概率論與數理統計答案

為了研究隨機現象，需要進行隨機試驗來觀察客觀事物。隨機試驗具有相同條件下可重復進行、每次試驗有多種可能性且可以明確所有可能結果、每次試驗前無法準確預測結果等特點。事件A在給定B已經發生的條件下發生的概率稱為A對B的條件概率，記作P(A|B)，而P(A)則稱為無條件概率。隨機事件（或偶然事件）是在每次試驗中可能發生也可能不發生，但在大量試驗中具有某種規律性的事件。最簡單的隨機事件稱為基本事件，不能分解成其他事件組合。必然事件在每次試驗中一定發生，用符號Ω表示。不可能事件在每次試驗中一定不發生，用符號φ表示。當對隨機變量ξ的每個可能取值x都有另一個隨機變量η的相應取值y=f(x)時，稱η為ξ的函數，記作η=f(ξ)。研究如何根據ξ的分布求出η的分布，或由(ξ1,...,ξn)的分布求出η=f(ξ1,...,ξn)的分布。總體是研究對象的全體，組成總體的每個基本單位稱為個體。抽出若干個體而成的集體稱為樣本，樣本中所含個體的個數稱為樣本容量。抽樣通常有隨機抽樣和分層抽樣兩種方法。若隨機變量ξ的分布函數F(x)可以寫成xF(x)=∫φ(t)dt（-∞,x），其中φ(x)≥0，則稱ξ為連續型隨機變量，稱φ(x)為ξ的概率密度函數，也常寫為ξ~φ(x)。它具有兩個基本性質：1)φ(x)在整個實軸上的積分為1；2)F(x)是x的不減函數。根據分布函數，可以知道ξ在任何一個區間上取值的概率，分布函數具有不減、左連續、至多可列個間斷點等性質。(9)設連續型隨機變量ξ有概率密度φ(x)，若積分∫φ(x)dx在區間(-∞,+∞)絕對收斂，則稱Eξ=xφ(x)dx為ξ的數學期望。(10)數學期望的性質：1)常量的期望等于這個常量本身。2)隨機變量ξ與常量C之和的數學期望等于ξ的期望與C的和。3)常量與隨機變量ξ的乘積的期望等于這個常量與ξ的期望的乘積。4)隨機變量ξ的線性函數aξ+b的數學期望等于a乘以ξ的期望再加上b。5)兩個隨機變量ξ和η之和的數學期望等于ξ的期望加上η的期望。6)兩個相互獨立隨機變量ξ和η的乘積的數學期望等于ξ的期望乘以η的期望。(11)方差的性質：1)常量的方差等于零。2)隨機變量ξ與常量C之和的方差等于ξ的方差本身。3)常量與隨機變量ξ的乘積的方差等于這個常量的平方與ξ的方差的乘積。4)兩個獨立隨機變量ξ和η之和的方差等于ξ的方差加上η的方差。5)任意隨機變量ξ的方差等于ξ的平方的期望減去ξ的期望的平方。(1)一批產品共200個，其中有6個廢品。廢品率為6/200=3%。任取3個恰有1個是廢品的概率為(6/200)×(194/199)×(3/198)×3=0.0343，任取3個全非廢品的概率為(194/200)×(193/199)×(192/198)=0.8574。(2)事件A1表示甲廠產品，A2表示乙廠產品，B表示產品為合格品。有關事件的概率：1)P(A1)=0.7，P(A2)=0.3。2)P(B|A1)=0.95，P(B|A2)=0.8。3)P(Bc|A1)=0.05，P(Bc|A2)=0.2。(3)第一次比賽時取到新球的概率為1，第二次比賽時取到新球的概率為(12-3)/(12-1)=9/11，第三次比賽時取到新球的概率為(9-3)/(9-1)=3/4。所以第3次比賽時取到的3個球都是新球的概率為1×9/11×3/4=27/44。(4)被選到的女同學人數ξ的分布律為：P(ξ=0)=C(17,4)/C(20,4)=0.4545，P(ξ=1)=C(3,1)×C(17,3)/C(20,4)=0.4545，P(ξ=2)=C(3,2)×C(17,2)/C(20,4)=0.0758，P(ξ=3)=C(3,3)×C(17,1)/C(20,4)=0.0152。(5)在區間[a,b]上服從均勻分布的隨機變量ξ的概率密度函數為：φ(x)=1/(b-a)，a≤x≤b。其分布函數為：F(x)=∫φ(t)dt=0，x<a；F(x)=∫aφ(t)dt=(x-a)/(b-a)，a≤x≤b；F(x)=∫φ(t)dt=1，x>b。所以F(x