專題13三角函數的綜合應用十年大數據*全景展示年份題號考點考查內容2013卷1理16文16三角函數最值與值域主要考查逆用兩角和與差公式、誘導公式、及簡單三角函數的最值問題2014卷1理6三角函數的實際應用主要考查利用三角函數的應用及三角公式卷2理14文14三角函數最值與值域主要考查三角公式及三角函數最值卷2理16文12三角函數的實際應用主要考查圓的相關知識、正弦定理等基礎知識2016卷1理12三角函數圖象與性質的綜合應用主要考查三角函數的零點、對稱性、單調性及最值，考查運算求解能力．卷2理7三角函數圖象與性質的綜合應用主要考查三角函數圖像的平移變換與三角函數得到對稱軸．卷2文11三角函數最值與值域主要考查誘導公式、二倍角余弦公式、換元法求最值2017卷2理14三角函數最值與值域主要考查同角三角函數基本關系、三角函數圖像與性質、換元法求最值．卷2文13三角函數最值與值域主要考查輔助角公式及三角函數的最值．卷3文6三角函數最值與值域主要考查誘導公式與三角函數的最值，考查轉化與化歸思想．2018卷1理16三角函數最值與值域主要考查三角函數的二倍角公式、三角函數的圖像與性質、利用導數研究函數的單調性、極值與最值．卷1文8三角函數圖象與性質的綜合應用主要考查降冪公式、三角函數的周期與最大值，考查轉化與化歸思想與運算求解能力2019卷1理11三角函數圖象與性質的綜合應用主要考查三角函數的奇偶性、單調性、零點、最值等問題．大數據分析*預測高考考點出現頻率2021年預測三角函數最值與值域7/132021年仍將重點考查三角函數圖像與性質的綜合應用及三角函數的最值與值域問題，題型仍為選擇題或填空題，難度為中檔題或壓軸題．三角函數圖象與性質的綜合應用4/13三角函數的實際應用2/13十年試題分類*探求規律考點42三角函數最值與值域1．(2016全國新課標卷2，文11)函數SKIPIF1<0的最大值為()(A)4 (B)5 (C)6 (D)7【答案】B【解析】因為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值5，選B．2．(2017新課標卷3，文6)函數f(x)=SKIPIF1<0sin(x+SKIPIF1<0)+cos(x?SKIPIF1<0)的最大值為A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，函數的最大值為SKIPIF1<0，故選A．3．(2012山東)函數的最大值與最小值之和為A．B．0C．－1D．【答案】A【解析】故選8．4．(2018?新課標Ⅰ，理16)已知函數SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是．【答案】SKIPIF1<0【解析】由題意可得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一個周期，故只需考慮SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的值域，先來求該函數在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的極值點，求導數可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，可得此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的變化情況如下表所示：SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0+0—0—0+SKIPIF1<00↗極大值SKIPIF1<0↘↘極小值SKIPIF1<0↗0SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．5．(2017新課標卷2，文13)．函數SKIPIF1<0的最大值為．【答案】SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．6．(2017新課標卷2，理14)．函數SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)的最大值是．【答案】1【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，函數取得最大值1．7．(2014新課標Ⅱ，理14)函數SKIPIF1<0的最大值為_________．【答案】1【解析】∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的最大值為18．(2013新課標Ⅰ，理15)設當x=θ時，函數f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，則cosθ=______【答案】SKIPIF1<0【解析】∵SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0=SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取最大值，此時SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．9．(2013江西)設SKIPIF1<0，若對任意實數SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是．【答案】【解析】得故．10．(2019浙江18)設函數SKIPIF1<0．(1)已知SKIPIF1<0函數SKIPIF1<0是偶函數，求SKIPIF1<0的值；(2)求函數SKIPIF1<0的值域．【解析】(1)因為SKIPIF1<0是偶函數，所以，對任意實數x都有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因此，函數的值域是SKIPIF1<0．考點43三角函數圖象與性質的綜合應用1．(2019?新課標Ⅰ，理11)關于函數SKIPIF1<0有下述四個結論：①SKIPIF1<0是偶函數②SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調遞增③SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有4個零點④SKIPIF1<0的最大值為2其中所有正確結論的編號是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③【答案】C【解析】∵SKIPIF1<0，∴函數SKIPIF1<0是偶函數，故①正確；當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為減函數，故②錯誤；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是偶函數，得在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上還有一個零點SKIPIF1<0，即函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有3個零點，故③錯誤，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值2，故④正確，故正確是①④，故選SKIPIF1<0．2．(2018?新課標Ⅰ，文8)已知函數SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，最大值為3 B．SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，最大值為4 C．SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，最大值為3 D．SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，最大值為4【答案】B【解析】函數SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故函數的最小正周期為SKIPIF1<0，函數的最大值為SKIPIF1<0，故選SKIPIF1<0．3．(2016新課標卷1，理12)12．已知函數SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的零點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0圖像的對稱軸，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調，則SKIPIF1<0的最大值為()(A)11

(B)9

(C)7

(D)5【答案】B．【解析】當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0不單調，故A錯；當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調，故選B．4．(2016?新課標Ⅱ，理7)若將函數SKIPIF1<0的圖象向左平移SKIPIF1<0個單位長度，則平移后的圖象的對稱軸為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】將函數SKIPIF1<0的圖象向左平移SKIPIF1<0個單位長度，得到SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即平移后的圖象的對稱軸方程為SKIPIF1<0，故選SKIPIF1<0．5．(2016山東)函數SKIPIF1<0的最小正周期是A．SKIPIF1<0 B．π C．SKIPIF1<0 D．2π【答案】B【解析】由題意得SKIPIF1<0，故該函數的最小正周期SKIPIF1<0．故選B．6．(2014安徽)若將函數SKIPIF1<0的圖象向右平移SKIPIF1<0個單位，所得圖象關于SKIPIF1<0軸對稱，則SKIPIF1<0的最小正值是A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0，將函數SKIPIF1<0的圖象向右平移SKIPIF1<0個單位得SKIPIF1<0，由該函數為偶函數可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小正值是為SKIPIF1<0．7．(2014福建)將函數SKIPIF1<0的圖象向左平移SKIPIF1<0個單位，得到函數SKIPIF1<0的函數圖象，則下列說法正確的是A．SKIPIF1<0是奇函數B．SKIPIF1<0的周期是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的圖象關于直線SKIPIF1<0對稱D．SKIPIF1<0的圖象關于點SKIPIF1<0【答案】D【解析】函數SKIPIF1<0的圖象向左平移SKIPIF1<0個單位，得到函數SKIPIF1<0的圖象，SKIPIF1<0為偶函數，排除A；SKIPIF1<0的周期為SKIPIF1<0，排除B；因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不關于直線SKIPIF1<0對稱，排除C；故選D．8．(2014遼寧)將函數SKIPIF1<0的圖象向右平移SKIPIF1<0個單位長度，所得圖象對應的函數A．在區間SKIPIF1<0上單調遞減B．在區間SKIPIF1<0上單調遞增C．在區間SKIPIF1<0上單調遞減D．在區間SKIPIF1<0上單調遞增【答案】B【解析】將SKIPIF1<0的圖象向有右移SKIPIF1<0個單位長度后得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的圖象，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即函數SKIPIF1<0的單調遞增區間為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0．可得SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上單調遞增，故選B．9．(2013山東)將函數的圖像沿軸向左平移個單位后，得到一個偶函數的圖像，則的一個可能取值為A．B．C．0D．【答案】B【解析】將函數y=sin(2SKIPIF1<0+)的圖像沿x軸向左平移個單位，得到函數，因為此時函數為偶函數，所以，即，所以選B．10．(2018北京)在平面直角坐標系中，記SKIPIF1<0為點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0變化時，SKIPIF1<0的最大值為A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】由題意可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值3，故選C．11．(2016年浙江)設函數SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小正周期A．與b有關，且與c有關B．與b有關，但與c無關C．與b無關，且與c無關D．與b無關，但與c有關【答案】B【解析】由于SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最小正周期SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的變化會引起SKIPIF1<0的圖象的上下平移，不會影響其最小正周期．故選B．12．(2015浙江)函數SKIPIF1<0的最小正周期是________，單調遞減區間是_______．【答案】SKIPIF1<0、()【解析】，故最小正周期為，單調遞減區間為()．13．(2014山東)函數SKIPIF1<0的最小正周期為．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，所以其最小正周期為SKIPIF1<0．14．(2014安徽)若將函數的圖象向右平移個單位，所得圖象關于軸對稱，則的最小正值是________．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0．15．(2016年浙江)已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=__，SKIPIF1<0=__．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<016．(2014陜西)設SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_______．【答案】SKIPIF1<0【解析】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．17．(2017江蘇)已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)記SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值和最小值以及對應的SKIPIF1<0的值．【解析】(1)因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0矛盾，故SKIPIF1<0．于是SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．(2)SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．于是，當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取到最大值3；當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取到最小值SKIPIF1<0．18．(2017山東)設函數SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0．(Ⅰ)求SKIPIF1<0；(Ⅱ)將函數SKIPIF1<0的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，再將得到的圖象向左平移SKIPIF1<0個單位，得到函數SKIPIF1<0的圖象，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值．【解析】(Ⅰ)因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由題設知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．(Ⅱ)由(Ⅰ)得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0．19．(2016年天津)已知函數SKIPIF1<0．(Ⅰ)求SKIPIF1<0的定義域與最小正周期；(Ⅱ)討論SKIPIF1<0在區間[SKIPIF1<0]上的單調性．【解析】(Ⅰ)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的最小正周期SKIPIF1<0．SKIPIF1<0令SKIPIF1<0函數SKIPIF1<0的單調遞增區間是SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0設SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0．所以，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上單調遞增，在區間SKIPIF1<0上單調遞減．20．(2015北京)已知函數SKIPIF1<0．(Ⅰ)求SKIPIF1<0的最小正周期；(Ⅱ)求SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上的最小值．【解析】(Ⅰ)因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的最小正周期為2SKIPIF1<0．(Ⅱ)因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值．所以SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上的最小值為SKIPIF1<0．21．(2015湖北)某同學用“五點法”畫函數SKIPIF1<0在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<005SKIPIF1<00(Ⅰ)請將上表數據補充完整，并直接寫出函數SKIPIF1<0的解析式；(Ⅱ)將SKIPIF1<0圖象上所有點向左平行移動SKIPIF1<0SKIPIF1<0個單位長度，得到SKIPIF1<0的圖象．若SKIPIF1<0圖象的一個對稱中心為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．【解析】(Ⅰ)根據表中已知數據，解得SKIPIF1<0．數據補全如下表：SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0050SKIPIF1<00且函數表達式為SKIPIF1<0．(Ⅱ)由(Ⅰ)知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0的對稱中心為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由于函數SKIPIF1<0的圖象關于點SKIPIF1<0成中心對稱，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0可知，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0．22．(2014福建)已知函數SKIPIF1<0．(Ⅰ)求SKIPIF1<0的值；(Ⅱ)求函數SKIPIF1<0的最小正周期及單調遞增區間．【解析】解法一：(Ⅰ)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(Ⅱ)因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的單調遞增區間為SKIPIF1<0．解法二：因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(Ⅰ)SKIPIF1<0．(Ⅱ)SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的單調遞增區間為SKIPIF1<0．23．(2014福建)已知函數SKIPIF1<0．(Ⅰ)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(Ⅱ)求函數SKIPIF1<0的最小正周期及單調遞增區間．【解析】解法一：(Ⅰ)因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．(Ⅱ)因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的單調遞增區間為SKIPIF1<0．解法二：SKIPIF1<0SKIPIF1<0(Ⅰ)因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0從而SKIPIF1<0(Ⅱ)SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的單調遞增區間為SKIPIF1<0．24．(2014北京)函數SKIPIF1<0的部分圖象如圖所示．(Ⅰ)寫出SKIPIF1<0的最小正周期及圖中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值；(Ⅱ)求SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上的最大值和最小值．【解析】：(I)SKIPIF1<0的最小正周期為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(II)因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，于是當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值0；當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0．25．(2014天津)已知函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(Ⅰ)求SKIPIF1<0的最小正周期；(Ⅱ)求SKIPIF1<0在閉區間SKIPIF1<0上的最大值和最小值．【解析】(Ⅰ)由已知，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小正周期SKIPIF1<0．(Ⅱ)∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的圖像知，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴函數SKIPIF1<0在閉區間SKIPIF1<0上的最大值為SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0．26．(2014重慶)已知函數的圖像關于直線對稱，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為．(I)求和的值；(II)若，求的值．【解析】：(I)因SKIPIF1<0的圖象上相鄰兩個最高點的距離為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小正周期SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．又因SKIPIF1<0的圖象關于直線SKIPIF1<0對稱，所以SKIPIF1<0因SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．(=2\*ROMANII)由(=1\*ROMANI)得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．27．(2013山東)設函數，且的圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求在區間上的最大值和最小值．【解析】(1)SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0sin2ωx－sinωxcosωx＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0cos2ωx－SKIPIF1<0sin2ωx＝SKIPIF1<0．因為圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為SKIPIF1<0，又ω＞0，所以SKIPIF1<0．因此ω＝1．(2)由(1)知SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．當π≤x≤SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，因此－1≤SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上的最大值和最小值分別為SKIPIF1<0，－1．28．(2013天津)已知函數．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求f(x)在區間上的最大值和最小值．【解析】(1)SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0sin2x·SKIPIF1<0＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0的最小正周期T＝SKIPIF1<0＝π．(2)因為SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上是增函數，在區間SKIPIF1<0上是減函數．又f(0)＝－2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故函數SKIPIF1<0在區間SKIPIF1<0上的最大值為SKIPIF1<0，最小值為－2．29．(2013湖南)已知函數SKIPIF1<0(1)求的值；(2)求使成立的x的取值集合．【解析】(1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0．(2)由(1)知，SKIPIF1<0SKIPIF1<030．(2012安徽)設函數SKIPIF1<0(=1\*ROMANI)求函數SKIPIF1<0的最小正周期；(=2\*ROMANII)設函數SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，且當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的解析式．【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0．(=1\*ROMANI)函數SKIPIF1<0的最小正周期SKIPIF1<0．(Ⅱ)當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得：函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的解析式為SKIPIF1<0．31．(2012陜西)函數()的最大值為3，其圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為．(1)求函數的解析式；(2)設，則，求的值．【解析】(Ⅰ)∵函數SKIPIF1<0的最大值是3，∴，即．∵函數圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，∴最小正周期，∴．故函數SKIPIF1<0的解析式為．(Ⅱ)∵，即，∵，∴，∴，故．32．(2015山東)設SKIPIF1<0．(Ⅰ)求SKIPIF1<0的單調區間；(Ⅱ)在銳角△SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，的對邊分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求△SKIPIF1<0面積的最大值．【解析】(Ⅰ)由題意SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，可得SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)；由SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，得SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)；所以SKIPIF1<0的單調遞增區間是SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)；單調遞減區間是SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)．(Ⅱ)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意SKIPIF1<0是銳角，所以SKIPIF1<0．由余弦定理：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且當SKIPIF1<0時成立．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0面積最大值為SKIPIF1<0．33．(2013福建)已知函數的周期為，圖像的一個對稱中心為，將函數圖像上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，在將所得圖像向右平移個單位長度后得到函數的圖像．(1)求函數與的解析式；(2)是否存在，使得按照某種順序成等差數列？若存在，請確定的個數；若不存在，說明理由．(3)求實數與正整數，使得在內恰有2013個零點．【解析】(Ⅰ)由函數的周期為，，得又曲線的一個對稱中心為，故，得，所以將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍(縱坐標不變)后可得的圖象，再將的圖象向右平移個單位長度后得到函數(Ⅱ)當時，，，所以．問題轉化為方程在內是否有解設，則因為，所以，在內單調遞增又，且函數的圖象連續不斷，故可知函數在內存在唯一零點，即存在唯一的滿足題意．(Ⅲ)依題意，，令當，即時，，從而不是方程的解，所以方程等價于關于的方程，現研究時方程解的情況令，則問題轉化為研究直線與曲線在的交點情況，令，得或．當變化時，和變化情況如下表當且趨近于時，趨向于當且趨近于時，趨向于當且趨近于時，趨向于當且趨近于時，趨向于故當時，直線與曲線在內有無交點，在內有個交點；當時，直線與曲線在內有個交點，在內無交點；當時，直線與曲線在內有個交點，在內有個交點由函數的周期性，可知當時，直線與曲線在內總有偶數個交點，從而不存在正整數，使得直線與曲線在內恰有個交點；當時，直線與曲線在內有個交點，由周期性，，所以綜上，當，時，函數在內恰有個零點考點44三角函數的實際應用1．(2014新課標Ⅰ，理6)如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角SKIPIF1<0的始邊為射線SKIPIF1<0，終邊為射線SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0的垂線，垂足為SKIPIF1<0，將點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離表示為SKIPIF1<0的函數SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0在[0，SKIPIF1<0]上的圖像大致為()【答案】B【解析】如圖：過M作MD⊥OP于Ｄ，則PM=SKIPIF1<0，OM=SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，MD=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，選B．2．(2015陜西)如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數SKIPIF1<0，據此函數可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為A．5B．6C．8D．10【答案】C【解析】由圖象知：，因為，所以，解得：，所以這段時間水深的最大值是，故選C．3．(2014新課標Ⅱ，理16)設點M(SKIPIF1<0，1)，若在圓O：SKIPIF1<0上存在點N，使得∠OMN=45°，則SKIPIF1<0的取值范圍是________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由圖可知點SKIPIF1<0所在直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，又SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解之：SKIPIF1<04．(2014湖北)某實驗室一天的溫度(單位：℃)隨時間t(單位：h)的變化近似滿足函數關系：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(Ⅰ)求實驗室這一天上午8時的溫度；(Ⅱ)求實驗室這一天的最大溫差．【解析】(Ⅰ)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故實驗室上午8時的溫度為10℃．(Ⅱ)因為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．于是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上取得最大值12，取得最小值8．故實驗室這一天最高溫度為12℃，最低溫度為8℃，最大溫差為4℃．5．(2018江蘇)某農場有一塊農田，如圖所示，它的邊界由圓SKIPIF1<0的一段圓弧SKIPIF1<0(SKIPIF1<0為此圓弧的中點)和線段SKIPIF1<0構成．已知圓SKIPIF1<0的半徑為40米，點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為50米．現規劃在此農田上修建兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內的地塊形狀為矩形SKIPIF1<0，大棚Ⅱ內的地塊形狀為SKIPIF1<0，要求SKIPIF1<0均在線段SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0均在圓弧上．設SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0．(1)用SKIPIF1<0分別表示矩形SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的面積，并確定SKIPIF1<0的取值范圍；(2)若大棚Ⅰ內種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產值之比為SKIPIF1<0．求當SKIPIF1<0為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產值最大．【解析】(1)連結SKIPIF1<0并延長交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=10．過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則矩形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，分別交圓弧和SKIPIF1<0的延長線于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，才能作出滿足條件的矩形SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．答：矩形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0平方米，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．(2)因為甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產值之比為4∶3，設甲的單位面積的年產值為SKIPIF1<0，乙的單位面積的年產值為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則年總產值為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為增函數；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為減函數，因此，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取到最大值．答：當SKIPIF1<0時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產值最大．6．(2017江蘇)如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對角線SKIPIF1<0的長為10SKIPIF1<0cm，容器Ⅱ的兩底面對角線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長分別為14cm和62cm．分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm．現有一根玻璃棒SKIPIF1<0，其長度為40cm．(容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計)(1)將SKIPIF1<0放在容器Ⅰ中，SKIPIF1<0的一端置于點SKIPIF1<0