河北省石家莊市野草灣中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，已知A(4,0)、B(0,4)，從點P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點，則光線所經(jīng)過的路程是()參考答案：A略2.已知a，b為非零實數(shù)，且a＜b，則下列命題一定成立的是（）參考答案：C3.已知等比數(shù)列的前項和為，若，且滿足，則使的的最大值為（

）（A）6

（B）7

（C）8

（D）9

參考答案：D略4.計算﹣sin133°cos197°﹣cos47°cos73°的結(jié)果為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值．【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式，化簡所給的式子，可得結(jié)果．【解答】解：﹣sin133°cos197°﹣cos47°cos73°=﹣sin47°（﹣cos17°）﹣cos47°sin17°=sin（47°﹣17°）=sin30°=，故選：A．【點評】本題主要考查誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5.已知向量，則與垂直的單位向量的坐標(biāo)是（ ）A、或

B、或

C、

D、參考答案：B略6.下列命題中，真命題是A．

B．C．

D．參考答案：D

7.已知雙曲線的右頂點為A，O為坐標(biāo)原點，以A為圓心的圓與雙曲線C的一條漸近線交于兩點P，Q，若，且，則雙曲線C的離心率為A． B． C． C．參考答案：B8.cos等于（）A．B． C．D．參考答案：C【考點】運用誘導(dǎo)公式化簡求值．【分析】原式利用余弦函數(shù)為偶函數(shù)化簡，將角度變形后利用誘導(dǎo)公式化簡，計算即可得到結(jié)果．【解答】解：cos=cos（3π﹣）=cos（π﹣）=﹣cos=﹣．故選：C．9.如圖是某市10月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)越小表示空氣質(zhì)量越好，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，下列敘述中不正確的是（）A．這14天中有7天空氣質(zhì)量優(yōu)良 B．這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是103 C．從10月11日到10月14日，空氣質(zhì)量越來越好 D．連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大的是10月5日至10月7日參考答案：B解：由圖可知，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，有7天，A正確，空氣質(zhì)量指數(shù)從小到大為：25，37，40，57，79，86，86，121，143，158，160，160，217，220，3月1日至14日空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)為：，B不成立，C，正確，D，正確，偏差最大，故選：B．10.的值等于

A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，是的前項和，若，是方程的兩個根，則

．參考答案：.6312.如圖，在四邊形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°，則BC的長為．參考答案：8【考點】解三角形．【專題】計算題．【分析】設(shè)出BD=x，利用余弦定理建立方程，整理后求得x，進(jìn)而利用正弦定理求得BC．【解答】解：在△ABD中，設(shè)BD=x，則BA2=BD2+AD2﹣2BD?AD?cos∠BDA，即142=x2+102﹣2?10x?cos60°，整理得x2﹣10x﹣96=0，解之得x1=16，x2=﹣6（舍去）．在△BCD中，由正弦定理：=，∴BC=?sin30°=8．故答案為：8【點評】本題主要考查了解三角形的實際應(yīng)用．考查了考查對正弦定理和余弦定理的靈活運用．13.設(shè)則的值等于__

參考答案：14.已知向量與方向相同，，，則___________。參考答案：2.【分析】根據(jù)題干得到，進(jìn)而得到.【詳解】∵，∴，∵與方向相同，且，∴，∴.故答案：2.【點睛】這個題目考查了向量的模長的計算，以及向量共線的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點作與軸垂直的直線，且這條直線與雙曲線的一個交點為，已知，則雙曲線的漸近線方程為____

__

.參考答案：16.已知為第一象限角，，則

．參考答案：,因為，所以1-因為＞0，為第一象限角，所以，所以故答案為：

17.設(shè)函數(shù)=

。參考答案：答案：5三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在中，角所對的邊分別為，且滿足，

．

（I）求的面積；

（II）若，求的值．參考答案：略19.已知數(shù)列中，，前n項和為Sn，且。（1）求a1；（2）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并寫出其通項公式；（3）設(shè)，試問是否存在正整數(shù)p，q(其中1<p<q)，使b1，bp，bq成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組(p，q)；若不存在，說明理由。參考答案：(1)令n=1，則a1=S1==0．

…………2分(2)由，即，

①得

．

②②－①，得

．

③于是，．

④③+④，得，即．

………6分又a1=0，a2=1，a2－a1=1，所以，數(shù)列{an}是以0為首項，1為公差的等差數(shù)列．所以，an=n－1．

………………8分(3)假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)組(p，q)，使b1，bp，bq成等比數(shù)列，則lgb1，lgbp，lgbq成等差數(shù)列，于是，．

…………10分所以，(☆)．易知(p，q)=(2，3)為方程(☆)的一組解．

…………12分當(dāng)p≥3，且p∈N*時，<0，故數(shù)列{}(p≥3)為遞減數(shù)列，于是≤<0，所以此時方程(☆)無正整數(shù)解．……14分綜上，存在唯一正整數(shù)數(shù)對(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比數(shù)列．……………16分20.已知函數(shù)f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－2,0)內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍；參考答案：解：（1）f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a).由f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝a＞0.當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x(－∞，－1)－1(－1，a)a(a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－1)，(a，＋∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(－1，a).

6分（2）由（1）知f(x)在區(qū)間(－2，－1)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(－1,0)內(nèi)單調(diào)遞減，從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(－2,0)內(nèi)恰有兩個零點當(dāng)且僅當(dāng)解得0＜a＜.

所以，a的取值范圍是.

12分21.如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與△CDE所在的平面交于CD， 且AE⊥平面CDE，AE=1． （Ⅰ）求證：CD⊥平面ADE； （Ⅱ）求BE與平面ABCD所成角的余弦值． 參考答案：【考點】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定． 【專題】證明題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離． 【分析】（Ⅰ）由已知得AD⊥CD，AE⊥CD，由此能證明CD⊥面ADE． （Ⅱ）過E作EF⊥AD交AD于F，連BF，則∠EBF為BE與平面ABCD所成的角，由此能求出BE與平面ABCD所成角的余弦值． 【解答】（本小題滿分15分） 證明：（Ⅰ）∵正方形ABCD，∴AD⊥CD，（2分） ∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD，（5分） 又∵AE∩AD=A， ∴CD⊥面ADE．過E作EF⊥AD交AD于F，連BF， ∵CD⊥面ADE，CD⊥EF，CD∩AD=D，（9分） ∴EF⊥平面ABCD， ∴∠EBF為BE與平面ABCD所成的角，（12分） ∵BE=，，∴， ∴． ∴BE與平面ABCD所成角的余弦值為．（15分） 【點評】本題考查線面垂直的證明，考查線面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)