8.4光子氣體

（PhotonGas）理學院物理系高斌

1900年4月，著名的英國物理學家凱爾文(W.ThomsonLordKelvin)在一篇總結以往幾百年來物理學的文章中說：

黑體輻射實驗

邁克爾遜—莫雷實驗

在已經基本建成的物理學大廈中，后輩物理學家似乎只要做一些零碎的修補工作就行了。但是，在物學晴朗天空的遠處，還有兩朵令人不安的烏云。相對論量子力學何謂“黑體輻射烏云”？物體在一定溫度下發出電磁波的現象。

如果一個物體能全部吸收投射在它上面的輻射而無反射，這種物體稱為黑體。一個由絕熱壁圍成的開有一個小孔的空腔可近似視為黑體。輻射：黑體:例子:1893年，維恩(Wien)得到的頻率在ν-ν+dν之間輻射能量的經驗關系式為1899年，瑞利(Rayleigh)和金斯(Jeans)根據經典電動力學和統計物理學導得1900年10月19日，普朗克(Planck)在德國物理學會會議上提出了一個黑體輻射能量分布公式：黑體輻射烏云WienRayleigh

-JeansPlanck紫外災難實驗？結論：高頻一致，低頻不符合。結論：低頻一致，高頻不符合。普朗克公式結論：兩者精確相符

一、普朗克公式1、模型建立

普朗克*輻射物體中包含大量諧振子，它們的能量取分立值;存在著能量的最小單元（能量子=h);振子只能一份一份地按不連續方式輻射或吸收能量。*把空腔內的輻射場看作光子氣體。熱統由于光子的自旋量子數為1，所以光子是玻色子，達到平衡后遵從玻色分布。空腔內的輻射場可以分解為無窮多個單色平面波的疊加。具有一定的波矢k和圓頻率ω的單色平面波與具有一定的動量p和能量ε的光子相應。Fourier變換2、分析求ω-ω+dω的輻射能求ω-ω+dω的光子的能量求ω-ω+dω的光子數內能密度內能頻率c-為光速h-普朗克常量k-玻耳茲曼常數T-溫度Bose-Einstein分布圓頻率由于光子的自旋為1，故為Bose子。3、推導光子的動量：光子的能量:在體積為V的空腔內，在p到p+dp的動量范圍內，光子的量子態數為:在體積為V的空腔內，在ω到dω的圓頻率范圍內，光子的量子態數為:光子氣體的化學勢μ為零體積為V的空腔內，在圓頻率ω-ω

+

dω范圍內，輻射場的能量(內能)則為由Bose-Einstein分布得:(*)l能級的粒子數l能級的簡并度ε1-l能級的能量μ-化學勢k-玻耳茲曼常數T-溫度體積為V的空腔內，在圓頻率ω-ω

+dω范圍內的平均光子數為二、討論

1、低頻范圍

式(*)可近似為與瑞利-金斯公式符合2、高頻范圍將(*)分母中-1這一項忽略而有與維恩公式符合

(*)三、斯特藩-玻爾茲曼定律

將式(*)積分，可以求得空腔輻射的內能引入變量(參閱附錄C)，上式表明，平衡輻射的內能（能量）密度與絕對溫度的四次方成正比。這就是熱力學得到的斯特藩-玻爾茲曼定律。

輻射內能得四、維恩位移定律根據普朗克公式(*)

，輻射場的內能密度u隨ω的分布有一個極大值ωm

。由得上式指出，使輻射場能量取極大的值是一定的。ωm與溫度T成正比。這結論稱為維恩位移定律。小結

本節課從粒子的觀點，把空腔內的輻射場看作光子氣體，利用玻色分布推導出了與實驗非常符合的普朗克公式，并對其進行了討論，然后再由普朗克公式推導出了斯特藩-玻爾茲曼定律、維恩位移定律。推測答案理論預言實驗檢驗修改理論提出命題五、啟示

物理學是一門理論和實驗高度結合的精確科學。物理學中有一套獲得知識和運用知識的有效步驟和方法，其要點可概括為：6、用配分函數求光子氣體的熱力學函數

（1）巨配分函數

引入變量，上式可以表示為（2）光子氣體的內能（3）光子氣體的壓強（4）光子