第七章彎曲變形

§1梁的撓度和轉角§2梁的撓曲線近似微分方程§3積分法計算梁的變形§4疊加法計算梁的變形剛度條件§5簡單超靜定梁回顧：彎曲內力——在外力作用下，梁的內力沿軸線的變化規律。彎曲應力——在外力作用下，梁內應力沿橫截面高度的分布規律。

本章:彎曲變形——在外力作用下，梁在空間位置的變化規律。研究彎曲變形的目的1）剛度計算；2）解簡單的超靜定梁。一、撓曲線：

在平面彎曲的情況下，梁變形后的軸線在彎曲平面內成為一條曲線，這條曲線稱為撓曲線。

性質：連續、光滑、彈性、極其平坦的平面曲線。三、轉角：

橫截面繞中性軸轉過的角度。用“”表示。qq二、撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的位移。用“y”表示。撓曲線y=y（x）……撓曲線方程

撓度向下為正；向上為負。θ=θ(x)……轉角方程。

由變形前的橫截面轉到變形后，順時針為正；逆時針為負。四、撓度和轉角的關系

撓曲線為一條平坦的曲線.qqMAB＝MCD＝0MBC＝const答案D五、撓曲線的特征：光滑連續曲線(1)FA＝0,FB＝0MCD＝const答案DABCD光滑連續曲線(2)撓曲線近似微分方程的近似性——忽略了“Fs”以及對變形的影響。

使用條件：彈性范圍內工作的細長梁。結論：撓曲線近似微分方程——

在所設的坐標系內（見圖）：x軸向右為正，y軸向下為正。在正彎矩作用下，梁是下凸的，在此情況下，；在負彎矩作用下，梁是上凸的，。

步驟：（EI為常量）1、根據荷載分段列出彎矩方程M（x）。2、根據彎矩方程列出撓曲線的近似微分方程并進行積分。3、根據彎曲梁變形的邊界條件和連續條件確定積分常數。邊界條件：§7-3用積分法計算梁的變形FalAB連續條件：（1）固定支座處：撓度等于零、轉角等于零。（2）固定鉸支座和可動鉸支座處：撓度等于零。（3）在彎矩方程分段處：一般情況下左、右的兩個截面撓度相等、轉角相等。4、確定撓曲線方程和轉角方程。5、計算任意截面的撓度、轉角；撓度的最大值、轉角的最大值。邊界條件：FalAB連續條件：思考題：列出圖示結構的邊界條件和連續條件。邊界條件：連續條件：邊界條件：連續條件：例：求圖示懸臂梁自由端的撓度及轉角(EI=常數）。解：a)建立坐標系并寫出彎矩方程b)寫出微分方程并積分c)應用位移邊界條件求積分常數x=0,y=0;θ=0d)確定撓曲線、轉角方程e)自由端的撓度及轉角解：a)建立坐標系并寫出

彎矩方程b)寫出微分方程并積分c)應用位移邊界條件求積分常數x=0,y=0;x=L,y=0.

例：求分布載荷簡支的最大撓度和最大轉角(EI=常數）xCql/2ql/2d)確定撓曲線和轉角方程e)最大撓度及最大轉角c)應用位移邊界條件求積分常數x=0,y=0;x=L,y=0.

xCql/2ql/2解：a)建立坐標系并寫出彎矩方程b)寫出微分方程并積分左側段（0≤x1≤a）：右側段（a≤x2≤L）：例：求圖示梁的跨中的撓度和轉角（EI=常數）

FlABC左側段右側段（a≤x2≤L）：c)應用位移邊界條件和連續條件求積分常數x=0,y=0;x=L,y=0.

x1=x2

=a，y1=y2

；y'1

=y'2FlABCe)跨中點撓度及兩端端截面的轉角d)

確定撓曲線和轉角方程兩端支座處的轉角——FlABC討論：1、此梁的最大撓度和最大轉角。

左側段：

右側段：當a＞b時——當a＞b時——最大撓度發生在AC段最大撓度一定在左側段當a＞b時——最大撓度發生在AC段梁跨中的撓度為：

2、a=b時此梁的最大撓度和最大轉角。FlABC

現在來討論跨中撓度和最大撓度之間的誤差。顯然，當F作用點移至跨中時，最大撓度就是跨中撓度，其誤差為零。F作用點越靠近支座B，兩者的誤差就越大。現考慮誤差最大時，即F作用點就在近支座B處，上面式中b→0。b2為高階小量，可忽略不計，兩式為：

FlABC

梁上有分布載荷，集中力與集中力偶。彎矩：彎矩的疊加原理----

梁在幾個載荷共同作用下的彎矩值，等于各載荷單獨作用下的彎矩的代數和。§7-4用疊加法計算梁的變形

一、疊加法計算梁的變形1）梁在簡單載荷作用下撓度、轉角應為已知或有變形表可查；

2）疊加法適用于求梁個別截面的撓度或轉角值。1、前提條件：彈性、小變形。2、疊加原理：各荷載同時作用下，梁任一截面的撓度或轉角，等于各荷載分別單獨作用下同一梁同一截面撓度或轉角的代數和。3、疊加法的特征：

例：疊加法求A截面的轉角和C截

面的撓度.解、a)載荷分解如圖b)由梁的簡單載荷變形表，

查簡單載荷引起的變形。FaABa=FaABa+aABac)疊加FaABa=FaABa+aABa例：求圖示梁C截面的撓度。解：1、載荷分解如圖2、查梁的簡單載荷變形表3、疊加l/2ABl/2+l/2ABl/2=l/2ABl/2例：求圖示梁B截面的撓度（EI已知）。解：1)結構分解如圖2)查梁的簡單載荷變形表3)疊加ABla+ABqala=B例求圖示組合梁C截面的撓度和D截面的轉角。解：1）載荷分解及變形計算將原梁分解成如圖b,c所示。2）求C截面撓度3）求D截面轉角例懸臂梁ABC受力如圖所示。試用疊加法求解：1）載荷分解將原梁設想為由圖所示的b，c，d，e所組成。AB部分受均布載荷q及在B截面受到集中力

和集中力偶的作用，其剛度為2EI。BC部分可看作受均布載荷作用的懸臂梁，其剛度為EI。2）計算

4）計算3）計算

5）計算例：拐桿如圖，A處為一軸承，允許桿在軸承內自由轉動，但不能上下移動，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B截面的垂直位移。分析：B點的垂直位移由：

AB段彎曲和CA桿扭轉而引起。FByB1FBACCMA=FLAByB2F例、用疊加法求圖示等截面直梁A、D、E（BC之中點）點的撓度。解：結構和載荷分解如圖。

E（1）（2）Fq=F/aF（4）FDCa（3）FFaFq=F/a例:用疊加法求AB梁上E處的撓度.

解:1)分解2)位移計算a.B點位移b.E點位移二、梁的剛度條件

校核剛度：

設計截面尺寸三、剛度計算

確定外載荷在土建工程中，一般只對梁的撓度加以控制，控制范圍在內。

在機械工程中，對撓度和轉角都要控制，撓度控制在：轉角控制在：其中[]稱為許用轉角；[δ/L]稱為許用撓跨比。

例懸臂梁AB受力如圖所示。材料的許用應力，彈性模量E=210MPa，梁的許用撓度，試選工字鋼的型號。解（1）按強度條件選擇截面

所需的抗彎截面系數：選用20a號工字鋼，其幾何特性：

（2）剛度校核梁的最大撓度發生在自由端，其值為：

因為，所以剛度不滿足要求。由得選用32a號工字鋼，其幾何特性為：因它均滿足強度條件和剛度條件，故選用32a號工字鋼。

F2ABCDF2ABCDF2Ba

CABL

a

CMF2ABCF1D=++=F2=2KNABL=400mma=0.1mCF1=1KND200mm例：下圖為一空心圓桿，內外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規定C點的[δ]=,B點的[]=0.001弧度,試校核此桿的剛度.利用疊加求復雜載荷下的變形=++圖1圖2圖3F1F2F2F2=2KNABL=400mma=0.1mCF1=1KND200mmABCD2BaCF2ABLaCM校核剛度剛度足夠

由梁在簡單荷載作用下的變形表和前面的變形計算可看出：梁的撓度和轉角除了與梁的支座和荷載有關外還取決于下面三個因素：材料——梁的位移與材料的彈性模量

E成反比；截面——梁的位移與截面的慣性矩

I成反比；跨長——梁的位移與跨長

L的n次冪成正比。三、提高梁剛度的措施1、增大梁的抗彎剛度（EI）

2、調整跨長和改變結構

（同提高梁的強度的措施相同.）3、預加反彎度（預變形與受力時梁的變形方向相反，目的起到一定的抵消作用）

不同類的材料，“E”和“G”都相差很多（鋼E=200GPa,銅E=100GPa）,故可選用不同類的材料以達到提高剛度的目的。但是改換材料，其原料費用也會隨之發生很大的改變！注意：

同類的材料，“E”值相差不多，“”相差較大，故換用同類材料只能提高強度，不能提高剛度。C由平衡方程可以解出全部未知數靜定問題平衡方程數=未知數。§7-5簡單超靜定梁二個平衡方程，三個未知數。平衡方程數<未知數超靜定問題去掉多余約束而成為：

形式上的靜定結構——基本靜定基=CCC靜定問題1、用多余約束反力代替多余約束（取靜定基，原則：便于計算）2、在多余約束處根據變形協調條件列出變形的幾何方程3、把物理條件代入幾何方程列出力的補充方程求出多余反力。

5、計算梁的內力、應力、強度、變形、剛度。解超靜定的步驟——(靜力、幾何、物理條件)4、根據靜力平衡條件，解出超靜定梁的其它所有支座反力。超靜定梁C靜定基=C例：求圖示梁的約束反力，并繪內力圖。

解：一、解除多約束（B處支座）以多余約束RB來代替，基本靜定梁的受力形式見圖a所示。二、建立變形協調方程，求出多余約束反力。先將圖a受力形式分解成單獨荷載下的受力形式（圖b、c）。即：

①

變形協調方程為：其中：

①

代入①中得：

解出：

三、由靜力平衡方程解出其余的約束反力四、繪內力圖

例圖示靜不定梁，等截面梁AC的抗彎剛度EI，拉桿BD的抗拉剛度EA，在F力作用下，試求BD桿的拉力和截面C的撓度。Fl/2l/2ABCDl1、選擇基本靜定梁。解：Fl/2l/2ABC2、列出變形協調條件。解得：3、在基本靜定梁上由疊加法求

。在F力單獨作用下：在力單獨作用下：Fl/2l/2ABC解得：在本例中，在F力作用下，拉桿BD伸長，因而B處下移，B處下移的大小應該等于拉桿的伸長量，即例梁AB和BC在B處鉸接，A、C兩端固定，梁的抗彎剛度均為EI，F=40kN，q=20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。從B處拆開，使超靜定結構變成兩個懸臂梁。變形協調方程為：FBMAFAyB1FBMCFCyB2物理關系解FBFBMAFAMCFCyB1yB2代入得補充方程：確定A端約束力梁的抗彎剛度均為EI，F=40kN，q=20kN/m。FBF′BMAFAMCFCyB1yB2確定