各種分布白噪聲的產生第1頁，課件共26頁，創作于2023年2月2023/7/91方再根，計算機模擬和蒙特卡洛方法，北京工業學院出版社，1988.6WolfgangHormannetal,AutomaticNonuniformRandomVariateGeneration,Springer,2004J.E.Gentle,RandomNumberGenerationandMonteCarloMethods,2ndEd,Springer,2003A.M.Law,SimulationModellingandAnalysis,3rdEd,McGraw-Hill,2000Tezuka,Shu,Uniformrandomnumberstheoryandpractice,KluwerAcademicPublishers,1995Dagpunar,John.,Principlesofrandomvariategeneration,Oxford:ClarendonPr.,1988Devroye,Luc.,Non-uniformrandomvariategeneration,NewYork:Springer-Verlag,c1986上述圖書集中討論不同分布隨機數（白噪聲）的產生，系統而全面。主要參考圖書第2頁，課件共26頁，創作于2023年2月蒙特卡洛方法的實現步驟1、構造或描述概率過程2、實現從已知概率分布抽樣由于各種概率模型都可以看作是由各種各樣的概率分布構成的，因此產生已知概率分布的隨機變量（或隨機向量）就成為實現蒙特卡羅方法模擬實驗的基本手段，這也是蒙特卡羅方法被稱為隨機抽樣的原因。3、建立各種估計量具有各種分布隨機序列的模擬是計算機模擬及系統仿真的基礎，廣泛地應用于雷達、通信、聲吶、機械振動、核物理、自動控制、金融分析、數值計算、貝葉斯統計等許多領域，例如雷達/聲吶回波中的雜波和噪聲的模擬、機械振動噪聲的模擬、隨機測量誤差的模擬等。各種分布白噪聲產生的重要性第3頁，課件共26頁，創作于2023年2月均勻分布白噪聲的產生快速產生統計性質優良的均勻隨機數是計算機模擬的基礎，其他的非均勻分布都可將均勻分布通過非線性變換得到的。物理方法——真隨機數所謂物理方法就是在電子計算機上裝一臺物理隨機數發生器，它是把具有隨機性質的物理過程直接在機器上變換為隨機數字。例如：以放射性物質為隨機源的放射型隨機數發生器、以電子管或晶體的固有噪聲為隨機源的隨機數發生器。主要的物理方法有：放射性物質、電子管或晶體管噪聲、鎖相環噪聲源、量子模型、混沌模型特點：可以在計算機上得到真正的隨機數，但是它帶來了新的問題。由于這種隨機過程是一去不復返的，不能重復出現，因此就無法再用原來的隨機數進行試算、檢查或對比分析，并且對設備要求較高，從而大大降低了這類方法的使用價值。第4頁，課件共26頁，創作于2023年2月2023/7/94數學方法——偽隨機數在計算機上用數學方法產生隨機數，是目前使用較廣，發展較快的一種方法。它利用數學遞推公式來產生隨機數，通常把這樣得到的隨機數稱為偽隨機數。由于這種方法屬于半經驗性質，只能近似地具備隨機性質。但是只要產生偽隨機數的遞推公式選得較好，由此產生的隨機數序列的獨立性是可以近似得到滿足的。而且只要公式的參數選得適當，就可以保證所得到的隨機數循環周期有足夠長。若所使用的隨機數總數不超過偽隨機數序列的循環周期時，使用要求即可得到滿足。理論定量分析結果表明，為保證隨機數學期望的最大容量（對應循環周期）、獨立性及均勻性，遞推公式及其有關參數的正確選擇是極為重要的。均勻分布白噪聲的產生第5頁，課件共26頁，創作于2023年2月2023/7/95數學方法——偽隨機數1、線性同余法(LinearCongruentialGenerators)式中、、均為正整數，初值（亦稱種子數），為乘子

時為乘同余法，時為混合同余法1962年Hull和Dobell給出了混合同余法達到最大周期T=m的充要條件：(ⅰ)c與m互素；(ⅱ)對m的任意素因子p中，有a≡1(modp)(ⅲ)若4是m的因子，則a≡1(mod4)一般采用m=2k混合同余法，則由以上條件可得最大周期發生器為：式中a、b為任意正整數均勻分布白噪聲的產生第6頁，課件共26頁，創作于2023年2月2023/7/96均勻分布白噪聲的產生數學方法——偽隨機數1、線性同余法(LinearCongruentialGenerators)第7頁，課件共26頁，創作于2023年2月2023/7/97均勻分布白噪聲的產生數學方法——偽隨機數1、線性同余法(LinearCongruentialGenerators)均勻分布U[0,1]隨機數的產生：yi=a·yi-1+1(mod231)式中乘子a取前面優選的15種數值中任一個，種子數y0≠0任選。令ri=yi/231，則R就是[0,1]上的均勻分布隨機數。BASIC、C、MATLAB中均有產生均勻分布隨機數的函數可調用：RND()、RAND()、UNIFRND()

2023/7/9哈爾濱工業大學電子工程系8第8頁，課件共26頁，創作于2023年2月均勻分布白噪聲的產生數學方法——偽隨機數2、聯合法（組合發生器）混和同余法實際上是通過同余等運算打亂數列0，1，…，m-1的次序，來達到產生隨機序列的目的。“打亂數列的次使之排列無規則”是設計發生器的一個可依據的原則，基于此產生聯合法：(1)兩個發生器的組合Greenwood在1976年對兩個混合同余法發生器使用組合方法，且兩個發生器的模都簡單地取成2k，使組合后的發生器周期達到2k(2k-1)。

(2)n個發生器的組合Salfi于1974年提出了一個較好的算法。注：組合發生器并非先產生一些序列再將它們組合起來，而是在組合過程中，用到時再產生。基于“打亂次序”原則，也可以用單個發生器產生的隨機數打亂同一發生器的輸出序列，對此Bays和Durham在1976年提出一個算法。

2023/7/9哈爾濱工業大學電子工程系9第9頁，課件共26頁，創作于2023年2月均勻分布白噪聲的產生數學方法——偽隨機數3、反饋位移寄存器法（FSR：FeedbackShiftRegister）實驗表明用同余發生器得到的隨機數構造的隨機向量序列經常有明顯的規律性。1965年Tausworthe提出用模2線性循環產生均勻隨機數的方法。Toothill，Robinson和Adams于1971年給出了FSR發生器的另一種描述方法，適用于編制程序。FSR法的優點在于算法簡單，所產生隨機數與具體的計算機及其字長無關。應用實例：雷達相位編碼信號的產生（偽隨機碼）第10頁，課件共26頁，創作于2023年2月2023/7/910

n級線性移位寄存器的輸出序列是一個周期序列，其最大可能周期是N=2n-1，這樣的序列稱為最大長度序列或M序列，其中1元素比0元素的個數多1，即0、1的個數分為(N-1)/2、(N+1)/2。考慮如上圖所示的三級線性反饋移位寄存器，初始狀態設為111，則輸出M序列為1110010，長度為N=23-1=7。注：線性移位寄存器的初始狀態不能全為零。1級2級3級輸出三級線性反饋移位寄存器模2加法器均勻分布白噪聲的產生數學方法——偽隨機數3、反饋位移寄存器法（FSR：FeedbackShiftRegister）第11頁，課件共26頁，創作于2023年2月2023/7/911均勻分布白噪聲的產生數學方法——偽隨機數3、反饋位移寄存器法（FSR：FeedbackShiftRegister）

n級線性移位寄存器的反饋函數、特征函數可定義為：式中ci=0或1，反饋函數或特征函數完全刻劃了對應的線性移位寄存器的反饋功能。理論上，為了產生M序列，設計線性移位寄存器的問題在原則上可歸結為找本原多項式的問題。目前對于n<=168的本原多項式已有表可查。丁石孫，線性移位寄存器序列，上海科學技術出版社，1982第12頁，課件共26頁，創作于2023年2月2023/7/912非均勻分布白噪聲的產生理論方法——以均勻分布隨機數r~U[0,1]為基礎1、反變換法(inversionmethod)

由已知的分布函數r=F(x)反過來求x。用反變換法產生隨機數時，如果F-1(x)沒有解析形式，或者F(x)就沒有解析形式，則可以用F-1(x)的近似公式代替。

以[0,1]均勻分布隨機數r為基礎，所有分布隨機數都可通過計算或近似計算其分布函數的反函數，用反變換法或查表法等方法產生。第13頁，課件共26頁，創作于2023年2月2023/7/913非均勻分布白噪聲的產生理論方法——以均勻分布隨機數r~U[0,1]為基礎2、舍選抽樣法(rejectionmethod)1951年，馮?諾依曼(VonNeuman)提出用舍選抽樣法產生隨機數。但有時此法效率很低，為提高抽樣效率，在此基礎上產生了推廣的舍選抽樣法。該方法直觀圖示如下：

第14頁，課件共26頁，創作于2023年2月2023/7/914非均勻分布白噪聲的產生理論方法——以均勻分布隨機數r~U[0,1]為基礎2、舍選抽樣法(rejectionmethod)該方法計算機實現過程如下：

第15頁，課件共26頁，創作于2023年2月2023/7/915非均勻分布白噪聲的產生理論方法——以均勻分布隨機數r~U[0,1]為基礎3、復合法(compositionmethod)1961年馬薩格里亞(Marsaglia)提出用復合法產生非均勻隨機數。此法相當于先將密度函數曲線下的面積分解為幾個部分，然后以各部分面積值表示的概率去產生相應各部分密度函數的隨機數，即F(x)=∑pi

?Fi(x)4、變換法

利用變換關系從一種分布的隨機數產生另一種分布的隨機數，前述的反變換法是此法特例。

設Y=g(X)，其反函數為X=g-1(Y)=h(Y)，則所得隨機變量Y的概率密度函數為：fY(y)=fX[h(y)]?|h'(y)|式中fX(x)為隨機變量X的概率密度函數，上標撇號表示一階導數。如果取Y=r~U[0,1]，函數g(?)為隨機變量X的概率分布函數F(?)，則函數h(?)=F-1(?)，此即反變換法。

第16頁，課件共26頁，創作于2023年2月非均勻分布白噪聲的產生理論方法——以均勻分布隨機數r~U[0,1]為基礎5、查表法

將連續概率分布以離散分布逼近，則查表法可用來產生連續隨機數。此法優點是計算速度很快，缺點是連續分布函數離散化引入誤差。第17頁，課件共26頁，創作于2023年2月2023/7/917非均勻分布白噪聲的產生常用的連續分布及其產生——假設隨機數r~U[0,1]已產生1、均勻分布U[a,b]—UniformDistribution第18頁，課件共26頁，創作于2023年2月2023/7/918非均勻分布白噪聲的產生常用的連續分布及其產生——假設隨機數r~U[0,1]已產生2、指數分布E(β)–ExponentialDistribution擴展：雙指數分布、超指數分布、截尾指數分布第19頁，課件共26頁，創作于2023年2月2023/7/919非均勻分布白噪聲的產生常用的連續分布及其產生——假設隨機數r~U[0,1]已產生3、正態分布N(μ,σ2)—Normal/GaussianDistribution第20頁，課件共26頁，創作于2023年2月2023/7/920非均勻分布白噪聲的產生常用的連續分布及其產生——假設隨機數r~U[0,1]已產生3、正態分布N(μ,σ2)第21頁，課件共26頁，創作于2023年2月2023/7/9