、勾股定理以及雙曲線的定義可求得的值，即可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】因為雙曲線的右焦點為，所以，設該雙曲線的左焦點為.由題意可知為、的中點，則四邊形為平行四邊形，因為，所以，四邊形為矩形，所以，，由的面積為，得，則.又，則，所以.則由雙曲線的定義可得，所以，則離心率.故選：C.二、多選題9．已知某地區某周7天每天的最高氣溫分別為23，25，13，10，13，12，19（單位℃）．則（

）A．該組數據的平均數為 B．該組數據的中位數為13C．該組數據的第70百分位數為16 D．該組數據的極差為15【答案】ABD【分析】根據平均數、中位數、百分位數和極差的定義判斷即可．【詳解】將23，25，13，10，13，12，19從小到大排列為10，12，13，13，19，23，25，對于A，該組數據的中位數為，故A正確；對于B，該組數據的中位數為13，故B正確；對于C，由，則該組數據的第70百分位數為從小到大排列的第5個數，是19，故C錯誤；對于D，該組數據的極差為，故D正確．故選：ABD．10．已知數列滿足，，為數列的前項和.若對任意實數，都有成立.則實數的可能取值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】ABC【分析】根據題意求出，再化簡求出，利用裂項相消即可求出，即可求出滿足題意的.【詳解】①②②①得，，當時，，當時，，滿足上式，故，，故，，故.故選：ABC.11．在長方體中，，E，F，P，Q分別為棱AB，AD，，的中點，則（

）A．AC⊥BPB．⊥平面EFPQC．平面平面EFPQD．直線CE和所成角的余弦值為【答案】AC【分析】A選項，作出輔助線，得到AC⊥BD，，得到線面垂直，證明出AC⊥BP；B選項，假設⊥平面EFPQ，推出矛盾，B錯誤；C選項，作出輔助線，得到，，證明出面面平行；D選項，作出輔助線，找到異面直線CE和所成角，求出各邊長，利用余弦定理求出答案.【詳解】對于A，如圖1所示，因為AB＝BC，所以四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又因為幾何體為長方體，所以⊥平面ABCD，因為平面，所以，又因為，平面，所以⊥平面，又因為平面，所以AC⊥BP，故結論正確；對于B，如圖2所示，假設⊥平面EFPQ.因為平面EFPQ，所以⊥.因為P，Q分別為棱，的中點，所以四邊形為平行四邊形，故，所以，顯然不成立，故假設錯誤，所以結論錯誤；對于C，如圖3所示，連接BD，，，，由條件可知，因為平面，平面，所以平面，又，，所以，因為平面，平面，所以平面，又因為，平面，所以平面平面EFPQ，故結論正確；對于D，如圖4所示，在CD上取靠近D的一個四等分點G，連接FG，，取中點，連接，則是的中點，所以，又四邊形為平行四邊形，所以，故，所以CE和所成角即為或其補角，設，則AD＝CD＝2，由勾股定理得，，，所以，故結論錯誤.故選：AC.12．已知實數a,b滿足:且,則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】構造,求導判斷單調性來確定A,D選項的正誤,將特殊值代入確定選項B的正誤,根據分析確定取值范圍,確定選項C的正誤即可.【詳解】解:由題知,當且僅當時取等,故有:關于選項A,構造,所以在上單調遞增,,即,故選項A正確;關于選項B,不妨取代入,可得不成立,故選項B錯誤;關于選項C,,,故選項C正確;關于選項D,構造,令,在單調遞減,當時，,,即即單調遞減,,即,,,,故選項D正確.故選:ACD三、填空題13．過拋物線的焦點且垂直于軸的直線與在第一象限內交于點A，點，若，則.【答案】4【分析】確定拋物線的焦點坐標，求得，根據列式計算，可得答案.【詳解】由題意可知，令，則，故，由，得：，故答案為：414．寫出曲線過點的一條切線方程．【答案】或（寫出其中的一個答案即可）【分析】首先判斷點在曲線上，求出函數的導函數，即可求出切線的斜率，從而求出切線方程，再說明函數的單調性，即可得到函數的極大值，從而得到曲線的另一條切線方程.【詳解】解：因為點在曲線上，所以曲線在點處的切線方程符合題意．因為，所以，所以曲線在點處的切線方程為，即．因為當或時，；當時，，所以函數在處取得極大值，又極大值恰好等于點的縱坐標，所以直線也符合題意．故答案為：或（寫出其中的一個答案即可）15．如圖，在△ABC中，，DB⊥平面ABC，且，BD＝3，FC＝4，AE＝5.則此幾何體的體積為．【答案】96【分析】用“補形法”把原幾何體補成一個直三棱柱，使，再由柱體的體積公式計算即可得出答案.【詳解】用“補形法”把原幾何體補成一個直三棱柱，使，所以V幾何體＝V三棱柱.故答案為：.四、雙空題16．無窮數列滿足：只要，必有，則稱為“和諧遞進數列”.若為“和諧遞進數列”，且，則，為數列的前項和，則.【答案】14718【分析】根據所給定義列出數列的前幾項，即可得到數列是周期數列，且周期為，從而求出，再根據并項求和法計算可得.【詳解】空①因為，且，所以，，.空②，又，所以，即，所以數列是以3為一個周期的數列，所以.故答案為：1；4718.五、解答題17．在中，角所對的邊分別為，已知(1)求的值；(2)若，則的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據求，然后利用正弦定理和求即可；（2）利用余弦定理和得到，然后利用面積公式求面積即可.【詳解】（1）由于，則，因為，由正弦定理知，則.（2）因為由余弦定理，得，即，解得，而，所以的面積.18．已知數列的前項和，，，．(1)計算的值，求的通項公式；(2)設，求數列的前項和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據，作差得到，再根據等差數列通項公式計算可得；（2）由（1）可得，利用并項求和法計算可得；【詳解】（1）解：當時，，解得，由題知①，②，由②①得，因為，所以，于是：數列的奇數項是以為首項，以4為公差的等差數列，即，偶數項是以為首項，以4為公差的等差數列，即所以的通項公式；（2）解：由（1）可得，.19．在如圖所示的圓柱中,為圓的直徑,是上的兩個三等分點,,,都是圓柱的母線.(1)求證：平面;(2)若已知直線與平面所成角為求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)根據題意由面面平行,證明線面平行即可;(2)由可得到底面的長度和角度,由與平面所成角為可得到母線長,通過建立直角坐標系,求兩個面的法向量,進而求得二面角大小的余弦值.【詳解】（1）證明:為圓的直徑,是上的兩個三等分點,,,均為等邊三角形,,四邊形是平行四邊形,,又平面平面,平面,平面平面,平面,,平面平面,平面,平面.（2）連接,則圓,,,又,以為原點,所在直線分別為軸,建系如圖示:則,,設平面的法向量,,令則,而平面的法向量為,,即二面角的余弦值20．某校從高二年級隨機抽取了20名學生的數學總評成績和物理總評成績，記第i名學生的成績為，其中，分別為第i名學生的數學總評成績和物理總評成績．抽取的數據列表如下（按數學成績降序整理）：序號1234567891011121314151617181920數學總評成績x9592919089888887868583828180807978777574物理總評成績y9690898792818688838481808285807879818078(1)根據統計學知識，當相關系數時，可視為兩個變量之間高度相關．根據抽取的數據，能否說明數學總評成績與物理總評成績高度相關？請通過計算加以說明．參考數據：，，．(2)規定：總評成績大于等于85分者為優秀，小于85分者為不優秀．對優秀賦分1，對不優秀賦分0．從這20名學生中隨機抽取2名學生，若用X表示這2名學生兩科賦分的和，求X的分布列和數學期望．【答案】(1)“數學總評成績”與“物理總評成績”高度相關；說明見解析(2)分布列見解析；期望為【分析】(1)根據公式計算出的值后可得出結果；(2)由題意可得X的可能取值為0，1，2，3，4，然后求出概率，再用期望公式可求解.【詳解】（1）由題意，，所以“數學總評成績”與“物理總評成績”高度相關．（2）由題意得：X的可能取值為0，1，2，3，4．根據賦分規則可知，7人賦分為2，4人賦分為1，9個人賦分為0，所以，，，，，所以X的分布列為：X01234P所以．21．已知橢圓：（）的短軸長為4，離心率為．點為圓：上任意一點，為坐標原點．(1)求橢圓的標準方程；(2)記線段與橢圓交點為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據橢圓的離心率公式及，即可求得和的值，求得橢圓方程；（2）根據兩點之間的距離公式，根據，，即可求得的取值范圍；【詳解】（1）由題意可知：，，，則，∴橢圓的標準方程：；（2）由題意可知：，設，則，∴，由，當時，，當時，，∴的取值范圍；22．已知．(1)若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍；(2)若函數有兩個極值點，證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）求出函數的導數，利用給定的單調性列出不等式，再結合恒成立條件求解作答.（2）根據給定條件，求出a的取值范圍，將用a表示出，再構造函數并借助導數推理作答.【詳解】（1）函數定義域為，依