第一講有理數的巧算趣題引路】(第6屆“希望杯"競賽試題改編)計算：2004X20032003+2005X20042004一2003X20042004一2004X20052005解析原式=2004X20032003一2003X20042004+2005X20042004一2004X20052005=(2004X2003X10001-2003X2004X10001)+(2005X2004X10001-2004X2005X10001)=0點評:贏贏型式子通常將它化成^cXlOOl型式子，有的問題還利用到1001=7X11X13這一特點來進行考査，有理數的運算有許多技巧和方法，是中考和競賽的熱點。知識延伸】一、 巧用運算律進行有理數運算時注意符號的處理，再看是否可以用運算律簡化運算。1131 1例1計算：(1)-1999-X16：(2)(-一一一+二一一)-(——)636412 48解析⑴原式=-(2000-])><168=-(3200-2)=-31998(2)原式=一(一丄一丄+ 丄)><48=—(一8—已+36—4)=一22??TOC\o"1-5"\h\z36412 3 31點評:⑴像1999_、2003等數字在參與運算時，往往將其寫成2000--、2000+3的形式：(2)利用乘8法對加法的分配律時，應注意符號的處理技巧，盡量以免錯誤。二、 有理數大小的比較有理數大小比較的一般規律：正數>零>負數：兩個負數比較大小，絕對值大的反而小：兩個正數比較大小，倒數大的反而小、在進行有理數大小比較時，往往利用到作差、作商、倒數比較、平方比較以及運用一些熟知的規律進行比較.QIlog?09例2(1992年"縉云杯“初中數學邀請賽試題)把-四個分數按從小到大的順序TOC\o"1-5"\h\z92 1993 93排列是 ?a疋 1992( 1 92 , 11993( 1 93( 11991 199191 911992 199292 92199991一'9211199991一'9211<922311999999而1A1丄9191-92<>

丄9292-939391-92,<92-9192一93<一93一921,,99^911919999911<2392999919'-911點評:比較分數的大小通常可以將分子化成相同或分母化成相同，再進行比較，除了通分外，倒數法也是經常用到的方法?實際上，此類習題具有-般規律；弓<角⑴是正整數)，如！|<|斗…

有理數巧算的幾種特殊方法有理數運算時，經常會出現一些較大或較多的數求和的問題，仔細觀察它們的特點，探求英中的規律,往往可以為解題開辟新的途徑.?倒序相加法例3計算：(1)1+2+3+???+2003+2004：(2)1—2+3—4+???+2003—2004?解析(1)設S=l+2+3+???+2003+2004 ①則S=2004+2003+…+3+2+1 ②①+②，得2S=(l+2004)+(2+2003)+???+(2004+l)=2005+2005+…+2005(共2004個2005)=2005X2004,c_2005c_2005x20043 =2009010,即原式=2009010?(2)原式=(1一2)+(3—4)+???+(2003—20Q4)=-1-1 1(共1002個一1)=-1002.點評:(1)式的特點是：后一項減去前一項的差都相等，這樣的一列數稱為等差數列，第一項叫首項，通常用“I表示；最后一項叫末項，通常用血表示；相等的差叫公差，通常用d表示。由上面的方法不難得到.等差數列的求和⑸)公式：s嚴曲曲;求項數⑷的公式：心丄空+1?d在以后的運算中，我們也可以直接應用這個公式解題.式之所以想到倒序相加，是因為這一組數字前而的數字與后而對應位垃的數字之和相等，倒過來相加正好湊成一組相同的數字。式也可以將它看成兩組等差數列之和的差，但是題目本身有更突出的特點：從左到右每兩個數字結合起來正好都等于一1.這就說明，在我們動手做題之前，要仔細研究題目本身的特點，選擇一種最佳的方法.2?錯位相減法例4計算：5+52+5$+…+5”?解析設S=5+52+53+???+5S①貝ij5S=5?+53+…②②一①，得4S=5"T—5,一574 ，亍利_5即原式=——?4點評:本題顯然不是一個等差數列求和的問題，怎么求和呢？這就需要我們去探索?為達到抵消中間一些數的目的，采取兩邊乘以5再做減法，達到目的。結合例3的點評，通過本題的特點你能總結出什么規律？

?裂項法。1+2 F100例5（19931+2 F100解析原式門+硝冷）+2（卜扣…+2怙一命）200而點評：由1+2+…+100想到等差數列求和公式：S腫上理，所以=?又由2 S”（\+n）n丄-丄—想到-丄nn+\ /?(/?+1)n(n+1)nn+\?設元法在有理數的運算以及苴他代數式的運算中，我們常常把式中岀現的相同部分用字母表示，從而使問題簡化。例6計算：(—+—+—+—+—+—)(—+—+—+—+—+—)-31 37 41 47 53 692931 37414753z1111111x/11111、(—+—+—+—+—+—+—)(—+—+—+—+—).293137414753693137414753TOC\o"1-5"\h\z心1 1 1 1 1 1 1 11111 mil29313741475369 3137414753原式=(川+—)(???-—)-mn69 69=mn+—（m一n）-mn-—-69 692\o"CurrentDocument"\h=丄（丄+丄）-1- 1 -1696929 692 69x29一2001點評:對于式子中結構相同的部分我們通常可以用字母來表示，從而起到簡化運算的作用」?數形結合法例7計算當”無限大時，叫+ 的值.=1,故原式=2.=1,故原式=2.好題妙解】佳題新題品味例 自然數按一泄規律排成下表，問第200行的第5個數是多少?解析觀察圖表，第一行1個數，第二行2個數，……可知第200行有200個數，從上至下，從左到右按連續自然數排列，因此，可先算第199行最后一個數為：1+2+3+…+199=19900?所以，第200行的第5個數是19905.點評:仔細觀察圖形，發現數字個數，行數之間的規律.中考真題欣賞例(桂林市中考題)計算：1-3+5-7+9-11+-+97-99= ?解析原式=(1一3)+(5—7)+(9—11)+???+(97—99),式中共50個數，分成了25組，二原式=(-2)X25=-50?點評:1~99共99個數，苴中有49個偶數，50個奇數，50個奇數兩兩分成一組，共25組，每組計算結果是一2,故原式為一50.競賽樣題欣賞TOC\o"1-5"\h\z113 13 5 13Q7例(第10屆“五羊杯"初一賽題)計算:-2 44 666 9898 98解析l+2=lx2/+2+5=ix丄+2+…+藝亠9,解析44 2 666 2 9898 98 2原式=_(1+2 F49)2=612.5.點評:研究每一部分的結構特點，找出規律.過關檢測】1?計算:1?計算: +++???+ 200120012001 20012?計算:(2001-1)+(2000-2)+(1999-3)+??.+(1002-1000)3?計算:111…111222…2*333…3? —— 丄〈 — ■ ? — ?20(”個I 200】個2200】個311+25?計算:(22+42+62+...+1002)-(12+32+52+...+9925?計算:1+2+3+???+8+9+10+9+8+…+16?計算:6?計算:2001+20012001+200120012001+2001200120012001

B級1 1111H + +…+ + =3x1 4x2 5x3 1999x1997 2000x1998 -1x2x3+2x4x6+3x6x9+4x8x12+5x10x153.2000」9⑼9991999+2000x1999-200E99J200020002000 200(?-2001x19994?計算:2000,+2001，2000x200112+22 22+32 34?計算:2000,+2001，2000x2001 + H 1x2 2x3 3x45?計算:1116?已知自然數川的最小值是多少？6?已知自然數川的最小值是多少？1x22x33x4第一講有理數的巧算1?原式A級+S)=ioo1?原式A級+S)=ioo°-3.原式=(1」1二Jxlg?3.原式=(1」1二Jxlg?02)A(

Mit-ilO?fO1 I4-原式=T+3~4*T^__42 3 2 3 51112^3+3^4+475+49江i2” 2 2〒2X "273*3^4*475^**+99x1003 3x…5 °997100)=2X(I~3_+31亠亠115 991005妙3001"7996000’原式=2000+1998+…+2=(吧丄x1000-1001x1000-1001000tQiHl二1*3)=100^02-g-3=33—34.3001-M； 9HOfO MlkM:?r1'…*99.=2x(2-"100)=5.原式_(2—廣)+(4—3J+???+(100—992)(2+l)(2-l)+(4+3)(43)i?4(100+99)(10099)102 ?…:：3“+11+…4199101x50101105■100*2陌十2000x(l+KXXH“(XXHOOO]+lOQ(nOO(HO()01)2000塚真=2001x(L+1Q001+100010001+100010001(X)01)"2001*詰（1十計侖-命卜卻=4（1-厲）*克齊缶卜存（器+=5993001=7996000"勺5產屮(1x3x5)x(1+23+33+43*53) 1x3x5 5T =(1x2x3)x(1+2J+3S+4J+5J)=172^3"T仙1 1999*100010001 (2000*1998#2000)-(2000x1998會1998)=X2000x100010001 (20002-1)+1-2001X1999^2(xx>19992000x1998+2000-2000*1998二1998= 2000+(2OOO2-1)+1-2001x19992=1999+(2000+l)(20wll)+1-2001X1999=1999+7=200L2001?2000z\2

2000x2001+2000x2001)=72000-19984-解;原