原子物理學第三章量子力學導論AnIntroductiontoQuantumMechanics目錄回顧：玻爾理論的局限性玻爾量子理論打開了認識原子結構的大門,取得成功.但它的局限性和存在的問題也逐漸為人們所認識.玻爾理論將微觀粒子視為經典力學中的質點,把經典力學的規律用于微觀粒子,使其理論中有難以解決的內在矛盾,故有重大缺陷.如：為什么核與電子間的相互作用存在,但處于定態的加速電子不輻射電磁波？電子躍遷時輻射（或吸收）電磁波的根本原因何在？……薛定諤的非難“糟透的躍遷”在兩能級間躍遷的電子處于什么狀態？德布羅意假設(1924)deBroglie,法(1892-1987)獲1929年諾貝爾物理學獎“過去,對光過分強調波性而忽視它的粒性；現在對電子是否存在另一種傾向,即過分強調它的粒性而忽視它的波性.”所有物質粒子均具有波粒二象性,“任何物質伴隨以波,而且不可能將物體的運動同波的傳播分開”.德布羅意關系式：不論粒子靜質量是否為0,德布羅意關系式均成立.第三章量子力學導論5

戴維孫-革末實驗（1927）實驗原理:電子槍KD之間有加速電壓U電子束透過D打在Ni單晶M上它在晶面被散射進入探測器BG檢測電子束(電流)的強度電子束強度0

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25實驗發現:加速電壓U=54V,散射角=50o時,探測器B中的電流有極值.(晶體對電子束的衍射,用于驗證德布羅意波）第三章量子力學導論61.經典物理中的波和粒子§3-2實物粒子的波粒二象性2.光的波粒二象性3.德布羅意假設(1924)4.戴維孫-革末實驗（1927）5.德布羅意波和量子態6.一維剛性盒子中的駐波7.波和非定域性第三章量子力學導論7此前,玻爾據其角動量量子化條件導出氫原子的第一玻爾半徑、能量和動量的量子化結果.以下介紹德布羅意將原子中的定態和駐波聯系起來,自然地得到角動量的量子化條件.5.德布羅意波和量子態電子的波長為將此關系用于氫原子的電子.欲使電子穩定存在,與電子相應的波就必須是一個駐波,即電子繞核一圈后其位相不變.氫原子中的電子相應的駐波示意圖要求圓周長是波長的整數倍l=4第三章量子力學導論8駐波條件德布羅意把原子定態與駐波聯系起來,即把粒子能量量子化和有限空間中駐波頻率分立性聯系起來.只有駐波可被束縛起來；而駐波條件就是角動量量子化條件.例：將玻爾第一速度v=αc代入得到而是折合電子康普頓波長的137倍,即第一玻爾半徑a1故所得的結果滿足駐波條件.第三章量子力學導論9第三章量子力學導論10第三章量子力學導論11第三章量子力學導論12設一個速度為v的粒子在寬為d的剛性盒子中作一維運動,由經典理論知,粒子的動能和周期分別為：6.一維剛性盒子中的駐波用量子觀點分析：此粒子要在盒內永存,其德布羅意波必為駐波,x=0,x=d必為波節.盒子寬至少為半波長.即波長必滿足:dx=0

x=d第三章量子力學導論13結論：1）被束縛粒子的動量和能量均呈量子化.2）只要粒子被束縛在某一空間（or勢阱內）,粒子的最小動能不能為0.（即使在T＝0時）事實上,若EK可為0,則要求△x→∞,這也說明粒子不可能被束縛住.以上內容可歸納為：禁閉的波必然導出量子化條件.所以，原子能級圖中不存在E＝0的能級。第三章量子力學導論147.波和非定域性氫原子實際上是一個德布羅意波被禁閉在庫侖場中的情形.假設電子在庫侖場中是一簡單的正弦波,匣子近似為剛性邊界(V→∞),設匣子的線度是半波長,即粒子處于基態,在此假設下粒子的動能為：以上考慮到匣內一周期的路程與圓周長對應(2d=2πr)總能量為動能和勢能之和：第三章量子力學導論150

r假設的氫原子的波函數實際的波函數實際的勢能函數由得電子最小半徑：進而可得氫原子基態能量：所得結果與玻爾所給的結果相同！第三章量子力學導論16第三章量子力學導論17表述和含義不確定關系的常見形式：§3-3海森堡不確定關系（1927）“動量-位置不確定關系”的含義含義：表示當粒子被限于x方向的一個有限范圍△x內時,它相應的動量分量必有一個不確定的范圍△px.換言之,假如x的位置完全確定(△x→0),則粒子相應的動量就完全不確定(△px→∞),反之亦然.不確定關系揭示了一條重要的規律：粒子在客觀上不能同時具有確定的坐標位置及相應的動量.例:原子的線度約為10-10m,求原子中電子速度的不確定量.解:原子中電子的位置不確定量10-10m=105fm 由不確定關系得電子速度的不確定量為討論氫原子中電子速率約為106m/s.與速率不確定量的數量級基本相同,因此原子中電子的位置和速度不能同時完全確定,也沒有確定的軌道.“能量-時間不確定關系”的含義反映了原子能級寬度△E和原子在該能級的平均壽命△t之間的關系.E壽命△t基態電磁輻射含義：若粒子在能量狀態E只能停留△t時間,則這段時間內粒子的能量狀態并非完全確定,它有一個彌散ΔE≥?/2Δt.當粒子的停留時間無限長時(穩態),其能量才是完全確定的(△E＝0).基態:△t∞;△E0激發態:△t~10-8s;△E~10-8eV“不能同時精確地測量”只是這一客觀規律的一個必然結果.從這個意義上看,“測不準關系”這一名稱不妥.認為不能同時測準粒子的位置坐標x及相應的動量的解釋是不確切的,易誤認為不確定關系是測量過程的一個限制.不確定關系在宏觀世界不能得到直接體現,但它并不為0.對“不確定關系”的進一步理解基態氫原子的電子r1=0.053nm,p=mαc.從不確定關系看,假定電子在r1范圍內運動且位置確定,即Δx=r1,則相應的動量不確定度:可見動量的不確定程度甚大,以致無法確切說明在此范圍內運動的電子動量為多大.1)微觀例子2)宏觀例子一個10g的小球以10cm/s的速度運動,小球的瞬間位置可精確確定,如Δx=10-4cm

(已是很高的精度),則相應的動量不確定度：可見動量的不確定度甚小,目前沒有任何方法可覺察,完全可忽略不計.說明:教材中的此上兩個例子均采用較為粗糙的不確定關系ΔxΔp≥h進行運算，因此所得結果與此有差異(相差1/4π).*2.不確定關系的簡單導出方法一：從經典波動理論導出“波包”

在實驗上,可采取“拍”的方法測一個波的波長.兩列振幅相同頻率不同的波相干涉即形成“拍”.由數學上的富里哀分析知,為得到一個位置確定的孤立波（波包）,須用多個頻率不同的波相疊加.“觀察”一個“拍”

的時間：式（1）表示,要無限精確地測準頻率（△ν→0）就需要無限長的時間(△t→∞).在Δt內波（波速為v）通過的路程為：式（2）表示,要無限精確地測準波長(△λ→0),就需要在無限擴展的空間(△λ→∞)中進行觀察.式（1）、（2）是從經典物理學的概念出發得到的.現將它用于微觀粒子,將其與德布羅意關系相結合,則立刻產生了新的觀念.即得同樣的處理方法,有這樣即得不確定關系的一種表示形式：假如入射電子具有確定的動量p,經過單縫（d=△x）后,即使只考慮中心區(75%的電子落在此區域),也至少有psinθ的動量不確定性,即△px≥psinθ方法二：從經典波的單縫衍射導出0電子束△xxθm=1m=2m=3m=3m=2m=1確定中區位置的關系式：決定中區旁各極小值的關系式：實驗表明,以上關系也適用于與電子對應的德布羅意波.3.應用舉例1)束縛粒子的最小平均動能設質量為m的粒子被束縛在線度為r的范圍內,則據統計規律,對于束縛在空間的粒子,其動量在任何方向的平均分量必定為0,即

,故有：束縛粒子的最小平均動能：與上一節所得結論一致.說明此結論與形式無關,只要粒子束縛在空間（或稱勢阱內）,則粒子的最小動能就不能為0,即粒子不可能落到阱底.2)電子不能落入核內當電子距核的距離越來越近時,將從原子的線度（0.1nm）過渡到原子核的線度（1fm）當電子距核越來越近時電子所需的平均動能將越來越大,但電子無這樣大的能量補充,故而電子不能繼續靠近核,更不可能落入核內.3)譜線的自然寬度光譜線系中,電子在兩能級間躍遷,在初能級上必有一固有壽命（能級壽命會受外界的影響）,即△t不能無限長.按不確定關系,此能級必存在相應的寬度△E,這正是譜線的自然寬度,已由實驗證實.例如：假定原子中某激發態壽命為則不確定關系的應用很多.不確定關系反映的是微觀世界的“精確性”.譜線的自然寬度為要注意能級的壽命常受外界條件影響。4.互補原理(1927,由玻爾提出)一些經典概念的應用不可避免地排除另一些經典概念的應用,而“另一些經典概念”在另一些條件下又是描述現象不可缺少的.必須而且只須將這些互斥又互補的概念匯集起來,才能也定能形成對現象的詳盡無遺的描述.海森堡的不確定關系從數學上表達了物質的波粒二象性.玻爾的互補原理從哲學的角度概括了波粒二象性.玻爾認為：粒子的波粒二象性不可能在同一測量中同時出現,兩個概念在描述微觀現象時是互斥的,不會在同一實驗中直接沖突.二者在描述微觀時都是不可缺少的,它們是互補并協的.

玻爾的例子：在任一時刻我們只能看到銀幣的一面,而只有當銀幣的正、反兩面都被看到后,才可能銀幣有完整的認識.例1

設電子與的子彈均沿x方向運動，精確度為，求測定x

坐標所能達到的最大準確度。電子：子彈：第三章量子力學導論34解：對于數量級為10－14m大小的核，位置的不確定度取為按照不確定關系，動量不確定度為動能約為例題2