第四章彎曲內力§4–1平面彎曲的概念及梁的計算簡圖§4–2梁的剪力和彎矩§4–3剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖§4–4剪力、彎矩與分布荷載集度間的關系及應用§4–5按疊加原理作彎矩圖§4–6平面剛架和曲桿的內力圖彎曲內力習題課第四章彎曲內力§4–1平面彎曲的概念及梁的計算簡圖第四章彎曲內力一、彎曲的概念彎曲:桿受垂直于軸線的外力或外力偶矩矢的作用時,軸線變成了曲線，這種變形稱為彎曲。梁：以彎曲變形為主的構件通常稱為梁。§4–1平面彎曲的概念及梁的計算簡圖3.工程實例§4–1平面彎曲的概念及梁的計算簡圖§4–1平面彎曲的概念及梁的計算簡圖4.平面彎曲：桿發生彎曲變形后，軸線仍然和外力在同一平面內。對稱彎曲（如下圖）——平面彎曲的特例。縱向對稱面MP1P2q§4–1平面彎曲的概念及梁的計算簡圖非對稱彎曲：若梁不具有縱對稱面，或者梁雖具有縱對稱面但外力并不作用在對稱面內，這種彎曲則統稱為非對稱彎曲。下面幾章中，將以對稱彎曲為主，討論梁的應力和變形計算。§4–1平面彎曲的概念及梁的計算簡圖二、梁的計算簡圖梁的支承條件與載荷情況一般都比較復雜，為了便于分析計算，應進行必要的簡化，抽象出計算簡圖。1.構件本身的簡化通常取梁的軸線來代替梁。2.載荷簡化作用于梁上的載荷（包括支座反力）可簡化為三種類型：集中力、集中力偶和分布載荷。3.支座簡化§4–1平面彎曲的概念及梁的計算簡圖①固定鉸支座2個約束，1個自由度。如：橋梁下的固定支座，止推滾珠軸承等。②可動鉸支座1個約束，2個自由度。如：橋梁下的輥軸支座，滾珠軸承等。§4–1平面彎曲的概念及梁的計算簡圖③固定端3個約束，0個自由度。如：游泳池的跳板支座，木樁下端的支座等。XAYAMA4.梁的三種基本形式①簡支梁M—集中力偶q(x)—分布力②懸臂梁§4–1平面彎曲的概念及梁的計算簡圖③外伸梁—集中力Pq—均布力5.靜定梁與超靜定梁靜定梁：由靜力學方程可求出支反力，如上述三種基本形式的靜定梁。超靜定梁：由靜力學方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。§4–1平面彎曲的概念及梁的計算簡圖§4–2梁的剪力和彎矩第四章彎曲內力一、彎曲內力：[舉例]已知：如圖，P，a，l。求：距A端x處截面上內力。PaPlYAXARBAABB解：①求外力§4–2梁的剪力和彎矩ABPYAXARBmmx②求內力——截面法AYAQMRBPMQ∴彎曲構件內力剪力彎矩1.彎矩：M

構件受彎時，橫截面上其作用面垂直于截面的內力偶矩。CC§4–2梁的剪力和彎矩2.剪力：Q

構件受彎時，橫截面上其作用線平行于截面的內力。3.內力的正負規定:①剪力Q:繞研究對象順時針轉為正剪力；反之為負。②彎矩M：使梁變成凹形的為正彎矩；

使梁變成凸形的為負彎矩。Q(+)Q(–)Q(–)Q(+)M(+)M(+)M(–)M(–)§4–2梁的剪力和彎矩[例2]：求圖（a）所示梁1--1、2--2截面處的內力。xy解：截面法求內力。

1--1截面處截取的分離體

如圖（b）示。圖（a）二、例題qqLab1122qLQ1AM1圖（b）x1§4–2梁的剪力和彎矩2--2截面處截取的分離體如圖（c）xy圖（a）qqLab1122qLQ2BM2x2圖（c）§4–2梁的剪力和彎矩第四章彎曲內力§4–3剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖1.內力方程：內力與截面位置坐標（x）間的函數關系式。2.剪力圖和彎矩圖：)(xQQ=剪力方程)(xMM=彎矩方程)(xQQ=剪力圖的圖線表示)(xMM=彎矩圖的圖線表示§4–3剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖[例3]求下列各圖示梁的內力方程并畫出內力圖。解：①求支反力②寫出內力方程PYOL③根據方程畫內力圖M(x)xQ(x)Q(x)M(x)xxP–PLMO§4–3剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖解：

①寫出內力方程②根據方程畫內力圖LqM(x)xQ(x)Q(x)xM(x)x–qL§4–3剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖解：

①求支反力②內力方程q0RA③根據方程畫內力圖RBLxQ(x)xM(x)§4–3剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖第四章彎曲內力§4–4剪力、彎矩與分布載荷集度的關系一、剪力、彎矩與分布荷載間的關系對dx段進行平衡分析，有：dxxq(x)q(x)M(x)+dM(x)Q(x)+dQ(x)Q(x)M(x)dxAy剪力圖上某點處的切線斜率等于該點處荷載集度的大小。§4–4剪力、彎矩與分布載荷集度的關系q(x)M(x)+dM(x)Q(x)+dQ(x)Q(x)M(x)dxAy彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點處剪力的大小。彎矩與荷載集度的關系是：§4–4剪力、彎矩與分布載荷集度的關系二、剪力、彎矩與外力間的關系外力無外力段均布載荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0Q圖特征M圖特征CPCm水平直線xQQ>0QQ<0x斜直線增函數xQxQ降函數xQCQ1Q2Q1–Q2=P

突變xQC無變化斜直線xM增函數xM降函數曲線xM凸狀xM凹狀折角

自左向右突變與m反xM折向與P反向MxM1M2簡易作圖法:利用內力和外力的關系及特殊點的內力值來作圖的方法。[例4]

用簡易作圖法畫下列各圖示梁的內力圖。解:利用內力和外力的關系及特殊點的內力值來作圖。特殊點:端點、分區點（外力變化點）和駐點等。aaqaqA§4–4剪力、彎矩與分布載荷集度的關系aaqaqA左端點：線形：根據；；及集中載荷點的規律確定。分區點A：M的駐點：右端點：Qxqa2–qa–xM§4–4剪力、彎矩與分布載荷集度的關系[例5]用簡易作圖法畫下列各圖示梁的內力圖。解：求支反力左端點A：B點左：B點右：C點左：M的駐點：C點右：右端點D：qqa2qaRARDQxqa/2qa/2qa/2––+ABCDqa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8–+第四章彎曲內力§4–5按疊加原理作彎矩圖一、疊加原理：

多個載荷同時作用于結構而引起的內力等于每個載荷單獨作用于結構而引起的內力的代數和。適用條件：所求參數（內力、應力、位移）必然與荷載滿足線性關系。即在彈性限度內滿足虎克定律。§4–5按疊加原理作彎矩圖二、材料力學構件小變形、線性范圍內必遵守此原理——疊加方法步驟：①分別作出各項荷載單獨作用下梁的彎矩圖；②將其相應的縱坐標疊加即可（注意：不是圖形的簡單拼湊）。§4–5按疊加原理作彎矩圖[例6]按疊加原理作彎矩圖(AB=2a，力P作用在梁AB的中點處）。qqPP=+AAABBBxM2xM1xM

+++=+

三、對稱性與反對稱性的應用：

對稱結構在對稱載荷作用下，Q圖反對稱，M圖對稱；對稱結構在反對稱載荷作用下，Q圖對稱，M圖反對稱。§4–5按疊加原理作彎矩圖[例7]作下列圖示梁的內力圖。PPLPPLLLLLLL0.5P0.5P0.5P0.5PP0QxQ1xQ2x–0.5P0.5P0.5P–+–PPPLPPLLLLLLL0.5P0.5P0.5P0.5PP0MxM1xM2x0.5PLPL0.5PL–++0.5PL+§4–5按疊加原理作彎矩圖[例8]改內力圖之錯。a2aaqqa2ABQxxM––++qa/4qa/43qa/47qa/4qa2/449qa2/323qa2/25qa2/4[例9]已知Q圖，求外載及M圖（梁上無集中力偶）。Q(kN)x1m1m2m2315kN1kNq=2kN/m+–+M(kN·m)x+111.25–§4–5按疊加原理作彎矩圖第四章彎曲內力§4–6平面剛架內力圖一、平面剛架平面剛架：同一平面內，不同取向的桿件，通過桿端相互剛性連接而組成的結構。特點：剛架各桿的內力有：Q、M、N。2.內力圖規定：彎矩圖：畫在各桿的受拉一側，不注明正、負號。

剪力圖及軸力圖：

可畫在剛架軸線的任一側（通常正值畫在剛架的外側），但須注明正、負號。§4–6平面剛架內力圖[例10]試作圖示剛架的內力圖。P1P2alABC–N圖P2+Q圖P1+P1P1aM圖P1aP1a+P2l§4–6平面剛架內力圖第四章彎曲內力彎曲內力習題課一、內力的直接求法：

求任意截面A上的內力時，以

A

點左側部分為研究對象，內力計算式如下，其中Pi、Pj

均為

A

點左側的所有向上和向下的外力。剪力圖和彎矩圖彎曲內力習題課剪力、彎矩與分布荷載間的關系：q(x)二、簡易作圖法:

利用內力和外力的關系及特殊點的內力值來作圖的方法。彎曲內力習題課三、疊加原理：

多個載荷同時作用于結構而引起的內力等于每個載荷單獨作用于結構而引起的內力的代數和。四、對稱性與反對稱性的應用：

對稱結構在對稱載荷作用下，Q圖反對稱，M圖對稱；對稱結構在反對稱載荷作用下，Q圖對稱，M圖反對稱。彎曲內力習題課二、剪力、彎矩與外力間的關系外力無外力段均布載荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0Q圖特征M圖特征CPCm水平直線xQQ>0QQ<0x斜直線增函數xQxQ降函數xQCQ1Q2Q1–Q2=P

突變xQC無變化斜直線xM增函數xM降函數曲線xM凸狀xM凹狀折角

自左向右突變與m反xM折向與P反向MxM1M2[例1]繪制下列圖示梁的彎矩圖。2PaaP=2PP+xMxM1xM2=+–++2Pa2PaPa(1)彎曲內力習題課(2)aaqqqq=+xM1=xM+–+–xM23qa2/2qa2/2qa