高等院校非數學類本科數學課程——一元微積分學大學數學〔一〕第一講集合與映射腳本編寫、教案制作：劉楚中彭亞新鄧愛珍劉開宇孟益民第一章集合與函數本章學習要求：正確理解函數概念，能熟練求出函數的定義域。掌握函數的單調性、有界性、奇偶性、周期性的分析表示和圖形特征。正確理解初等函數、復合函數概念，能正確將復合函數進行分解。會求函數〔包括分段函數〕的反函數。了解“取整函數〞和“符號函數〞。能對常見的實際問題進行分析，建立函數關系。第一節集合與映射一、集合的根本概念二、集合的根本運算三、映射的根本概念四、實數、區間、鄰域一、集合的根本概念集合論是現代數學的根底。集合論的創始人是丹麥人康托爾〔猶太人〕，他在柏林大學學習〔工科〕期間受大數學家魏爾斯特拉斯的影響，轉而攻讀數學，最后成為一名數學家。他于1847年提出集合論，解決了當時一系列懸而未決的問題，奠定了現代數學根底。但康托爾創立集合論的過程是十分艱難的，為此他幾乎獻出了生命。這也說明如何一件新生事物的出現往往都不是一帆風順的。康托爾將集合定義為：所謂集合是把我們直觀和思維中確定的、相互間有明確區別的那些對象〔這些對象稱為元素〕作為一個整體來考慮的結果。1.集合關于集合的幾點注意：集合的元素是確切定義的，不能模糊不清。集合中的元素互不相同。當只研究一個集合時，那么可不考慮其結構，視集合中的元素一律平等。2.集合的表示法列舉法：將集合A的所有元素一一列舉出來，并用花括號括上。表示集合的方法有兩種:注意：不管用那一種方法表示集合，集合中的元素不得重復出現。有些集合可以用兩種表示法表示，此時可根據需要選擇其中的一種方法例13.子集、集合相等規定：空集是不含任何元素的集合，記為。空集是任何一個集合的子集：想到什么沒有？例24.有限集、無限集：含有有限個元素的集合稱為有限集；含有無限個元素的集合成為無限集。空集是任何一個非空集合的冪集的元素：二、集合的根本運算也有一些書將全集稱為“空間〞、“原集合〞、“萬有集合〞等。在wen圖中，用矩形表示全集。1.集合運算的概念ABABABABABABABAABB(A–B)∪B=A?一般說來,AB僅當BA時,才有ABA={1,2,3,4,5,6,7,8,9}。B={4,5,6,7,8,9}，設A={1,2,3,4,5}，那么例3B={6,7,8}，={0,1,2,6,7,8}.設A={0,1,2}，那么例4A={x|x2

2x3<0}，={x|1

x

3}.B={x|x=1,3}，設那么例5例6解={x|1<x<1或2<x<3}。故B={x|x<1或x>2}，解不等式得A={x|1<x<3}，例7交換律結合律分配律對偶律2.集合的運算性質冪等律吸收律設有集合A、B、C及全集，那么交換律：結合律：分配律：對偶律：冪等律：吸收律：其它：三、映射的根本概念1.映射注意：1)映射是集合間的一種對應關系.集合X、Y中所含的元素不一定是數，可以是其它的一些對象(或事物)。2)對每一個xX，只有唯一的一個yY

值與之對應關系不一定就是映射。對應，這一點很重要，它說明集合間元素的3)映射的定義不排除幾個不同的x

值與同一個y值對應。RfXYfy2x1x2x3y1.....設f

為集X

到集Y

的一個映射。如果xX，存在唯一的y=f(x)Y

與之對應；反過來,假設yY,存在唯一的xX使得y=f(x),那么稱f是X到Y的一一對應。2.一一對應一一對應的實質是什么？一一對應的實質其它內容請同學們自己看書1.實數集與數軸實數集為有理數集與無理數集的并.實數具有稠密性和連續性.aR，必n

Z，使n

a

<

n+1.實數與數軸上的點一一對應.四、實數、區間、鄰域2.絕對值、距離任一實數a

的絕對值|a|

定義為：數軸上任意兩點a，b

之間的距離為d=|ab|。絕對值常用的性質：3.區間(1)閉區間[a,b]={x|a

x

b}ab(2)開區間(a,b)={x|a

<x

<

b}ab。。[]()(a,b]={x|a

<

x

b}

(稱為左開右閉區間)[a,b)={x|a

x

<

b}

(稱為右開左閉區間)(3)半開閉區間ab。[)(4)無窮區間[a,+)={x|xa},(a,+)={x|x>a},(

,b]={x|x

b},(

,b)={x|x<

b},(

,+)={x|

<x<

+}={x|xR}a(+)[[a,+)(5)區間長度有限區間的長度=右端點值－左端點值不管是閉區間、開區間、半開閉區間，其長度計算均按此式進行。所有無窮區間的長度=+∞區間(－∞,2]與(1,+∞)的區間長度均為+∞.區間[1,4]與(1,4)的區間長度均為4(1)=5例8U(x0,)={x||x

x0|<,xR,>0}x0+()x0

x0xU(x0,)|x

x0|<

4.鄰域U(x0,)={x|0<|x

x0|<,xR,>0}x0+()x0

x0xU(x0,)0<|x

x0|<

點的某鄰域，記為U(x0).點

的某去心鄰域，記為?(x0).U(