PAGEPAGE49平面機構的運動分析內容提要本章主要介紹機構運動分析的目的和方法，重點介紹了三種機構運動分析方法，即重點介紹了三種機構運動分析方法，即速度瞬心法、相對運動圖解法和解析法。3.1機構運動分析的目的和方法3.1.1機構運動分析的目的機構運動分析是在不考慮外力的作用和構件的彈性變形，以及運動副間隙對機構運動影響的情況下，根據已知機構的運動簡圖和原動件的運動規律，求解機構中其他構件的位移（角位移）、速度（角速度）和加速度（角加速度）等運動參數。機構的運動分析是了解機械的運動性能的依據，對正確地了解與應用機構的運動性能和校核所設計的機構是否滿足設計要求有重要的作用。3.1.2機構運動分析的方法機構運動分析的方法主要有圖解法和解析法，圖解法又分為相對運動圖解法和速度瞬心法。圖解法對簡單的平面機構設計具有形象、直觀、圖解過程簡單易行等特點，是運動分析的基本方法，但精度不高，而且對機構的一系列位置進行分析時，需反復作圖而顯得繁瑣。解析法需根據機構中的已知參數建立數學模型，然后借助計算機進行求解，它不僅可方便地對機構進行一個運動循環過程的研究，而且還便于把機構分析和綜合問題聯系起來，以求得最優方案。由于解析法具有較高的精度，現在被廣泛使用。本章將對上述兩種方法在平面機構運動分析中的運用分別加以介紹。3.2用速度瞬心法對機構進行速度分析3.2.1速度瞬心及機構中速度瞬心的數目作平面相對運動的兩構件，在任一瞬時位置其相對運動均可看作是繞某一重合點的相對轉動。該重合點即為相對轉動中心，稱為速度瞬心（instantaneouscenterofvelocity），簡稱瞬心。構件i、j之間的瞬心用符號表示。因此，兩構件在瞬心點處的相對速度為零，其絕對速度相等。若瞬心的絕對速度為零，則稱為絕對瞬心（absoluteinstantaneouscenter），運動構件與機架之間的瞬心即為絕對瞬心。若瞬心的絕對速度不為零，則稱為相對瞬心，兩運動構件之間的瞬心即為相對瞬心（relativeinstantaneouscenter）。因為機構中每兩個構件間就有一個瞬心，所以有N個構件組成的機構，其總的瞬心數K為 （3-1）3.2.2機構中速度瞬心的確定1．通過運動副直接相連的兩構件間的瞬心通過運動副直接相連的兩構件間的瞬心可以通過直接觀察即可確定。（1）以轉動副相連接的兩構件的瞬心在轉動副的中心處。如圖3-1a所示的構件1和構件2的瞬心就在兩構件的轉動副的中心處。（2）以移動副相連接的兩構件間的瞬心位于垂直于導路方向的無窮遠處，如圖3-1b所示的位于垂直于構件1和構件2所構成的移動副導路方向的無窮遠處。（3）以平面高副相連接的兩構件間的瞬心，當高副兩元素作純滾動時就在接觸點處，如圖3-1c所示的即為構件1和構件2的接觸點；當高副兩元素間有相對滑動時，則在過接觸點兩高副元素的公法線上，如圖3-1d所示的構件1和構件2之間存在相對滑動速度，則二者的瞬心就位于法線n-n上。不過因為滾動和滑動的數值尚不知，所以還不能確定它是在法線上的那一點。（a）（b）（c）（d）圖3-1觀察法確定速度瞬心2．不直接相連的兩構件的瞬心不直接相連的兩構件間的瞬心位置，可借助三心定理來確定。所謂三心定理（Kennedy-Aroundtheorem），即三個彼此作平面運動的構件的三個瞬心必位于同一直線上。如圖3-2所示構件l、2、3彼此作相對平面運動，它們之間共有三個瞬心、、。其中、分別在構件1、3和2、3之間轉動副的轉動中心、處，而不直接通過運動副相連的兩構件1、2之間的瞬心必位于、的連線上。有了直接觀察法和三心定理便可確定機構的全部瞬心位置。但對多桿機構，構件越多，瞬心數目就越多，求解不大方便。為此，下面提出用瞬心多邊形和上述兩種方法相結合來求取瞬心。具體求法如下：圖3-2三心定理（1）先畫一個圓，然后按照機構的構件數分割該圓，并在分割點上依次（順時針或逆時針）標注構件號。（2）通過直接觀察法求瞬心。將能直接觀察求出瞬心位置的兩構件的分割點用實線相連，則此實線即代表已知的該兩構件間的瞬心。（3）觀察在圓中尚未連線的分割點，將能連成兩個三角形的公共邊的點用虛線連接，則此虛線就代表可求取的未知瞬心。（4）在有公共邊的兩個三角形中，每個三角形的3條邊代表3個構件的3個瞬心。根據三心定理，這3個瞬心必在同一直線上。現在三角形除公共虛邊以外的另外兩個邊代表的2個瞬心已知，在機構圖上用直線連接這兩個邊代表的已知瞬心，則公共虛邊代表的未知瞬心必定位于這一直線上。這樣，兩個三角形的各個已知兩邊代表的兩個已知瞬心共作出2條直線，2條直線的交點就是公共虛邊代表的未知瞬心。（5）確定公共虛邊代表的未知瞬心后，公共虛邊可畫成實邊，重復前述步驟，可以確定其他待求的未知瞬心。【例3-1】如圖3-3所示為一鉸鏈四桿機構，試確定該機構全部瞬心的位置。（a）（b）圖3-3鉸鏈四桿機構瞬心的確定解：該機構瞬心的數目為 ，分別為、、、、、。其中，直接觀察可得到瞬心、、、分別在轉動副A、B、C、D的回轉中心。和則需借助于三心定理確定，由于構件1、2、3的三個瞬心、、應位于同一條直線上，構件1、4、3三個瞬心、P34、也應位于同一條直線上，因此兩直線的交點即瞬心；同理，直線和的交點即瞬心。活動構件1、2、3與機架4之間的瞬心、、為絕對瞬心，而活動構件之間的瞬心、、則為相對瞬心。利用三心定理求瞬心時，為了迅速準確地找到其位置，有兩種方法：其一是“下標同號消去法”，如圖3-3所示，一定在、的連接線上，也一定在、的連接線上，兩線的交點即。一條直線上的三個瞬心，其中一個的下標一定是另外兩個消去相同下標后的組合。其二是“瞬心多邊形法”，如圖3-3左上角所示，以構件編號表示多邊形的頂點，任意兩頂點的連線表示相應兩構件的瞬心。首先把直接成副的兩構件瞬心、、、，在瞬心多邊形中連成實線，把待求的不直接成副的兩構件瞬心、連成虛線。根據三心定理，在瞬心多邊形中，任意三角形的三條邊所代表的三個瞬心均共線。因此，求未知瞬心時，可在瞬心多邊形中找到以代表該瞬心的虛線為公共邊的兩個三角形，在機構圖中作出相應的兩條直線，其交點即為所求。例如，代表未知瞬心P13的虛線是和的公共邊，所以它既與、共線又與、共線，連接、和、，其交點為。利用瞬心多邊形，特別有助于確定構件數目較多的機構的瞬心。3.3.3瞬心在機構速度分析中的應用下面舉例說明利用速度瞬心對機構進行速度分析的方法。1．求線速度【例3-2】如圖3-4所示的凸輪機構，已知各構件的尺寸和凸輪轉速，求推桿2的速度。解：首先通過直接觀察求得瞬心和，然后根據三心定律和公法線n-n求得瞬心的位置。由此求得瞬心的速度長度直接從圖上量取。圖3-4圖解法求凸輪機構的線速度2．求角速度1）鉸鏈機構【例3-3】如圖3-3所示的鉸鏈四桿機構，已知各構件的尺寸和原動件1的角速度，試求構件3的角速度和角速比。解：將視為構件1上的點，則有將視為構件3上的點，則有由瞬心的定義可得 轉換后得 或 上式表明，兩構件之間的角速比（即傳動比）與該兩構件的絕對瞬心、至相對瞬心的距離成反比。此關系可以推廣到平面機構中任意兩構件i與j之間（設構件4為機架），即 （3-2）若相對瞬心在絕對瞬心、之間，則構件i與j的轉向相反；否則，轉向相同。【例3-4】如圖3-5所示為按長度比例尺畫出的平鍛機工件夾緊機構運動簡圖，該機構是一個復雜的平面Ⅲ級機構。已知原動件AB的角速度的大小和方向（如圖所示），求、、、的大小及方向。解：由于構件2上點B的速度方向及大小已知（），如果能求出其絕對瞬心，則和可以求出。如果再能求出P36，則根據可以求出、和，于是可以解出和。所以解題的關鍵在于求出絕對瞬心與的位置。和的位置可按以下方法求出。標出圖中各鉸鏈所示的瞬心、、、、、和。根據三心定理及已知的瞬心，應位于直線與直線的交點上，在圖上首先作出，從而可作出兩條直線與，在圖上作出其交點即求得。按前面的分析得，方向為逆時針方向垂直于，向左，故，方向為順時針所以，方向如圖，方向如圖，方向為逆時針，方向為順時針圖3-5平鍛機工件夾緊機構運動簡圖2）高副機構【例3-5】如圖3-6所示凸輪機構中，已知構件2的轉速，求構件3的角速度。解：首先用三心定律求出，求瞬心的速度：所以 ，方向與相反。【例3-6】如圖3-7所示為一直動從動件凸輪機構。設已知各構件的尺寸和原動件1的角速度，求從動件2的速度。解：因為構件2作平動，所以利用瞬心是構件1和2的等速重合點，即可求得。由于構件1、2組成高副，所以瞬心在過接觸點K處的公法線n-n上；又由三心定理知，瞬心與、共線。因此過作的方向線與n-n線的交點即為瞬心。方向向上，如圖3-7所示。圖3-6圖解法求高副機構的角速度圖3-7直動從動件凸輪機構利用速度瞬心法對簡單機構的速度分析非常簡便。但對于包含構件數目較多的機構，由于瞬心數目較多，使得求解困難。需要特別說明的是，速度瞬心法僅限于對機構的速度分析，不便用于加速度分析。3.3用相對運動圖解法對機構進行運動分析相對運動圖解法（relativekinematicgraphicmethod）也稱為矢量方程圖解法（vectorgraphicmethod），所依據的是理論力學中的運動合成原理。在對機構進行速度、加速度分析時，根據運動合成原理列出速度、加速度運動矢量方程，按矢量運算作圖求解。下面就在機構運動分析中所遇到的兩種不同情況對其基本原理和方法加以說明。3.3.1作平面運動的同一構件上兩點間的運動分析如圖3-8a所示為鉸鏈四桿機構運動簡圖。已知各構件的尺寸及原動件1以等角速度逆時針方向轉動，求機構在圖示位置時構件2、3的角速度、和角加速度、，以及構件2上點E的速度和加速度。用相對運動圖解法進行運動分析時，應沿著機構的運動傳遞順序，從與運動已知的原動件相連的桿組開始，以桿組為單位依次進行。首先確定桿組中外接副的運動（往往是已知的），其次確定桿組內接副的運動，然后再確定構件上一般點的運動。（a）鉸鏈四桿機構運動簡圖（b）速度多邊形（c）加速度多邊形圖3-8同一構件上兩點之間的運動圖解分析1．列出運動矢量方程式鉸鏈四桿機構僅含有一個Ⅱ級桿組BCD，且外接副點B、D的運動已知，所以先求內接副點C的運動。而點C和B同在連桿2上，選運動已知的點B為基點，由運動合成原理，點C的運動可視為隨著基點B作平動與繞著基點B作相對轉動的合成。所以點C的速度和加速度的矢量方程分別表示為 （3-2）方向：CDABBC大小：？? （3-3）方向：CDBC大小：？？式中，、、為點C相對于點B的相對速度、相對法向加速度和相對切向加速度；、分別為點C的絕對法向加速度和切向加速度。為了減少方程中未知量的數目，將轉動加速度分解為法向和切向兩個分量，每一項的大小和方向均示于式中。在式（3-2）中，僅、的大小未知，而在式（3-3）中，經過速度分析之后也為已知，僅有、的大小未知，故每個方程組僅包含兩個未知量，可以用作圖法求解。2．按矢量方程式作圖求解，即圖中每1mm所代表的速度大小。，即圖中每1mm所代表的加速度大小。1）按速度矢量方程作矢量運算圖解如圖3-8b所示，任取一點p作為速度極點。從點p出發作代表的矢量（，且），再分別過點b和p作代表的方向線（），代表的方向線（），兩者相交于點c，則，構件2的角速度則為可將平移至機構圖上的點C，繞點B的轉向即為的方向（順時針方向）。構件3的角速度為將平移至機構圖上的點C，繞點D的轉向即為的方向（逆時針方向）。2）按加速度矢量方程作矢量運算圖解如圖3-8c所示，任取一點作為加速度極點。從點出發作代表的矢量（∥AB，由機構圖上的點B指向點A，且）；再分別過點和，作代表的矢量（∥BC，由點C指向點B）和代表的矢量（//CD，由點C指向點D）；然后再分別過點和作代表的方向線（BC）和代表的方向線（CD），兩者相交于點，則，則構件2的角加速度為可將平移至機構圖上的點C，繞點B的轉向即為的方向（逆時針方向）。構件3的角加速度為將平移至機構圖上的點，繞點的轉向即為的方向（逆時針方向）。如圖3-9b、c所示的圖形分別稱為機構的速度多邊形圖（或速度圖）和加速度多邊形圖（加速度圖）。對于構件2上點E的運動，則可利用同一構件上B、C兩點的運動求解。速度矢量方程和加速度矢量方程分別表示為方向：ABBECDCE大小：？√？方向：BE√CE大小：？√？在圖3-8b中，分別過b、c作代表的方向線()和代表的方向線（），兩者交于點e，則代表，所以由圖可知，構件2上B、C、E三點構成的圖形與速度圖中代表該三點絕對速度矢量端點b、c、e構成的圖形，由于兩個圖形的三個對應邊相互垂直，故兩三角形相似，且其字母的繞行順序也一致。因此，稱速度圖形為構件圖形的速度影像，這一規律即速度影像原理。在圖3-8c中，也分別過、作代表的矢量（）、的方向線（）和代表的矢量（）、的方向線（），兩方向線交于點，則代表，所以與速度影像類似，可以證明，構件2上B、C、E三點構成的圖形△BCE與加速度圖中代表該三點絕對加速度矢量端點、、構成的圖形也是相似的，且其字母的繞行順序一致，但兩圖形的對應邊一般不垂直，都轉過一相同的角度。因此，稱加速度圖形為構件圖形的加速度影像，這一規律即加速度影像原理。當已知某一構件上兩點的速度或加速度時，利用速度或加速度影像原理，作構件圖形的相似形，可以很方便地求出該構件上其他任一點的速度或加速度。例如，當構件2上B、C兩點的速度和加速度已知時，其上點E的速度、加速度就可以直接分別以、為邊作的相似三角形和，求得點E的速度矢量端點e和加速度矢量端點，即求得和。同理，利用速度或加速度影像原理，也可以根據已知的速度、加速度求出構件上相應點的位置。這里必須注意的是，速度影像和加速度影像原理只適用于同一構件上各點之間的速度和加速度關系，而不能用于整個機構中的不同構件上各點之間的速度和加速度關系。3.3.2用移動副連接的兩構件重合點間的運動分析與前一種情況不同，此處所研究的是以移動副相連的兩轉動構件上的重合點間的速度及加速度之間的關系，因而所列出的機構的運動矢量方程也有所不同，但作法卻基本相似。【例3-7】如圖3-9a所示為一平面四桿機構。設已知各構件的尺寸為：，，，；并知原動件1以等角速度逆時針方向回轉。試用圖解法求機構在時構件2、3的角速度和角加速度。（a）機構運動簡圖（b）速度多邊形（c）加速度多邊形圖3-9兩構件重合點間的圖解運動分析解：1）作機構運動簡圖選取尺寸比例尺，按準確作出機構運動簡圖（如圖3-9a所示）。2）作速度分析根據已知條件，速度分析應由B點開始，并取重合點及進行求解。已知點的速度其方向垂直于AB，指向與的轉向一致。為求，需先求得構件3上任一點的速度。因構件3與構件2組成移動副，故可由兩構件上重合點間的速度關系來求解。由運動合成原理可知，重合點及有：（3-4）式中僅有兩個未知量，故可用作圖法求解。取速度比例尺，并取點p作為速度圖極點，作其速度圖如圖3-9b所示，于是得（順時針）而。3）作加速度分析加速度分析的步驟與速度分析相同，也應從B點開始，且已知B點僅有法向加速度，即 （3-5）其方向沿AB，并由B指向A。構件3上點B的加速度由兩構件上重合點間的加速度關系可知方向：？BD√BC大小：？？√？式中，為點相對于點的科氏加速度，其大小為其方向為將相對速度沿牽連構件2的角速度的方向轉過90°。而的大小為由式3-5可知，方程僅有兩個未知量，故可用作圖法求解。選取加速度比例尺并取點為加速度圖極點，按式（3-5）依次作其加速度圖如圖3-9c所示，于是得方向為逆時針，且。此例中，選、點來進行運動分析，是因為點的速度和加速度很容易求得，求解最簡便。讀者不妨以其他點為重合點來求解，便不難驗證。3.4用解析法對機構進行運動分析3.4.1矢量方程解析法用解析法作機構的運動分析，應首先建立機構的位置方程式，然后將位置方程式對時間求一階和二階導數，即可求得機構的速度和加速度方程，進而解出所需位移、速度及加速度，完成機構的運動分析。由于在建立和推導機構的位置、速度和加速度方程時所采用的數學工具不同，所以解析法有很多種。本節將介紹兩種比較容易掌握且便于應用計算機計算求解的方法——復數矢量法和矩陣法。復數矢量法由于利用了復數運算十分簡便的優點，不僅可對任何機構包括較復雜的連桿機構進行運動分析和動力分析，而且可用來進行機構的綜合，并可利用計算機進行求解。而矩陣法則可方便地運用標準計算程序或方程求解器等軟件包來求解，但需借助于計算機。由于用這兩種方法對機構作運動分析時，均需先列出所謂的封閉矢量方程式，故對此先加以介紹。1．機構的封閉矢量位置方程式在用矢量法建立機構的位置方程時，需將構件用矢量來表示，并作出機構的封閉矢量多邊形。用復數符號表示平面矢量，如，它既可寫成極坐標形式，又可寫成直角坐標形式。可利用歐拉公式方便地在上述兩種表示形式之間進行變換。此外，它的導數就是其自身，即，故對其微分或積分運算十分便利。圖3-10機構的封閉矢量位置坐標如圖3-10所示，先建立一直角坐標系。設構件1的長度為，其方位角為，為構件l的桿矢量，即。機構中其余構件均可表示為相應的桿矢量，這樣就形成由各桿矢量組成的一個封閉矢量多邊形，即。在這個封閉矢量多邊形中，其各矢量之和必等于零。即 （3-6）式（3-6）為圖3-10所示四桿機構的封閉矢量位置方程式。對于一個特定的四桿機構，其各構件的長度和原動件1的運動規律已知，即為已知，而，故由此矢量方程可求得兩個未知方位角及。各桿矢量的方向可自由確定，但各桿矢量的方位角均應由x軸開始，并以沿逆時針方向計量為正。由上述分析可知，對于一個四桿機構，只需作出一個封閉矢量多邊形即可求解。而對四桿以上的多桿機構，則需作出一個以上的封閉矢量多邊形才能求解。2．復數矢量法現就以圖3-10所示的四桿機構為例來說明利用復數矢量法作平面機構運動分析的方法。設已知各構件的尺寸及原動件1的方位角和等角速度，需對其位置、速度和加速度進行分析。如前所述，為了對機構進行運動分析，先要建立坐標系，并將各構件表示為桿矢量。1）位置分析將機構封閉矢量方程式（3-6）改寫并表示為復數矢量形式： （3-7）應用歐拉公式將式（3-7）的實部和虛部分離，得 （3-8）由此方程組可求得兩個未知方位角、。當要求解時，應將消去，為此可先將式（3-8）兩分式左端含的項移到等式右端，然后分別將兩端平方并相加，可得經整理并可簡化為： （3-9）式中：；；。解之可得 （3-10）在求得了之后，可利用式（3-8）求得。式（3-10）有兩個解，可根據機構的初始安裝情況和機構運動的連續性來確定式中“”號的選取。2）速度分析將式（3-7）對時間t求導，可得即 （3-11）式（3-11）為的復數矢量表達式。將式（3-11）的實部和虛部分離，有 （3-11a） （3-11b）聯解式（3-11a）和式（3-11b）可求得兩個未知角速度、，即 （3-12） （3-13）3）加速度分析將式（3-11）對時間t求導，可得 （3-14）式（3-14）為的復數矢量表達式。將式（3-14）的實部和虛部分離，有聯解上兩式即可求得兩個未知的角加速度、，即 （3-15） （3-16）現再討論求圖3-10所示四桿機構中連桿2上任一點E的速度和加速度的求解方法。當機構中所有構件的角位移、角速度和角加速度一旦求出后，則該機構中任何構件上的任意點的速度及加速度就很容易求得。設連桿上任一點E在其上的位置矢量為及，E點在坐標系中的絕對位置矢量為，則即 （3-17）將式（3-17）對時間t分別求一次和二次導數，并經變換整理可得和的矢量表達式，即 （3-18） （3-19）3.4.2矩陣法仍以圖3-10所示四桿機構為例，已知條件同前，現用矩陣法求解如下：1）位置分析將機構的封閉矢量方程式（3-7）寫成在兩坐標上的投影式，并改寫成方程左邊僅含未知量項的形式，即得 （3-20）解此方程即可得二未知方位角、。2）速度分析將式（3-21）對時間t取一次導數，可得 （3-21）解之可得、。式（3-21）可寫成矩陣形式 （3-22）3）加速度分析將式（3-20）對時間t取導，可得加速度關系（3-23）可解得、。若還需求連桿上任一點E的位置、速度和加速度時，可由下列各式直接求得： （3-24） （3-25） （3-26）在矩陣法中，為便于書寫和記憶，速度分析關系式可表示為 （3-27）其中，A——機構從動件的位置參數矩陣；——機構從動件的速度列陣；B——機構原動件的位置參數列陣；——機構原動件的速度。而加速度分析的關系式則可表示為 （3-28）其中，是機構從動件的加速度列陣；；。通過上述對四桿機構進行運動分析的過程可以看出，用解析法進行機構運動分析的關鍵是位置方程的建立和求解。至于速度分析和加速度分析只不過是對其位置方程作進一步的數學運算而已。位置方程的求解需解非線性方程組，難度較大；而速度方程和加速度方程的求解，則只需解線性方程組，相對而言較容易。3.4.3桿組法應用前述方法，對于各種不同的機構需要建立不同的數學模型，編制相應的計算程序，因此各種不同機構之間計算程序的通用性較差。下面介紹一種適用于各種不同機構且通用性較強的運動分析方法——基本桿組法。1．基本桿組法的基本思想根據機構的組成原理，任何平面機構都是在原動件和機架上依次連接若干個基本桿組而構成的。對于常用的各種Ⅱ級機構，其中包含的Ⅱ級基本桿組僅有五種，如圖3-13所示，其中前三種應用最多。由于桿組外接副連接于原動件、機架或其他桿組的構件上，所以只要從原動件開始逐個對桿組進行分析，則桿組外接副的運動參數總是已知的。由此可求出各個桿組乃至整個機構的運動參數。以單桿和基本桿組為單元，分別建立構件和基本桿組中各已知的幾何參數、運動參數與未知運動參數之間的數學模型，并編制出相應的計算子程序。當需要對某一機構進行運動分析時，只需按照機構的組成情況，編寫出主程序，依次調用相應的構件和桿組通用子程序便可求得所需結果。可見，此方法對機構進行運動分析的通用性較強，工作量較小。下面就Ⅱ級機構進行分析討論。（a）RRR桿組（b）RRP桿組（c）RPR桿組（d）RPP桿組（e）PRP桿組圖3-13Ⅱ級基本桿組R—轉動副；P—移動副2．單桿和基本桿組的運動分析對單桿和基本桿組進行運動分析時，首先建立直角坐標系。規定i構件的長度用表示，位置角，從外接副引軸正向線，按逆時針方向取角速度和角加速度分別用、表示，且逆時針方向為正；參考點、關鍵點的位置用（，）表示，速度用（，）表示，加速度用（，）表示。1）單桿運動分析如圖3-14所示為機構中作平面運動的構件（作定軸轉動或平移運動的構件是特例）的運動分析。已知構件位置角、角速度、角加速度及參考點的位置（，）、速度（，）和加速度（，）。按給定的長度和角度值求其上點的位置（，）、速度（，）和加速度(，)。（1）位置分析點的位置方程式為（2）速度分析將上式對時間t求導一次，得點的速度方程式為（3）加速度分析將上式對時間t再求導一次，得點的加速度方程式為2）RRR桿組的運動分析如圖3-12所示為一RRR桿組，已知桿1、2的位置角分別為和、角速度分別為和、角加速度分別為和。圖3-11單桿運動分析圖3-12RRR桿組的運動分析（1）位置分析根據圖3-15所示的幾何關系可知，該桿組成立的基本條件為：。構件1的位置角為 （3-29）式中，；，且。“”號對應不同的桿組裝配或工作模式，當點、、逆時針繞行即實線取“+”號；當點、、順時針繞行即虛線模式時，取“-”號。對于一特定機構，只要，桿組就在一種模式下運動。所以在計算之前，應按機構的實際情況定識別參數M，實線模式時，虛線模式時；如果，則應根據實際工作狀況，判定其工作模式。可將式（3-29）表示為 （3-30）構件2的位置角為 （3-31）其中，點的位置為 （3-32）（2）速度分析將式（3-32）對時間t求導一次，得點的速度方程式為 （3-33）整理上式，并將、、和用坐標表述，可得構件1、2的角速度為 （3-34）式中，。將式（3-34）代入式（3-33），即可求出點的速度（，）。（3）加速度分析將式（3-33）對時間t求導一次，得點的加速度方程式 （3-35）整理式（3-35）得構件1、2的角加速度分別為 （3-36）式中，；。將式（3-36）代人式（3-35），即可求出點的加速度（，）。3）RRP桿組的運動分析如圖3-13所示，已知外接副、導路上一參考點的位置分別為（，）和（，）、速度分別為（，）和（，）、加速度分別為（，）、（，）及導路的位置角、角速度、角加速度。求內接副的位置（，）、速度（，）和加速度（，），滑塊2的相對參考點的位移相對于導路的滑動速度和滑動加速度，以及構件1的位置角、角速度和角加速度。圖3-13RRP桿組（1）位置分析根據圖3-16所示的幾何關系，得點的位置方程為 （3-37）求解上式可得 （3-38）式中，；。求解式（3-38）得 （3-39）式中，若，表明，桿組無法裝配，不能成立；若，表明桿組僅有一位置，不能運動，無意義；若，表明，桿組對應圖中實線和虛線兩種裝配或工作模式，用“”號區分。當，即實線模式時，取“+”；當，，即虛線模式時，取“-”號。當參考點選在、之間時，總有，取“+”號。設定識別參數M，當時，取；當時，取。根據M的取值，可將式（3-39）表示為 （3-40）將求出的代人式（3-37），即可求得點的位置（，）。繼而可求出構件1的位置角 （3-41）（2）速度分析將式（3-37對t時間求導一次，得點的速度方程式為 （3-42）對上式整理后，解得構件l的角速度和滑塊2相對于導路的滑動速度分別為 （3-43） （3-44）式中，；。將求出的、代人式（3-42），即可求得點的速度（，）。（3）加速度分析將式（3-42）對時間t求導一次，得點的加速度方程式為 （3-45）對上式整理后解得構件1的角加速度和滑塊2相對于導路的滑動加速度分別為 （3-46） （3-47）式中，；。將求出的、代入式（3-45），即可求得點的加速度（，）。RPR桿組、RPP桿組和PRP桿組也可用類似的方法進行分析，這里從略。按以上建立的數學模型編寫計算子程序，以便調用。3．分析步驟（1）為表明機構中各構件的連接關系和各桿組中虛、實參數的替換及數據的傳遞，對“構件及關鍵點（運動副或參考點）進行編號。（2）對機構進行結構分析，即拆桿組，把桿組與原動件和機架分離開。（3）對原動件進行運動分析，求出其上與其他桿組連接點的運動參數。（4）從與原動件連接且外運動副已知的桿組開始，依次分析桿組、構件上相應的運動數，直至求出機構的全部運動參數。3.5機構運動線圖根據矩陣法中各式，將已知參數代入，即可應用計算機進行計算，求得的數值列于表3-1中。并可根據所得數據作出機構的位置線圖（如圖3-14a所示）、速度線圖（如圖3-14b所示）和加速度線圖（如圖3-14c所示