/直線系對稱問題〔一主要知識及方法：點關于軸的對稱點的坐標為；關于軸的對稱點的坐標為；關于的對稱點的坐標為；關于的對稱點的坐標為.點關于直線的對稱點的坐標的求法：設所求的對稱點的坐標為.則的中點一定在直線上.直線與直線的斜率互為負倒數.即直線關于直線的對稱直線方程的求法：到角相等；在已知直線上去兩點〔其中一點可以是交點.若相交求這兩點關于對稱軸的對稱點.再求過這兩點的直線方程；軌跡法<相關點法>；待定系數法.利用對稱軸所在直線上任一點到兩對稱直線的距離相等.…點關于定點的對稱點為.曲線：關于定點的對稱曲線方程為.直線系方程：直線〔為常數.參數；為參數.位常數.過定點的直線系方程為及與直線平行的直線系方程為〔與直線垂直的直線系方程為過直線和的交點的直線系的方程為：〔不含典例分析〔一例1：已知3a+2b=1,求證：直線ax+by+2<x-y>-1=0過定點,并求該定點坐標.思路一：由3a+2b=1得:b=EQ\f<1,2><1-3a>代入直線系方程ax+by+2<x-y>-1=0整理得<2x–EQ\f<3,2>y-1>+a<x-EQ\f<3,2>y>=0由,得交點<1,EQ\F<2,3>>∴直線過定點<1,EQ\F<2,3>>.思路二：賦值法令a=0得b=EQ\F<1,2>得L1:2x-EQ\f<3,2>y-1=0令b=0得a=EQ\F<1,3>得L2:x–EQ\f<3,2>y=0由,得交點<1,EQ\F<2,3>>把交點坐標代入原直線方程左邊得:左邊=EQ\f<1,3><3a+2b-1>∵3a+2b-1=0∴左邊=0這說明只要3a+2b-1=0原直線過定點<1,EQ\F<2,3>>.例2:求證:無論λ為何值,直線<2+λ>x-<1+λ>y-2<3+2λ>=0與點P<-2,2>的距離d都小于4EQ\r<,2>.證明：將直線方程按參數λ整理得<2x-y-6>+λ<x-y-4>=0故該直線系恒過二直線2x-y-6=0和x-y-4=0的交點M易解得M<2,-2>求得|PM|=4EQ\r<,2>所以d≤4EQ\r<,2>而過點M垂直PM的直線方程為x-y-4=0,又無論λ為何值,題設直線系方程都不可能表示直線x-y-4=0∴d<4EQ\r<,2>[注]此題若按常規思路,運用點距公式求解,則運算量很大,難算結果,運用直線系過定點巧妙獲解.例題：例3、〔1證明直線l過定點；〔2若直線l交x軸負半軸于A.交y軸正半軸于B.△AOB的面積為S.求S的最小值.并求此時直線l的方程；〔3若直線不經過第四象限.求k的取值范圍。分析：〔1證直線系過定點.可用分離參數法。〔2求△AOB面積S的最小值.應先求出目標函數S＝f<k>.再根據目標函數的結構特征選擇最小值的求法。〔3直線不經過第四象限的充要條件是：直線在x軸上的截距小于或等于-2.在y軸上的截距大于或等于1。或由直線經過定點〔-2.1知斜率大于或等于零。解：〔1直線l的方程是：∴無論k取何值.直線總經過定點〔-2.1〔2由l的方程.得：解得：k＞0解之得：k＞0小結：本題證明直線系過定點問題所使用的"分離參數法".也是證明曲線系過定點的一般方法。例4、已知P〔1.3.直線l：x－4y＋1＝0〔1求過P且平行于l的直線l1的方程；〔2求過P且垂直于l的直線l2的方程．策略：由l1∥l的斜率關系可得＝.由l2⊥l的斜率關系得＝－4.再利用點斜式方程可求出直線l1.l2的方程．由平行直線系與垂直直線系可以求出l1.l2的方程．解法一：〔1∵直線l的斜率為且l1∥l.∴直線l1的斜率k1＝又∵l1過P〔1.3.∴l1的方程為y－3＝<x－1>.即x－4y＋11＝0．<2>∵kl≠且l2⊥l.∴直線l2的斜率為k2＝－4又∵l2過P<1.3>∴l2的方程為y－3＝－4<x－1>即4x＋y－7＝0．解法二：〔1∵l1∥l且l方程為x－4y＋1＝0∴設l1的方程為x－4y＋C＝0又∵P<1.3>在l1上∴1－4×3＋C＝0解得C＝11∴l1的方程為x－4y＋11＝0．<2>∵l2⊥l∴設l2的方程為4x＋y＋C＝0又∵l2過P〔1.3∴4×1＋3＋C＝0解得C＝－7∴l2的方程為4x＋y－7＝0．評注：一般地.利用平行直線系和垂直直線系求直線方程會給計算帶來很大方便．例5、求證：不論m為何實數.直線l：<m－1>x＋<2m－1>y＝m－5恒過一定點.策略：對于這類題目.只要找出兩條相交的直線.然后解出交點坐標即可．證法一：〔特殊值法當m＝1時.直線l的方程為y＝－4；當m＝時.直線l的方程為x＝9；∴兩直線的交點為〔9.－4.滿足直線l的方程<m－1>x＋<2m－1>y＝m－∴不論m為何實數.直線l：<m－1>x＋<2m－1>y＝m－5恒過一定點〔9.－4證法二：〔直線系法將方程<m－1>x＋<2m－1>y＝m－5整理得m<x＋2y－1>－<x＋y－5>＝解方程組得∴不論m為何實數.定點<9.－4>恒滿足方程<m－1>x＋<2m－1>y＝m－5即不論m為何實數.直線l：<m－1>x＋<2m－1>y＝m－5恒過一定點〔9.－4評注：求某直線過定點的題目.常用的兩種方法——特殊值法和直線系法．例6、求經過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P.且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程．策略：①可以先解方程組求出交點P.再利用l⊥l3求出斜率.用點斜式求l方程；②求出P點后.用垂直直線系求l方程；③先由過l1.l2的交點的直線系設出l方程.然后由l3⊥l求系數．解法一：解方程組得交點P〔0.2∵k3＝∴kl＝－由點斜式得l：y－2＝－x即4x＋3y－6＝0．解法二：設所求直線l：4x＋3y＋C＝0由解法一知：P<0.2代入方程.得C＝－6∴l：4x＋3y－6＝0．解法三：設所求直線l：<x－2y＋4>＋λ<x＋y－2>＝0整理得<λ＋1>x＋<λ－2>y－2λ＋4＝0∵l⊥l3∴3<λ＋1>－4<λ－2>＝0∴λ＝11∴l的方程為：<x－2y＋4>＋11<x＋y－2>＝0即4x＋3y－6＝0．評注：解法一是常規解法.解法二用待定系數法.解法三應用了經過兩直線交點的直線系方程.省去了求兩直線交點的解方程組的運算．利用直線系解題一、直線系的定義共點直線系方程經過兩直線的交點的直線系方程為平行直線系方程與直線垂直直線系方程與直線二、利用直線系解題例題：<一>直接應用求過點A<1.-4>且與直線平行直線方程。<課本第45頁例2><>求過點A<2,1>.且與直線垂直的直線方程。<課本第46頁例4><>求經過兩條直線和的交點.且垂直于直線的直線方程。<課本第54頁第11題第1小題><>經過兩條直線和的交點.且平行于直線的直線方程。<課本第54頁第11題第2小題><經過直線和的交點.且垂直于第一條直線的直線方程。<課本第54頁第11題第3小題><>求平行于直線且與它的距離為的直線方程。<課本第87頁第13題><或><二>間接應用當a為任意實數時.直線恒過的定點為______。解：直線的方程可以化為.由直線系的定義我們知道：直線過的點是方程組的解.這樣我們就可以知道直線過點<-2,3>。8、已知圓C：及直線證明：無論m為任何實數.直線恒與圓C相交。分析：判斷直線與圓的位置關系通常采用"法".或"比較d與r法".特別是"法"運算量往往很大.當發現直線過定點.且此定點又在圓內部時.妙解應運而生。證明：易證直線過定點M<3,2>.且 <4.即點M在圓C內.點M又在直線上.故不論m為任何實數.直線與圓C相交。9、a、b滿足什么條件時.使得對于任意實數m,直線：與曲線C：總有公共點。分析：本題雖然可以用"法"來解.但不僅運算量大<兩次使用判別式>.而且還容易忽視對二次不等式系數的討論而造成失解.如果利用直線過定點<0.b>.并使該點在橢圓C上或在其內部便可達到目的。解：易知直線：過點M<0.b>.欲使與橢圓C恒有公共點.須使點在橢圓C上或在其內部.于是有即時.對于任意實數m,直線與橢圓C恒有公共點。對稱問題是高中數學的比較重要內容.它的一般解題步驟是：1.在所求曲線上選一點；2.求出這點關于中心或軸的對稱點與之間的關系；3.利用求出曲線。直線關于直線的對稱問題是對稱問題中的較難的習題.但它的解法很多.現以一道典型習題為例給出幾種常見解法.供大家參考典例分析〔二：例1〔1求點關于直線的對稱點〔2求關于直線的對稱點〔3一張坐標紙.對折后.點A<0.4>與點B〔8.0重疊.若點C<6.8>與D〔m.n重疊.求m+n；例2：試求直線關于直線對稱的直線的方程。解法1：〔動點轉移法在上任取點.設點P關于的對稱點為.則又點P在上運動.所以.所以。即。所以直線的方程是。解法2：〔到角公式法解方程組所以直線的交點為A<1,0>設所求直線的方程為.即,由題意知.到與到的角相等.則.所以直線的方程是。解法3：〔取特殊點法由解法2知.直線的交點為A<1,0>。在上取點P〔2.1.設點P關于的對稱點的坐標為.則而點A.Q在直線上.由兩點式可求直線的方程是。解法4：〔兩點對稱法對解法3.在上取點P〔2.1.設點P關于的對稱點的坐標為Q.在上取點M〔0.1.設點P關于的對稱點的坐標為而N.Q在直線上.由兩點式可求直線的方程是。解法5：〔角平分線法由解法2知.直線的交點為A<1,0>.設所求直線的方程為：設所求直線的方程為,即.由題意知.為的角平分線.在上取點P〔0.-3.則點P到的距離相等.由點到直線距離公式.有：時為直線.故。所以直線的方程是解法6〔公式法給出一個重要定理：曲線〔或直線關于直線的對稱曲線〔或直線的方程為。

證：設是曲線上的任意一點.它關于的對稱點為.則于是。∵M與M/關于直線l對稱.∴,〔3代入〔2.得.此即為曲線的方程。解析：定理知.直線關于直線的對稱曲線的方程為：所以直線的方程是。練習：〔1求直線關于點A〔1.2對稱的直線方程；〔2求直線關于直線x=3對稱的直線方程；〔3求直線關于直線對稱的直線方程；例3〔1已知.在直線上找一點P.使最小.并求最小值；〔2已知.在直線上找一點P.使最大.并求最大值；例4光線由點A<2.3>射到直線反射.反射光線經過點B〔1.1求反射光線所在直線方程。練習：光線從射出.被x軸反射后經過點B〔3.2.求入射光線所在直線方程；光線沿著直線射向直線.求反射光線所在直線方程。直線關于直線的對稱直線方程是.求直線的傾斜角；直線和直線關于直線對稱.求直線的方程；5、一張坐標紙對折后.點A<0.2>與點B〔4.0重疊.若點C<2.3>與D〔m.n重疊.求m+n；6、求直線關于點A〔2.3對車的直線方程7、與關于直線對稱.求直線的方程；8〔選、入射光線沿直線射到x軸后反射.這時又沿著直線射到y軸.由y軸再反射沿著直線射出.求直線的方程；9〔選、直線.直線.求直線關于直線的對稱直線方程。〔三課后作業：方程表示的直線必經過點直線關于點對稱的直線方程是曲線關于直線對稱的曲線方程是..僅有兩個元素.則實數的范圍是求經過直線和的交點.且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程已知的頂點為.的平分線所在直線的方程分別是