2022年廣東省深圳市市高級中學高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設是虛數單位，，為復數的共軛復數，則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A試題分析：由共軛復數概念可得,則,故選A.考點：共軛復數復數的模2.如果雙曲線的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的離心率為（

）A．

B．

C．2

D．3參考答案：C3.已知則下列函數的圖像錯誤的是……（

）

(A)的圖像

(B)的圖像

(C)的圖像

(D)的圖像參考答案：D因為的圖象是。所以，所以圖象錯誤的是D.選D.4.在△ABC中，的()A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C略5.（）A. B. C. D.參考答案：A【分析】把復數乘積展開，化簡為a+bi（a、b∈R）的形式，可以判斷選項．【詳解】∵（1+3i）（1-i）＝1+3+3i-i＝4+2i故選：A．【點睛】本題考查復數代數形式的運算，是基礎題．6.一個幾何體的三視圖如圖2所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的外接球的表面積為（

）

A.

B.

C.

D.

參考答案：D該幾何體是個如下圖所示的三棱錐D-ABC，外接球的球心為點，F為AC的中點，設,則，解得.所以外接球的半徑為，表面積為.7.已知函數的兩個極值點分別為x1，x2，且x1(0,1)，x2(1,+)，記分別以m，n為橫、縱坐標的點P(m,n)表示的平面區域為D，若函數的圖象上存在區域D內的點，則實數a的取值范圍為

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B8.如圖，圓O：內的正弦曲線與

軸圍成的區域記為（圖中陰影部分），隨機向圓O內投一個點P，則點P落在區域M內的概率是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B9.的零點所在區間為

（

） A．(0，1) B．(-1，0) C．(1，2) D．(-2，-l)參考答案：B略10.若函數在其定義域內有且只有一個零點，則實數的取值范圍為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D試題分析：∵函數在其定義域內有且只有一個零點，∴有且只有一個解，∴在上有且只有一個解，∵，∴或，①當時，作函數與的圖象如下，②時，的解為（成立），③當時，可化為，，且，，故有兩個不同的正根；故實數的取值集合為，故選：D．考點：函數零點的判定定理.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設橢圓C：，F是右焦點，是過點F的一條直線（不與y軸平行），交橢圓于A、B兩點，是AB的中垂線，交橢圓的長軸于一點D，則的值是

參考答案：12.若雙曲線－=1的漸近線與方程為的圓相切，則此雙曲線的離心率為

．參考答案：2雙曲線的一條漸近線方程為，因為與方程為的圓相切，所以，即，又，所以，故13.已知直線的斜率為2，在軸的截距為1，則▲

．參考答案：1略14.命題：“”的否定是________.參考答案：,且15.若展開式的常數項是60，則常數a的值為

．參考答案：416.已知在極坐標系中，圓C的圓心為(6，)，半徑為5，直線＝(≤≤π，∈R)被圓截得的弦長為8，則＝________.參考答案：17.已知=

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）已知點H（－3，0），點P在軸上，點Q在軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足，.（Ⅰ）當點P在軸上移動時，求點M的軌跡C；（Ⅱ）過定點作直線交軌跡C于A、B兩點，E是D點關于坐標原點O的對稱點，求證：；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，是否存在垂直于軸的直線被以AD為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在求出的方程；若不存在，請說明理由.參考答案：解析：（Ⅰ）設,且,

…2分

…3分.

………………4分∴動點M的軌跡C是以O（0，0）為頂點，以（1，0）為焦點的拋物線（除去原點）.…………5分（Ⅱ）解法一：（1）當直線垂直于軸時，根據拋物線的對稱性，有；

……………6分（2）當直線與軸不垂直時，依題意，可設直線的方程為，，則A，B兩點的坐標滿足方程組

消去并整理，得,.

……………7分設直線AE和BE的斜率分別為，則:＝.

…9分,,，.綜合（1）、（2）可知.

…10分解法二：依題意，設直線的方程為，，則A，B兩點的坐標滿足方程組:消去并整理，得,.……………7分設直線AE和BE的斜率分別為，則:＝.

…9分,,，.

……………………10分（Ⅲ）假設存在滿足條件的直線，其方程為，AD的中點為，與AD為直徑的圓相交于點F、G，FG的中點為H，則，點的坐標為.,,

.

…………12分,令，得此時，.∴當，即時，（定值）.∴當時，滿足條件的直線存在，其方程為；當時，滿足條件的直線不存在.

19.（本小題滿分12分）在數列中，已知.（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）求證：數列是等差數列；（Ⅲ)設數列滿足，求的前n項和.參考答案：解：（Ⅰ）∵∴數列｛｝是首項為，公比為的等比數列，∴.…………3分（Ⅱ）∵…………………4分∴.……………

5分∴，公差d=3∴數列是首項，公差的等差數列.…………7分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，（n）∴.………………8分∴，

①于是

②……………9分兩式①-②相減得=.………………………11分

∴.………12分20.二維形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是實數，則（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，當且僅當ad=bc時取等號．（1）證明二維形式的柯西不等式；（2）利用柯西不等式，求函數y=3+的最大值．參考答案：【分析】（1）用作差比較法證明（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2成立．（2）利用柯西不等式求得y=3+=3+2≤=2，可得函數y=3+的最大值．【解答】（1）證明：∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=a2d2﹣2adbc+b2c2=（ad﹣bc）2≥0，∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2成立，當且僅當ad=bc時取得等號．（2）解：y=3+=3+2≤=2，∴函數y=3+的最大值為2．21.（本小題滿分13分）若直線是函數的圖象的一條切線，并且切點橫坐標依次成公差為的等差數列。（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）在中，分別是的對邊．若是函數圖象的一個對稱中心，且，求的最大值。參考答案：本小題主要考查三角函數的化簡、三角函數圖象和性質、三角變換、兩角和差公式和正弦定理等，考查運算求解能力，滿分13分．

（Ⅰ），……3分

由的圖象與直線相切，得．

…………4分

切點橫坐標依次成公差為的等差數列，所以周期,所以…6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，7分