2021年中考數學總復習《圓》解答題

1.問題探究

(1)如圖①，在矩形A8CZ)中，A8=3,2c=4,如果BC邊上存在點尸，使△APD為

等腰三角形，那么請畫出滿足條件的一個等腰三角形△APD,并求出此時2P的長；

(2)如圖②，在aABC中，NABC=60°，BC=\2,AO是8c邊上的高，E、尸分別

為邊AB、AC的中點，當A￡>=6時，8c邊上存在一點Q,使NEQF=90°,求此時BQ

的長；

問題解決

(3)有一山莊，它的平面圖為如圖③的五邊形A8CDE,山莊保衛人員想在線段CD上

選一點用安裝監控裝置，用來監視邊A8,現只要使NAM8大約為60°,就可以讓監控

裝置的效果達到最佳，已知NA=NE=/O=90°,AB=270m,AE=400m,ED=2S5m,

C￡)=340〃?，問在線段CO上是否存在點M,使/AMB=60°?若存在，請求出符合條件

的。M的長，若不存在，請說明理由.

【分析】(1)由于△鞏。是等腰三角形，底邊不定，需三種情況討論，運用三角形全等、

矩形的性質、勾股定理等知識即可解決問題.

(2)以EF為直徑作。0,易證。。與BC相切，從而得到符合條件的點。唯一，然后

通過添加輔助線，借助于正方形、特殊角的三角函數值等知識即可求出8Q長.

(3)要滿足NAMB=60°,可構造以A8為邊的等邊三角形的外接圓，該圓與線段CZ)

的交點就是滿足條件的點，然后借助于等邊三角形的性質、特殊角的三角函數值等知識，

就可算出符合條件的OW長.

【解答】解：(1)①作AZ)的垂直平分線交BC于點P,如圖①，

則PA=PD.

...△%。是等腰三角形.

?.?四邊形ABC。是矩形，

：.AB=DC,ZB=ZC=90°.

YPA=PD,AB=DC,

：.Rt/\ABP^RtADCP(HL).

：.BP=CP.

；BC=4,

:.BP=CP=2.

②以點。為圓心，AQ為半徑畫弧，交BC于點、P'，如圖①，

則。A=QP'.

AO是等腰三角形.

??,四邊形48co是矩形，

：.AD=BCfAB=DC,ZC=90°.

\'AB=3fBC=4,

ADC=3,DP'=4.

,9=值7=6?

：.BP'=4-5/7.

③點A為圓心，AO為半徑畫弧，交BC于點、P",如圖①，

則A￡>=AP".

...△尸“A力是等腰三角形.

同理可得：BP"=班.

綜上所述：在等腰三角形△A。尸中，

若PA=PD,則BP=2；

若。P=D4,則BP=4-五

若AP=AD,則BP=41-

(2)，：E、F分別為邊AB、AC的中點，

J.EF//BC,EF=』BC.

2

Bc=n,

：.EF=6.

以EF為直徑作。。，過點。作OQLBC,垂足為Q,連接EQ、FQ,如圖②.

'：ADLBC,AD=6,

，EF與8c之間的距離為3.

。。=3

，0Q=0E=3.

.??OO與BC相切，切點為。.

為。。的直徑，

:.NEQF=90°.

過點E作EG_LBC,垂足為G,如圖②.

,：EGA-BC,OQLBC,

：.EG//OQ.

\'EO//GQ,EG//OQ,NEGQ=90°,OE=OQ,

四邊形OEG。是正方形.

：.GQ=EO=3,EG=OQ=3.

VZB=60°,NEGB=90°,EG=3,

；.B2=GQ+BG=3+?.

...當/EQF=90°時，BQ的長為3+J京

(3)在線段CO上存在點M,使/AMB=60°.

理由如下：

以AB為邊，在A8的右側作等邊三角形4BG,

作GPLAB,垂足為P,作A/CLBG,垂足為K.

設GP與AK交于點。，以點。為圓心，OA為半徑作。0,

過點。作垂足為H,如圖③.

則。。是△4BG的外接圓，

?..△ABG是等邊三角形，GPLAB,

：.AP=PB=^AB.

2

：AB=270,

：.AP=\35.

：￡■￡>=285,

???OH=285-135=150.

:△ABG是等邊三角形，AKLBG,

：.ZBAK=ZGAK=30°.

JOP=AP?tan30°

=135X返

3

=45?-

；.OA=2OP=90百

：.OH<OA.

...00與CO相交，設交點為M,連接M4、MB,如圖③.

AZAMB^ZAGB=60°,OM=OA=90?..

'：OH±CD,OH=150,0M=90?,

,',WM=VOM2-OH2

=V(90/3)2-1502

=30亞.

VAE=400,。尸=45?,

：.DH=400-45y.

若點M在點H的左邊，則DM=DH+HM=400-45揚30、/，.

V400-45杼30亞>340,

：.DM>CD.

.,.點M不在線段CD上，應舍去.

若點M在點、H的右邊，則DM=DH-HM=400-4573-3072.

V400-45^3