安徽省蕪湖市萃文中學2021年高二數學理聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知等差數列{}的前項和為，且，則(

)A．

B．

C．

D.參考答案：A2.函數最小值是(

)A．-1

B．

C．

D．1

參考答案：B略3.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數．比如：他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，…這樣的數為正方形數．下列數中既是三角形數又是正方形數的是（）A．36 B．45 C．99 D．100參考答案：A【考點】F1：歸納推理．【分析】根據圖形觀察歸納猜想出兩個數列的通項公式，再根據通項公式的特點排除，即可求得結果．【解答】解：由圖形可得三角形數構成的數列通項an=n（n+1），同理可得正方形數構成的數列通項bn=n2，則由bn=n2（n∈N+）可排除B，C，由n（n+1）=100，即n（n+1）=200，無正整數解，故排除D故選A．4.已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1}，則集合A∩B=（）A．{x|﹣2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4} C．{x|﹣2≤x＜﹣1} D．{x|﹣1≤x≤3}參考答案：C【考點】交集及其運算．【分析】由A與B，求出兩集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1}，∴A∩B={x|﹣2≤x＜﹣1}，故選：C．5.已知三棱錐P-ABC中，，AB=3，AC=4，,，則此三棱錐的外接球的內接正方體的體積為A．16

B．28

C．64

D．96參考答案：C6.命題“若，則”是真命題，則下列一定是真命題的是（A）若，則

（B）若，則

（C）若，則

（D）若，則參考答案：C7.已知，，，(

)（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C略8.命題函數的單調增區間是，命題函數的值域為，下列命題是真命題的為（）A．

B.

C.

D.參考答案：B略9.已知復數滿足,則復數的對應點在復平面上的集合是（

）A．線段

B．橢圓

C．雙曲線

D．雙曲線的一支參考答案：D略10.若全集且，則集合A的真子集共有（

）A．3個

B．5個

C．7個

D．8個參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.=

。參考答案：略12.曲線，所圍成的封閉圖形的面積為

.參考答案：試題分析：曲線，的交點為，所求封閉圖形面積為.考點：曲邊梯形面積.13.變量x,

y滿足條件設,則

.參考答案：3314.拋物線y=9x2的焦點坐標為

．參考答案：（0，）【考點】拋物線的簡單性質．【分析】先將方程化成標準形式，即x2=y，p=，即可得到焦點坐標．【解答】解：拋物線y=9x2的方程即x2=y，∴p=，故焦點坐標為（0，），故答案為：（0，）．15.若復數z滿足z＝|z|－3－4i，則＝________.參考答案：略16.拋物線的準線方程是y=﹣1，則拋物線的標準方程是．參考答案：x2=4y【考點】拋物線的簡單性質．【專題】計算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】根據準線方程為y=﹣1，可知拋物線的焦點在y軸的正半軸，再設拋物線的標準形式為x2=2py，根據準線方程求出p的值，代入即可得到答案．【解答】解：由題意可知拋物線的焦點在y軸的正半軸，設拋物線標準方程為：x2=2py（p＞0），∵拋物線的準線方程為y=﹣1，∴=1，∴p=2，∴拋物線的標準方程為：x2=4y．故答案為：x2=4y．【點評】本題主要考查拋物線的標準方程、拋物線的簡單性質．屬基礎題．17.設OA是球O的半徑，M是OA的中點，過M且與OA成45°角的平面截球O的表面得到圓C.若圓C的面積等于則球O的表面積等于__________．

參考答案：8π略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知,,分別為三個內角,,的對邊，.（1）求；（2）若,的面積為，求,.參考答案：（1）（2）試題分析：（1）由正弦定理有，可以求出A；（2）由三角形面積以及余弦定理，可以求出b、c試題解析：（1)由及正弦定理得由于，所以，又，故.(2)的面積,故，而故，解得.

考點：正余弦定理解三角形19.當a≥0時，解關于x的不等式．參考答案：原不等式可化為(x–2)(ax–2)>0，(1)當a=0時，原不等式即為，解得x<2；(2)當a>0時，，①若，即a>1時，解得x<或x>2；②若，即0<a<1時，解得x<2或x>；③若，即a=1時，解得x≠2；

綜上所述，原不等式的解集為：當a=0時，；當0<a<1時，；當a=1時，；當a>1時，．20.隨著環保理念的深入，用建筑鋼材余料創作城市雕塑逐漸流行．如圖是其中一個抽象派雕塑的設計圖．圖中α表示水平地面，線段AB表示的鋼管固定在α上；為了美感，需在焊接時保證：線段AC表示的鋼管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD與AC異面． （1）若收集到的余料長度如下：AC=BD=24（單位長度），AB=7，CD=25，按現在手中的材料，求BD與α應成的角； （2）設計師想在AB，CD中點M，N處再焊接一根連接管，然后掛一個與AC，BD同時平行的平面板裝飾物．但他擔心此設計不一定能實現．請你替他打消疑慮：無論AB，CD多長，焊接角度怎樣，一定存在一個過MN的平面與AC，BD同時平行（即證明向量與，共面，寫出證明過程）； （3）如果事先能收集確定的材料只有AC=BD=24，請替設計師打消另一個疑慮：即MN要準備多長不用視AB，CD長度而定，只與θ有關（θ為設計的BD與α所成的角），寫出MN與θ的關系式，并幫他算出無論如何設計MN都一定夠用的長度． 參考答案：【考點】直線與平面平行的性質；直線與平面平行的判定． 【專題】數形結合；向量法；空間位置關系與距離． 【分析】（1）作出BD在α內的射影，根據勾股定理求出D到平面α的距離，即可求出線面角的大小； （2）使用表示出，即可證明與，共面； （3）對（2）中的結論兩邊平方，得出MN的長度表達式，根據θ的范圍求出MN的最大值． 【解答】解：（1）設D在α上的射影為H，∵AC⊥α，DH⊥α，∴AC∥DH，∴AC，DH共面， ∴過D作DK⊥AC于K，則AHDK為矩形，∴DK=AH． 設DH=h，則（AC﹣h）2+AH2=CD2，① ∵BD⊥AB，AB⊥DH，∴BH⊥AB， ∴AH2=AB2+BH2=AB2+（BD2﹣h2）② 將②代入①，得：（24﹣h）2+72+（242﹣h2）=252，解得h=12， 于是，∴∠DBH=30°，即BD與α所成的是30°． （2）解：∵，， ∴2==． ∴共面． ∴一定存在一個過MN的平面與AC，BD同時平行． （3）由（2）得=， ∴=++=++cos（）=288（1+sinθ）． ∴MN==12．（θ∈[0，））． ∴12≤MN＜24． ∴當MN大于或大于24米時一定夠用． 【點評】本題考查了線面垂直的性質，直線共面的判斷，向量法在幾何中的應用，屬于中檔題． 21.設點P在曲線上，從原點向移動，如果直線OP，曲線及直線所圍成的兩個陰影部分的面積分別記為，，如圖所示.（1）當時，求點P的坐標；（2）當有最小值時，求點P的坐標.參考答案：解：（1）設點P的橫坐標為t（0＜t＜2），則P點的坐標為（t，t2），直線OP的方程為y=tx

S1=∫0t（tx﹣x2）dx=，S2=∫t2（x2﹣tx）dx=，因為S1=S2，，所以，點P的坐標為

（2）S=S1+S2=S′=t2﹣2，令S'=0得t2﹣2=0，