專題03三角形的中線與面積專題解讀】在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線．由“等底同高”可知，三角形的一條中線能把這個三角形分成面積相等的兩部分．利用這一性質，再進行適當拓展延伸，我們還可解決許多其他的等分點問題．反過來，在解決許多有關多邊形(如三角形、四邊形等)的面積問題時，如果我們能夠快速地聯想到“三角形的中線等分三角形面積”這一性質，那么往往可以事半功倍．思維索引例1．(1)如圖，△ABC中，D為AB的中點，E為DF的中點．①作出△AED中的高AH；②連接BF，當AH＝4，DF＝5時，求△BDF面積．(2)如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AB＝15，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒3個單位，設運動的時間為t秒．①當t＝時，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分；②當t＝5時，CP把△ABC分成的兩部分面積之比是S△APC︰S△BPC＝；③當t＝時，△BPC的面積為18．例2．如圖1，在△ABC中，中線AM可以將△ABC分成兩個面積相等的三角形，即S△ABM＝S△ACM．(1)請在圖2，圖3中，用兩種不同的方法將圖中的四邊形ABCD分成4個面積相等的小三角形；(2)如圖4，在四邊形ABCD的邊上找到一點E，使得線段AE將四邊形ABCD分為面積相等的兩部分．例3．(1)已知：△ABC中，AD是BC邊上的中線，P是AD上的一點，若△ABC的面積為s，①當點P是AD的中點(即PD＝AD)時，△PBC的面積＝(用含s的代數式表示)；②當PD＝AD時，△PBC的面積＝(用含s的代數式表示)；③當PD＝AD時，△PBC的面積＝(用含s、n的代數式表示)．(2)如圖，△ABC的面積為12cm2．D是AB邊的中點，E為AC邊上一點，且AE＝2EC．O為DC與BE的交點．若△DBO的面積為acm2，△CEO的面積為bcm2，求a－b．例4．(1)如圖1，在△ABD中，BE是△ABD的中線，則有S△ABE＝S△ABD．(2)在四邊形ABCD中，E是AD邊上的動點，分別連接AC、BD、EB和EC，設△EBC的面積為S1，△ABC的面積為S2，△DBC的面積為S3．①如圖2，當AE＝AD時，試探究S1，S2，S3之間的關系，并寫出求解過程；②如圖3，當AE＝AD(n表示正整數)時，試探究S1，S2，S3之間的關系．(直接給出答案，不必求解過程)素養提升1．如圖，在△ABC中，E、F分別是AD、CE邊的中點，且，則為（）A.B.C.D.2．如圖，在△ABC中E是BC上的一點，EC=2BE，點D是AC的中點，設△ABC，△BEF的面積分別為，且，則（）A．1B．2C．3D．43．如圖，三角形ABC內的線段BD、CE相交于點F，已知FB=FD，FC=2FE.若△BFC的面積為2，則四邊形AEFD的面積等于（）A．4B．5C．6D．7第1題圖第2題圖第3題圖4．如圖，△ABC三邊的中線AF，BD，CE的公共點為G，若，則圖中△BEG與△CDG的面積和是（）A．2B．3C．4D．5第4題圖第5題圖第6題圖5．如圖，G為△ABC內一點，連接AG、BG、CG并延長分別交邊BC、AC、AB于點F、D、E，則把△ABC分成六個小三角形，其中四個小三角形面積已在圖上標明，則△ABC的面積為（）A．300B．315C．279D．3426．如圖，AE、BD是△ABC的兩條中線，AE、BD交于F，則△BEF和△AFD面積的大小關系是_______________.7．如圖，△ABC的中線BD、CE相交于點G，GF⊥BC，且AB=6，BC=5，AC=3，GF=2，則四邊形ADGE的面積是_________.8．如圖，在△ABC中，點D是BC邊上任意一點，點F是線段AD的中點，點E、點G分別為BF與CF的中點，則=_____________.9．如圖，在△ABC中，已知點D、E、F分別是BC、AD、BE上的中點，且△ABC的面積為12，則△ABF的面積為___________.第7題圖第8題圖第9題圖10．如圖，在長方形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，點E是CD邊上的一點，且DE=2cm，動點P從A點出發，以2cm/s的速度沿A→B→C→E運動，最終到達點E.當△APE的面積等于20時，則點P運動的時間________________s.第10題圖第11題圖11．如圖，已知△ABC，請你用兩種不同的方法把它分成面積之比為1：2：3的三個三角形。12．操作示例：如圖甲中，E，F分別為四邊形ABCD的邊AD，BC的中點，設四邊形ABCD的面積為,則和之間滿足的關系式為___________．解決問題：在圖乙中，E，F，G，H分別為四邊形ABCD的邊AD，AB，BC，CD的中點，并且圖中四邊形JKLI的面積為20，求圖中△AEJ、△BFK、△CGL與△DHI的面積和.圖甲圖乙13．（1）在圖甲中，若,分別為AB，BC的中點，則___________．（2）在圖乙中，若，分別為AB的三等分點，，分別為BC的三等分點，求、的面積和與△ABC的面積比等于多少？并說明理由．（3）拓展：在圖丙中，若分別為AB的等分點，分別為BC的等分點，求、，……，的面積和與△ABC的面積比等于多少？（直接寫出答案，不必求解過程）圖甲圖乙圖丙14．在如圖1至圖2中，△ABC的面積為a.（1）操作：如圖1，分別延長△ABC的邊BC到點D，CA到點E，AB到點F，使CD=BC，AE=CA，BF=AB，連結DE，FD，FE，得到△DEF（如圖1）.若增加部分的面積為，則=_____.（用含a的代數式表示）.（2）發現：像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長一倍，連結所得端點，得到△DEF，此時，我們稱△ABC向外擴展了一次.可以發現，擴展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的____________倍.（3）應用：張明去年在面積為10的△ABC空地上栽種了某種花卉.今年他準備擴大種植規模，把△ABC向外進行兩次擴展成△MGH（如圖2）.求這兩次擴展的區域面積共為多少_________？圖1圖2

專題03三角形的中線與面積思維索引】例1．(1)①略；②S△BDF＝10．(2)①6.5；②1:4；③EQ\F(4,3)或EQ\F(22,3)．例2．(1)如圖所示，(答案不唯一)(2)如圖，例3．(1)①EQ\F(1,2)s；②EQ\F(1,3)s；③EQ\F(1,n)s．(2)2．例4．(1)S△ABE＝EQ\F(1,2)S△ABD．(2)①S1＝EQ\F(1,2)S2＋EQ\F(1,2)S3；②S1＝EQ\F(1,n)S2＋EQ\F(n－1,n)S3素養提升】1．D；2．A；3．B；