無窮級數無窮級數無窮級數是研究函數的工具表示函數研究性質數值計算數項級數冪級數付氏級數第十二章7/19/20231數項級數一、常數項級數的概念

二、無窮級數的基本性質三、級數收斂的必要條件*四、柯西審斂原理機動目錄上頁下頁返回結束第一節第十二章7/19/20232一、常數項級數的概念

引例1.用圓內接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內接正邊形,這個和逼近于圓的面積A.設a0表示即內接正三角形面積,ak表示邊數增加時增加的面積,則圓內接正機動目錄上頁下頁返回結束7/19/20233引例2.小球從1米高處自由落下,每次跳起的高度減少一半,問小球是否會在某時刻停止運動?說明道理.由自由落體運動方程知則小球運動的時間為(s)設tk

表示第k次小球落地的時間,機動目錄上頁下頁返回結束7/19/20234定義：給定一個數列將各項依即稱上式為無窮級數，其中第n項叫做級數的一般項。級數的前n項和稱為級數的部分和；次相加,簡記為機動目錄上頁下頁返回結束稱為級數的部分和序列。它也有收斂的問題通項7/19/20235當級數收斂時,稱差值為級數的余項.則稱無窮級數發散.顯然機動目錄上頁下頁返回結束收斂

,則稱無窮級數并稱S

為級數的和,記作7/19/20236例1.討論等比級數(又稱幾何級數)(q

稱為公比)的斂散性.解:1)若從而因此級數收斂,從而則部分和因此級數發散.其和為機動目錄上頁下頁返回結束7/19/202372).若因此級數發散;因此n為奇數n為偶數從而綜合1)、2)可知,時,等比級數收斂;時,等比級數發散。則級數成為不存在,因此級數發散.機動目錄上頁下頁返回結束7/19/20238例2.

判別下列級數的斂散性:解:(1)所以級數(1)發散;技巧:利用“分項抵消”求和機動目錄上頁下頁返回結束7/19/20239所以級數(2)收斂,其和為1.機動目錄上頁下頁返回結束7/19/202310

例3.判別級數的斂散性.解:故原級數收斂,其和為機動目錄上頁下頁返回結束7/19/202311二、無窮級數的基本性質性質1.若級數收斂于S,則各項乘以常數c所得級數也收斂,證:令則這說明收斂,其和為cS.

說明:級數各項乘以非零常數后其斂散性不變.即其和為cS.機動目錄上頁下頁返回結束7/19/202312性質2.

設有兩個收斂級數則級數也收斂,其和為證:令則這說明級數也收斂,其和為機動目錄上頁下頁返回結束7/19/202313說明:(2)若兩級數中一個收斂一個發散,則必發散.但若二級數都發散,不一定發散.例如,

(1)性質2表明收斂級數可逐項相加或減.(用反證法可證)機動目錄上頁下頁返回結束皆發散.收斂.7/19/202314性質3.在級數前面加上或去掉有限項,不會影響級數的斂散性.證:

將級數的前k項去掉,的部分和為數斂散性相同.當級數收斂時,其和的關系為類似可證前面加上有限項的情況.極限狀況相同,故新舊兩級所得新級數機動目錄上頁下頁返回結束7/19/202315性質4.

收斂級數加括弧后所成的級數仍收斂于原級數的和.證:設收斂級數若按某一規律加括弧,則新級數的部分和序列為原級數部分和序列的一個子序列,推論:若加括弧后的級數發散,則原級數必發散.注意:收斂級數去括弧后所成的級數不一定收斂.但發散.因此必有例如，用反證法可證例如機動目錄上頁下頁返回結束7/19/202316三、級數收斂的必要條件

定理：設收斂級數則必有證:

可見:若級數的一般項不趨于0,則級數必發散.例如,其一般項為不趨于0,因此這個級數發散.機動目錄上頁下頁返回結束7/19/202317注意:并非級數收斂的充分條件.例如,調和級數雖然但此級數發散.事實上

,假設調和級數收斂于S,則但與題設矛盾!所以假設不真.機動目錄上頁下頁返回結束7/19/202318例4.判斷級數的斂散性:解:考慮加括號后的級數發散,從而原級數發散.機動目錄上頁下頁返回結束調和級數7/19/202319例5.

判斷下列級數的斂散性,若收斂求其和:解:(1)令則故從而這說明級數(1)發散.機動目錄上頁下頁返回結束7/19/202320因進行分項抵消這說明原級數收斂,其和為(2)機動目錄上頁下頁返回結束7/19/202321這說明原級數收斂,其和為3.(3)機動目錄上頁下頁返回結束7/19/202322的充要條件是:*四、柯西審斂原理

定理.有證:設所給級數部分和數列為因為所以,利用數列的柯西審斂原理(第一章第六節)即得本定理的結論.機動目錄上頁下頁返回結束7/19/202323例6.

解:有