高考數學第輪總復習全國統編教材數學歸納法及其應用課件-A3演示文稿設計與制作【繼續教育專業】高考數學第1輪總復習全國統編教材12.1數學歸納法及其應用課件-A3演示文稿設計與制作第十二章極限與導數數學歸納法及其應用第講1（第一課時）3考點搜索●歸納法和數學歸納法的含義與作用●數學歸納法的證題步驟，及各步驟的作用高高考猜想1.利用數學歸納法證明數列背景下的有關問題.2.利用“歸納——猜想——證明”探索有關結論.41.從一系列有限的①

得出②—————————的推理方法，叫做歸納法.2.對一個與正整數n有關的命題：第一步：驗證當n取③

時命題成立；第二步：假設當④

時命題成立，證明當⑤

時命題也成立.在完成了這兩個步驟以后，就可以斷定命題對于從⑥

開始的所有正整數n都成立，這種證明方法叫做數學歸納法.特殊事例一般結論第一個值n0

n=k(k∈N*，k≥n0)n=k+1n0

53.數學歸納法需要完成兩個步驟的證明，缺一不可.其中第一步是奠基步驟，是⑦————————的基礎；第二步反映了無限遞推關系，即命題的正確性具有⑧

.若只有第一步，而無第二步，則只是證明了命題在特殊情況下的正確性；若只有第二步，而無第一步，那么假設n=k時命題成立就沒有根據，遞推無法進行.遞推歸納傳遞性6感謝觀看謝謝大家A3演示文稿設計與制作信息技術2.0微能力認證作業中小學教師繼續教育參考資料1.設那么f(n+1)-f(n)等于()D10解：112.凸n邊形有f(n)條對角線，則凸n+1邊形的對角線條數f(n+1)為(

)A.f(n)+n+1

B.f(n)+nC.f(n)+n-1

D.f(n)+n-2解：由n邊形到n+1邊形，增加的對角線是增加的一個頂點與原(n-2)個頂點連成的(n-2)條對角線，及原先的一條邊成了對角線.故選C.C

12題型1

用數學歸納法證明恒等式、不等式1.設n∈N*，求證：證明：(1)當n=1時，左邊=右邊所以等式成立.(2)假設n=k(k∈N*)時等式成立，即13則當n=k+1時，所以當n=k+1時等式也成立.綜合(1)(2)知，對一切正整數n等式都成立.14點評：運用數學歸納法證明恒等式(不等式)的要點是“兩步一結論”，即第一步先驗證初始結論；第二步是先假設n=k時命題成立，再由n=k時的命題作條件，推導n=k+1時結論也成立；一結論是指最后歸納前面兩個步驟，得出原結論是成立的.15所以當n=k+1時，不等式也成立.綜合(1)(2)知，對于一切大于1的自然數,不等式都成立.161718題型2用數學歸納法證明整除性問題2.設a為實常數，n∈N*，證明:an+2+(a+1)2n+1能被a2+a+1整除.證明：(1)當n=1時，a3+(a+1)3=(2a+1)［a2-a(a+1)+(a+1)2］=(2a+1)(a2+a+1).它能被a2+a+1整除，所以n=1時命題成立.(2)假設當n=k時，ak+2+(a+1)2k+1能被a2+a+1整除，則當n=k+1時，ak+3+(a+1)2k+319=a［a

k+2+(a+1)2k+1］+(a+1)2k+3-a(a+1)2k+1=a［ak+2+(a+1)2k+1］+(a2+a+1)(a+1)2k+1.因為ak+2+(a+1)2k+1與a2+a+1都能被a2+a+1整除，所以上面的和也能被a2+a+1整除.即當n=k+1時，ak+3+(a+1)2k+3能被a2+a+1整除.綜合(1)(2)知，命題對任何n∈N*都成立.20點評：用數學歸納法證明整除問題的關鍵是第二步的配湊變形，即把n=k+1的命題形式通過添項配湊成n=k時的結論加除式的倍式的形式.21已知f(n)=(2n+7)·3n+9，是否存在自然數m，使對任意n∈N*，都有m整除f(n)？如果存在，求出最大的m值，并證明你的結論；如果不存在，說明理由.解：由f(1)=36，f(2)=108，f(3)=360，f(4)=1224，猜想f(n)被36整除.證明：(1)當n=1時，猜想顯然成立.(2)假設當n=k時，f(k)能被36整除，即(2k+7)·3k+9能被36整除.則當n=k+1時，22f(k+1)=［2(k+1)+7］·3k+1+9=3［(2k+7)·3k+9］+18(3k-1-1).由假設知3［(2k+7)·3k+9］能被36整除，而3k-1-1是偶數，所以18(3k-1-1)能被36整除，從而f(k+1)能被36整除.綜合(1)(2)知，對任意n∈N*，f(n)能被36整除.由于f(1)=36，故36是整除f(n)的自然數m的最大值.23平面內有n個圓，其中每兩個圓都相交，任何三個圓都無公共點，證明：這n個圓把平面分成n2-n+2個區域.證明：(1)當n=1時，一個圓把平面分成兩個區域，而12-1+2=2，所以命題成立.(2)假設當n=k時命題成立，即k個圓把平面分成k2-k+2個區域.題型用數學歸納法證明幾何命題

參考題24則當n=k+1時，第k+1個圓與原有的k個圓共有2k個交點，這些交點把第k+1個圓分成了2k段弧，其中每段弧都把它所在的區域分成了兩部分，因此共增加了2k個區域.所以這k+1個圓把平面分成k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2個區域，即當n=k+1時命題也成立.綜合(1)(2)知，對任意n∈N*，命題都成立.251.數學歸納法的第一步有時要驗證從n0開始的多個正整數命題成立，這主要取決于從k到k+1的奠基是什么數.如果假設當n=k時命題成立，并要求當k≥m時才能得出n=k+1時命題也成立，則第一步必須驗證從n0到m的各個正整數命題都成立.2.第二步的證明必須運用“歸納假設”作為證明n=k+1時命題成立的條件，否則就不是數學歸納法了.263.“歸納假設”可以是一個式子(等式或不等式)，也可以是一段具有數學意義的數學語言，有時需要對它作適當變通，而不是機械地套用.4.

如果命題是對正奇數(或正偶數)成立，則假設n=k時命題成立后，要證明n=k+2時也命題成立.若第(1)步證明n=1和n=2時命題成立，27第(2)步假設n=k時命題成立，證明n=k+2時命題也成立，則對任何正整數n命題都成立.5.

數學歸納法第二步證