浙江省寧波市第八中學2022年高三數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數的一段圖象如圖所示，頂點與坐標原點重合，是的圖象上一個最低點，在軸上，若內角所對邊長為，且的面積滿足，將右移一個單位得到，則的表達式為（

）A．

B．C．

D．參考答案：D2.若O是A、B、P三點所在直線外一點，且滿足條件：，其中為等差數列，則等于（

）

A．

B．1

C．

D．-1

參考答案：C略3.在(1+x)6(1－2x)展開式中，含的項的系數是A.36

B.24

C.－36

D.－24

參考答案：D4.已知是函數f(x)=2x+的一個零點.若∈（1，），∈（，+），則（A）f()＜0，f()＜0

（B）f()＜0，f()＞0（C）f()＞0，f()＜0

（D）f()＞0，f()＞0參考答案：B略5.已知集合A={x|x2≥16}，B={m}，若A∪B=A，則實數m的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣4） B．[4，+∞） C．[﹣4，4] D．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）參考答案：D【考點】并集及其運算．【分析】化簡集合A、B，根據A∪B=A，得出B?A；從而求出實數m的取值范圍．【解答】解：∵集合A={x|x2≥16}={x|x≤﹣4或x≥4}，B={m}，且A∪B=A，∴B?A；∴m≤﹣4，或m≥4，∴實數m的取值范圍是（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．故答案為：D．6.下列判斷錯誤的是(

)A．命題“若q則p”與命題“若非p則非q”互為逆否命題B．“am2<bm2”是“a<b”的充要條件C．對于命題p：x∈R，使得＋x＋1<0，則p為x∈R，均有＋x＋1≥0D．命題“{1，2}或4{1，2}”為真命題參考答案：B略7.“x2﹣4x﹣5=0”是“x=5”的(

) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：簡易邏輯．分析：根據充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．解答： 解：由x2﹣4x﹣5=0得x=﹣1或x=5，∴“x2﹣4x﹣5=0”是“x=5”的必要不充分條件，故選：B點評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，比較基礎．8.（2009江西卷文）已知函數是上的偶函數，若對于，都有，且當時，，則的值為A．

B．

C．

D．參考答案：C解析：,故選C.9.“”是“直線與直線垂直”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A試題分析：若,則,兩直線垂直,故是充分條件；反之,若兩直線垂直,則,即,解之得,故是不必要條件.故應選A.考點：充分必要條件的判定.10.已知雙曲線，過點作直線，使與有且只有一個公共點，則滿足上述條件的直線共有(

)A．4條

B．3條C．2條

D．1條參考答案：答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若在區間[0,1]上存在實數x使2x（3x+a）<1成立,則a的取值范圍是

。參考答案：12.若P（2，﹣1）為圓x2+y2﹣2x﹣24=0的弦AB的中點，則直線AB的方程

．參考答案：x﹣y﹣3=0【考點】直線與圓相交的性質．【分析】求出圓的圓心和半徑，由弦的性質可得CP⊥AB，求出CP的斜率，可得AB的斜率，由點斜式求得直線AB的方程．【解答】解：圓x2+y2﹣2x﹣24=0即（x﹣1）2+y2=25，表示以C（1，0）為圓心，以5為半徑的圓．由于P（2，﹣1）為圓x2+y2﹣2x﹣24=0的弦AB的中點，故有CP⊥AB，CP的斜率為=﹣1，故AB的斜率為1，由點斜式求得直線AB的方程為y+1=x﹣2，即x﹣y﹣3=0，故答案為x﹣y﹣3=0．13.已知直線y=kx+1與曲線y=x3+ax+b切于點（1，3），則a，b的值分別為

．參考答案：﹣1和3【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【專題】計算題；導數的概念及應用．【分析】因為（1，3）是直線與曲線的交點，所以把（1，3）代入直線方程即可求出斜率k的值，然后利用求導法則求出曲線方程的導函數，把切點的橫坐標x=1代入導函數中得到切線的斜率，讓斜率等于k列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，然后把切點坐標和a的值代入曲線方程，即可求出b的值．解：把（1，3）代入直線y=kx+1中，得到k=2，求導得：y′=3x2+a，所以y′|x=1=3+a=2，解得a=﹣1，把（1，3）及a=﹣1代入曲線方程得：1﹣1+b=3，則b的值為3．故答案為：﹣1和3．【點評】此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，是一道基礎題．14.為了解某校教師使用多媒體進行教學的情況，將全校200名教師按一學期使用多媒體進行教學的次數分成了[0，9)，[10，19)，[20，29)，[30，39)，[40，49)五層，現采用分層抽樣從該校教師中抽取20名教師，調查了他們上學期使用多媒體進行教學的次數，結果用莖葉圖表示如圖，據此可知該校一學期使用多媒體進行教學的次數在內的教師人數為

．參考答案：40

略15.甲、乙兩艘船都需要在某個泊位停靠8小時，假設它們在一晝夜的時間段中隨機地到達，則這兩艘船中至少有一艘在停靠泊位時必須等待的概率是_____________

參考答案：

16.若實數滿足，則的最小值為_______.參考答案：【知識點】點到直線的距離公式.H218

解析：因為表示的幾何意義是區域的點到的距離的平方，所以最小值為到直線的距離的平方，即，故答案為18.【思路點撥】先找出表示的幾何意義是區域的點到的距離的平方，進而求出其最小值即可。17.已知數列{an}的前n項和為Sn，且，a2=5，則S6=

．參考答案：722【考點】數列遞推式；數列的求和．【分析】=，可得an+1+1=3（an+1），利用等比數列的通項公式與求和公式即可得出．【解答】解：∵=，∴an+1+1=3（an+1），∴5+1=3（a1+1），解得a1=1．∴數列{an+1}是等比數列，公比為3，首項為2．∴an+1=2×3n﹣1，解得an=2×3n﹣1﹣1，則S6=﹣6=722．故答案為：722．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某中學為研究學生的身體素質與課外體育鍛煉時間的關系，對該校200名學生的課外體育鍛煉平均每天運動的時間（單位：分鐘）進行調查，將收集的數據分成六組，并作出頻率分布直方圖（如圖），將日均課外體育鍛煉時間不低于40分鐘的學生評價為“課外體育達標”.(1)請根據直方圖中的數據填寫下面的列聯表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“課外體育達標”與性別有關？（2）在[0，10），[40，50）這兩組中采取分層抽樣，抽取6人，再從這6名學生中隨機抽取2人參加體育知識問卷調查，求這2人中一人來自“課外體育達標”和一人來自“課外體育不達標”的概率．附加公式：K2=

P(k2≥k0)0.150.050.0250.010.0050.001k02.0723.4815.0246.6357.87910.828

課外體育不達標課外體育達標合計男60

女

110合計

參考答案：（1）由題意得“課外體育達標”人數：，則不達標人數為150，∴列聯表如下：

課外體育不達標課外體育達標合計男603090女9020110合計15050200∴∴在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下沒有沒有理由（或不能）認為“課外體育達標”與性別有關（2）由題意在[0，10），[40，50）分別有20人，40人，則采取分層抽樣在[0，10）抽取的人數為：人，在[40，50）抽取的人數為：人，[0，10）抽取的人為，在[40，50）抽取的人為，從這6任中隨機抽取2人的情況為：共15種，2人中一人來自“課外體育達標”和一人來自“課外體育不達標”共有：共8種，19.（12分）設同時滿足條件：①；②bn≤M（n∈N+，M是與n無關的常數）的無窮數列{bn}叫“嘉文”數列．已知數列{an}的前n項和Sn滿足：（a為常數，且a≠0，a≠1）．（1）求{an}的通項公式；（2）設，若數列{bn}為等比數列，求a的值，并證明此時為“嘉文”數列．參考答案：【考點】：數列遞推式；等比數列的性質．【專題】：綜合題．【分析】：（1）當n≥2時，，從而可得{an}以a為首項，a為公比的等比數列，由此可求{an}的通項公式；（2）確定數列{bn}的通項，利用{bn}為等比數列，可求a的值；驗證“嘉文”數列的兩個條件，即可證得．解：（1）因為，所以a1=a當n≥2時，，即{an}以a為首項，a為公比的等比數列．∴；

…（4分）（2）由（1）知，，若{bn}為等比數列，則有，而b1=3，，故，解得…（7分）再將代入得：，其為等比數列，所以成立…（8分）由于①…（10分）（或做差更簡單：因為，所以也成立）②，故存在；所以符合①②，故為“嘉文”數列…（12分）【點評】：本題考查等比數列的定義與通項，考查新定義，解題的關鍵是理解新定義，正確運用新定義，屬于中檔題．20.某商場為吸引顧客消費推出一項優惠活動．活動規則如下：消費額每滿100元可轉動如圖所示的轉盤一次，并獲得相應金額的返券，假定指針等可能地停在任一位置．若指針停在A區域返券60元；停在B區域返券30元；停在C區域不返券．例如：消費218元，可轉動轉盤2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和．（Ⅰ）若某位顧客消費128元，求返券金額不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顧客恰好消費280元，并按規則參與了活動，他獲得返券的金額記為X（元）．求隨機變量X的分布列和數學期望．參考答案：【考點】C5：互斥事件的概率加法公式；CG：離散型隨機變量及其分布列．【分析】（Ⅰ）返券金額不低于30元包括指針停在A區域和停在B區域，而指針停在哪個區域的事件是互斥的，先根據幾何概型做出停在各個區域的概率，再用互斥事件的概率公式得到結果．（Ⅱ）若某位顧客恰好消費280元，該顧客可轉動轉盤2次．隨機變量X的可能值為0，30，60，90，120．做出各種情況的概率，寫出分布列，算出期望．【解答】解：設指針落在A，B，C區域分別記為事件A，B，C．則．（Ⅰ）若返券金額不低于30元，則指針落在A或B區域．∴即消費128元的顧客，返券金額不低于30元的概率是．（Ⅱ）由題意得，該顧客可轉動轉盤2次．隨機變量X的可能值為0，30，60，90，120．；；；；．所以，隨機變量X的分布列為：X0306090120P其數學期望21.

(本小題滿分16分)已知橢圓的兩個焦點分別為，，點與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點的直線與橢圓相交于，兩點,設點，記直線，的斜率分別為，，求證：為定值.參考答案：解:（Ⅰ）依題意，由已知得

，，由已知易得,解得.

…3分

則橢圓的方程為.

………………4分(II)①當直線的斜率不存在時，由解得.設，，則為定值.………6分②當直線的斜率存在時，設直線的方程為：.將代入整理化簡，得.…7分依題意，直線與橢圓必相交于兩點，設，，則，.

……9分又，，所以

………10分

.…….………………15分綜上得為常數2.

.…….………………16分22.已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線。(1)求橢圓的方程；(2)過點的動直線交橢圓于A、B兩點，試問：在直角坐標平面上是