第5章

方差分析第5章

方差分析5.1單因素方差分析5.2雙因素方差分析5.1單因素方差分析【例5.1】(數據文件為li5.1.sav)為研究咖啡因對人體的影響，進行如下的試驗：咖啡因劑量取三個水平：0mg,100mg,200mg。挑選同一年齡，體質大致相同的30名健康的男大學生進行手指叩擊訓練。訓練結束后，對每個水平隨機的選定其中10個人，在服用咖啡因2小時后，請每個人做手指叩擊，記錄下每分鐘叩擊的次數。該試驗進行雙盲試驗，即試驗者和生物學家均不知道他們接受的是哪一種劑量的咖啡因，只有統計人員知道。試驗數據如下表：

表5.1咖啡因試驗數據咖啡因劑量

重復數據0mg242245244248247248242244246242100mg248246245247248250247246243244200mg246248250252248250246248245250（數據來源：費宇等,《統計學》第5章,高等教育出版社,2010）給定顯著性水平

,比較試驗中咖啡因用量是否對人體神經功能有顯著影響？(2)如果有顯著差異，在0.05的顯著性水平下，說明試驗中咖啡因用量在哪些水平上有顯著差異?【統計理論】在一個實驗中，因素A有r個水平

，

，

，

，在每個水平下作了

次實驗。那么，在水平

下的第

次試驗的觀測值為

描述方差分析的統計模型為

其中，

表示觀測指標值的總平均，

表示因素

第

水平上的主效應，

表示隨機誤差；主效應參數

滿足約束條件

研究因素的影響是否顯著可以歸結為比較這

個總體的均值，即檢驗如下假設【統計理論】該假設的檢驗可以通過平方和分解得到。【統計理論】總平方和:組間平方和：組內平方和：三種“

平方和”之間的關系平方和分解：【統計理論】

由于上述幾種平方和的數值受到樣本量和水平數的影響，一種更為科學的方法是將各部分平方和除以相應自由度，其比值稱為均方和，簡稱均方(meansquare，MS)，即

上式中分母的數值為對應平方和的自由度

。【統計理論】

，則拒絕零假設，即認為因素對指標值（或試驗結果）有顯著影響，否則認統計量的數值大于對給定顯著性水平

，沒有顯著影響。為因素為了檢驗

，定義F統計量【統計理論】

將上述主要結果總結成一個表格，稱為方差分析表，可以直觀反映方差分析的計算及檢驗過程。表5.2單因素方差分析表【統計理論】【統計理論】如果

檢驗的結論是拒絕

，則說明因素

的個

水平效應有顯著差異，也就是說

個均值之間有顯著差異。但這僅僅說明在

中至少有兩個存在顯著差異，這時我們還需要對每一對和作一對一的比較，即多重比較。

具體的說就是要比較第

組和第

組平均數，即檢驗

注意到與是等價的。因此

該假設中共有個不同的成對比較。

【統計理論】

多重比較的特點是它同時對多個成對假設進行比較。多種比較的思想有兩種，一是尋找每一個成對假設的檢驗統計量，給出檢驗臨界值，通過比較界定顯著程度；二是使用同時置信區間(simultaneousconfidenceinterval)的概念。

多重比較有許多種方法，使用比較多的包括Fisher的LSD方法，Turkey方法，Bonferroni方法等。【菜單方式】打開數據文件li5.1.sav，選擇“分析”→“比較均值”→“單因素方差分析”,將因變量y選入到“因變量列表”中，將因素KFTJL選入到“因素”中,點擊進入“選項”對話框，

在“統計量”下選擇“方差同質性檢驗”，點擊“繼續”，最后點擊“確定”。(1)這是單因素方差分析問題。表5.3咖啡因用量實驗的方差一致性檢驗表5.4咖啡因用量實驗的方差分析表輸出結果方差齊性檢驗Levene統計量df1df2顯著性.292227.749單因素方差分析平方和df均方F顯著性組間61.400230.7006.181.006組內134.100274.967

總數195.50029【程序方式】ONEWAYCSHBYKFYJL/STATISTICSHOMOGENEITY/MISSINGANALYSIS.【菜單方式】打開數據文件li5.1.sav，選擇“分析”→“比較均值”→“單因素ANOVA”,將因變量y選入到“因變量列表”中，將因素KFTJL選入到“因素”中,(２)這是一個多重比較的問題。

在單因素方差分析的對話框中點擊“兩兩比較”，進入后在“假設方差齊性”下選定，Turkey，LSD和Bonferroni選項，點擊“繼續”，最后點擊“確定”。

【菜單方式】表5.5咖啡因用量實驗的多重比輸出結果多重比較(I)

咖啡因劑量(J)咖啡因劑量均值差

(I-J)標準誤顯著性95%置信區間下限上限TukeyHSD0100-1.60000.99666.261-4.0711.8711200-3.50000*.99666.004-5.9711-1.028910001.60000.99666.261-.87114.0711200-1.90000.99666.156-4.3711.571120003.50000*.99666.0041.02895.97111001.90000.99666.156-.57114.3711LSD0100-1.60000.99666.120-3.6450.4450200-3.50000*.99666.002-5.5450-1.455010001.60000.99666.120-.44503.6450200-1.90000.99666.067-3.9450.145020003.50000*.99666.0021.45505.54501001.90000.99666.067-.14503.9450Bonferroni0100-1.60000.99666.360-4.1439.9439200-3.50000*.99666.005-6.0439-.956110001.60000.99666.360-.94394.1439200-1.90000.99666.202-4.4439.643920003.50000*.99666.005.95616.04391001.90000.99666.202-.64394.4439*.均值差的顯著性水平為

0.05。【程序方式】ONEWAYyBYKFYJL/MISSINGANALYSIS/POSTHOC=TUKEYLSDBONFERRONIALPHA(0.05).5.2雙因素方差分析

5.2.1有可加效應的雙因素方差分析【例5.2】（數據文件為li5.2.sav）有四種品牌(brand)的飲料在五個地區(district)銷售，在每一個地區對每一種品牌的飲料銷售量觀測兩次（上半年一次，下半年一次）得到數據如表5.6所示。在0.05的顯著性水平下，問品牌及地區對飲料的銷售量是否有顯著影響？因素A因素B123451360375356366367380336356375390228330130332531233332435529531033573703083253063303663863173304302312294310288301322340355370表5.6四種飲料品牌在五個地區的銷售數據【統計理論】在一個實驗中，設有A和B兩個因素，因素A有

個水平

，

，

，

，因素B有

個水平

，

，

，

，這樣因素A和B就有

個水平組合。在因素A，B的每一種水平組合下均有

個樣本觀測值(次試驗)，第

個樣本值記為

常數方差

。有可加效應的雙因素方差分析模型其中，表示觀

測指標值的總平均，

表示因素第水平上的主效應，

表示因素第水平上的主效應，

表示隨機誤差。

且

，

。【統計理論】

假設不同水平上觀測數據相互獨立，同一水平中，

n個重復觀測數據也相互獨立，

具有

對雙因素方差模型，將涉及兩個因素主效應的檢驗。因素的顯著性假設為：

而對因素，顯著性假設為【統計理論】

雙因素方差分析與單因素方差分析的統計原理基本相同，上述兩個零假設也可以通過平方和分解進行檢驗。

【統計理論】因素A的平方和：誤差平方和：因素B的平方和：可以證明，各平方和之間滿足：【統計理論】為了給出假設問題和的檢驗過程，

定義如下兩個統計量：

可以證明，當成立時，

當成立時，

【統計理論】時，當對給定的顯著性水平

，拒絕

，即認為因素A對指標值有顯著影響。時，當拒絕

，即認為因素B對指標值有顯著影響。【菜單方式】打開數據文件li5.2.sav，選擇“分析”→“一般線性模型”→“單變量”

，將因變量y選入到“因變量”中，將brand和district兩個因素選入到“固定因子”中

，點擊“模型”，

然后選擇“設定”（這樣是模型中不包括交互效應），在“構建項”中選擇“主效應”，再把brand和district選入“模型”，選擇“在模型中包含截距”，以確定模型中包含常數項，點擊“繼續”，最后點擊“確定”。

表5.7

飲料品牌及銷售數據的方差分析表主體間效應的檢驗因變量:銷售量源III型平方和df均方FSig.校正模型20158.125a72879.7325.6640.000截距4482972.02514482972.0258817.7780.000brand16674.27535558.09210.9320.000district3483.8504870.9631.7130.171誤差16268.85032508.402總計4519399.00040校正的總計36426.97539a.R方

=.553（調整

R方

=.456）【程序方式】UNIANOVAyBYbranddistrict/METHOD=SSTYPE(3)/INTERCEPT=INCLUDE/CRITERIA=ALPHA(0.05)/DESIGN=branddistrict.5.2.2有交互效應的雙因素方差分析【例5.3】(數據文件為li5.3.sav)在例5.2中，問品牌和地區是否存在交互效應？當考慮有交互效應時，雙因素方差分析模型表述為：上式中參數表示交互效應，

它滿足約束條件

，【統計理論】對具有交互效應的雙因素方差模型中效應參數的檢驗，除5.2.1節中的和之外，與因素的交互效應顯著性假設表述為：還涉及交互效應的假設檢驗。因素【統計理論】仿單因素方差分析的方法，各平方和之間滿足【統計理論】因素A的離差平方和因素B的離差平方和因素A和B的離差平方和誤差平方和

對具有交互效應的雙因素方差分析問題，對參數的檢驗分為兩個步驟：

第一步：首先檢驗交互效應，定義檢驗統計量：【統計理論】對給定的顯著性水平

，時，當拒絕

，即認為交互效應顯著。可以證明，當成立時，

。第二步：如果在第一步中交互效應顯著，定義檢驗

和的兩個統計量分別為用類似的方法檢驗因素與因素的主效應是否顯著。【統計理論】如果第一步中交互效應不顯著，則因素與因素的主效應的檢驗采用5.2.1節中可加效應模型的方法檢驗主效應

兩因素方差分析的檢驗過程可以通過雙因素方差分析表反映出來：表5.8

雙因素方差分析表【統計理論】【菜單方式】打開數據文件li5.2.sav，選擇“分析”→“一般線性模型”→