變分原理基礎羅建輝2009年夏季1能量原理能量原理是以能量形式表述的力學定律。概括地說，在所有滿足一定的約束條件的可能狀態中，真實狀態應使其能量取極值或駐值。｛變分原理廣義變分原理能量表述形式<「單變量形式J函數形式(微分)多變量形式本課程討論結構力學、彈性力學、薄板的能量原理，只討論線性平衡問題。2彈性系統真實平衡狀態的能量特征舉例從能量角度看，彈性系統的真實平衡狀態具有如下的能量特征：即與其他可能狀態相比，真實狀態的能量為極值或駐值。對這一能量特征舉幾個簡例。例0-1.彈簧系統真實平衡狀態的能量特征圖0-1所示為一彈簧下端掛一重物。彈簧的剛度系數為k，重物的重力為p。用△表示位移，當彈簧系統處于平衡狀態時，求得位移△的真解為p(△)真解=△o=?真解的能量特征是彈簧系統的勢能np為極小?，F檢驗如下：np式(2)右邊第一項是彈簧的應變能移△的二次式。由式(2)得=-np式(2)右邊第一項是彈簧的應變能移△的二次式。由式(2)得2第二項是重力p的勢能。系統勢能np是位n=-k(△-

n=-k(△-

p2現考察真解的能量特征。顯然，真解(1)使勢能n取極小值。換一個角度，求np的一階及二階導數，得將真解(1)代入式(4)，得竺將真解(1)代入式(4)，得竺dn—p=k△—pd△d2np=k>0d△2故知勢能n為駐值。根據式(5)，又知勢能npp(4)(5)為極小值。例0-2超靜定梁真實平衡狀態的能量特征圖0-2a所示為一超靜定梁，取圖0-2b所示靜定梁為其基本結構。根據平衡條件，基本結構的彎矩可表示為TOC\o"1-5"\h\zM=MX+M (6)其中m是在荷載作用下基本結構的彎矩，Ml1是在單位多余力X1=1作用下基本結構的彎矩，X是任意值。 1式(6)同時也是超靜定梁滿足平衡條件的可能彎矩，由于％是任意參數，因此超靜定梁的可能彎矩尚未唯一確定。為了確定X的真解，還必須應用變形協調條件511(X1)真解+氣=0 (7)式中(8)EI5=JM^dx11 EI試驗證真解的能量特征是梁的余能口為極小值，余能口的表示式為n=jM2dx=j1(MX+M)2dx

c2EI 2EI 11p余能n是X1的二次函數，由式(9)得n=1j—(M2X2+2MMX+M2)dx2EI11 1p1pjM2dxjMMdxjM2dx(10)1 El 1EI EI(10)M2dx=~[5X2+2AX+j—p—]11 1 1p1EI=—(5X+A)2-A2+5j些］25 111 1p1p11EI由式(10)可知變形協調條件(7)使余能口取極小值。換一個角度，求n的一階及二階導數，得 C Cdn^=j—dn^=j—(MX+dX1EI11d2n .=511>01由于真解滿足式(7)，代入式(11)，(12)，又知余能n為極小值。M)M1dx=511X1+A1得土=0，故知余能n為駐值。1(11)(12)根據式3基本能量原理兩個基本原理：最小勢能原理和最小余能原理。對應于結構力學中的位移法和力法兩種基本解法對應于彈性力學中的位移法和力法兩種基本解法最小勢能原理一一在彈性平衡問題中，與一切滿足位移邊界條件（包括幾何方程和位移邊界條件）的可能位移相比，真實位移使勢能為極小值。最小余能原理一一在幾何連續問題中，與一切滿足平衡條件（包括平衡微分程和外力邊界條件）的可能應力（或可能內力）相比，真實應力（或真實內力）使余能為極小值?；灸芰吭硖岢龅米钤纾鸪跏菑奈锢砀拍钌献匀惶岢龅?，也稱為自然能量原理。其中的最小勢能原理以位移為基本變量，最小余能原理以應力為基本變量。總之，基本能量原理是取單類變量（位移或應力）作為基本變量的能量原理。4廣義變分原理結構力學和彈性力學中的混合解法其基本變量是混合型的，例如混合選取位移修｝和應力｛曰作為基本變量，又如混合選取位移修｝、應變｛￡｝、應力Q｝作為基本變量。總之，在混合解法中所選取的基本變量不是單類變量，而是多類變量。廣義變分原理與之對應，在能量原理中也有混合變分原理，也稱多類變量變分原理，也稱廣義變分原理，由基本能量原理推廣而得到的能量原理。廣義變分原理中最常用的有兩個，即Hellinger-Reissner變分原理（H—R原理）和胡海昌一鷲津變分原理（H—W原理）。其中H—R原理以位移修｝和應力｛曰作為基本變量，H—W原理以位移｛U｝、應變伍｝、應力｛曰作為基本變量。由基本能量原理推廣而得到的能量原理。5能量原理的外部和內部的對應關系學習能量原理時，要注意左右溝通、前后呼應，清晰地了解其中的經緯脈絡和來龍去脈?，F指出以下幾種對應關系，包括與其他學科之間的關系以及內部內容之間的關系。能量原理與泛函變分原理的對應關系本書討論彈性結構靜力分析的能量原理。與它相關的學科還有結構動力分析的哈密爾頓原理，塑性力學的變分原理，流體力學某些問題的變分原理，最優控制問題的變分原理。這些屬于不同學科的原理各具特色，但在數學上都歸屬于泛函變分原理。這里是個別與一般、具體與抽象的關系。學習能量原理時要與泛函變分原理相聯系，借鑒其通用的概念和方法，擴大視野。（外部）能量變分形式與微分方程形式的等價關系討論彈性結構靜力分析問題有兩種表達形式。通常作法是用微分方程和邊界條件來表述，屬于微分方程形式。另一作法是用能量極值或駐值問題來表述，屬于能量變分形式。在一定條件下，能量變分形式與微分方程形式是等價的。要了解兩種形式的等價性及其適用條件。對兩種形式要進行溝通，由此及彼，能進能出。還要比較其異同，了解其優點和缺點。（內部）能量解法與傳統解法的對偶關系在傳統解法中，我們學過位移法、力法和混合法。在能量解法中，分別由勢能原理、余能原理和廣義變分原理導出的解法實際上與位移法、力法、混合法是等價的。它們之間形成一種對偶關系。運用對偶關系來學習能量原理，將收到事半功倍、學一知二的效果。（內部）能量變分原理與近似解法（里茲法、有限元法）的源流關系有限元已經發展為廣泛采用的工程分析工具，而能量原理是其理論基礎。有限元的發展離不開能量原理的指導，也豐富了原理的內容。它們之間是源與流的關系。欣賞源時要遠望著流，欣賞流時要上溯到源。各類能量原理之間的變換關系能量原理有多種類型，本書主要介紹其中四類，即最小勢能、余能原理，H-R和H-W原理。它們都歸結為各自的能量駐值條件，可用統一形式來表述。既要了解四類能量原理的各自特點，又要了解它們之間的相互關系，特別是由此及彼的變換關系。把四類能量原理編成一個網，四通八達。這樣掌握的知識才能靈活駕取，運用自如。參考文獻[1]胡海昌，彈性力學的變分原理及其應用，科學出版社，1981。⑵錢偉長，變分法及有限元（上冊），科學出版社，1980。WashizuK.,VariationalMethodsinElasticityandPlasticity,PergamonPress,1968,1975,1982（1,2,3版）龍馭球，包世華.結構力學教程（II）.北京：高等教育出版社,2001卓永壽.彈塑性力學中的廣義變分原理：2002年，第2版熊祝華，劉子廷.彈性力學變分原理：1988年羅建輝.彈性力學求解體系研究.湖南大學博士學位論文：2003年龍馭球，變分原理?有限元?殼體分析，遼寧科技出版社，1987。彭旭麟，羅汝梅，變分法及其應用，華中工學院出版社，1983。第一章變分原理的基本概念——能量原理與泛函變分原理的對應關系、泛函、變分的概念從數學角度看，能量原理屬于泛函變分原理。前者是典型的力學范例，后者是一般的數學形式。為了說明數學概念的物理背景，我們結合梁的最小勢能原理這個簡例，引出泛函、變分和變分方法等概念。1一個簡例一一梁的最小勢能原理例1—1梁的最小勢能原理圖1—1所示為一等截面簡支梁，其抗彎剛度EI為常數，梁上有分布荷載q(x)作用。按位移法求解。以撓度函數v(x)作為基本變量，求v(x)的真解。首先介紹通常作法。由基本變量v⑴可導出曲率k和彎矩M表示式d2vk=一dx2d2vM=一EIdx2(13)利用平衡微分方程，可得到關于v的控制微分方程：EId4V一q=0(14)邊界條件分為兩類，dx4位移邊界條件為x=0,v=0(15)力的邊界條件為x=l,v=0d2vx=0,M=一EI =0dx2(16)x=l,M=—EI =0dx2根據微分方程(13)以及邊界條件(14)和(15)即可求出v⑴。其次介紹能量法。這里按最小勢能原理來敘述。

按照位移法思路，仍以撓度v⑴作為基本變量。令v⑴事先滿足位移邊界條件(14)。隱含了位移的連續性。這種位移稱為可能位移。寫出彈性系統的勢能口寫出彈性系統的勢能口的表達式，分組成： "n由梁的應變能〃和荷載的勢能u兩部dx=-jdx=-jqvdx0(17a)(17b)EI2-qvEI2-qvdx(17c)在各種可能位移中，真實位移使勢能為極小值n=極值真實位移即由勢能極值條件求出。2由能量引出泛函的概念力學中的能量駐值原理，在數學中概括為泛函變分原理。首先介紹泛函的概念，并與函數的概念加以比較。式(17)中的三個能量u，Up和n有一個共同特點，它們的值都依賴于所選取的函數v(x)。每給定一個函數v二，就可確定它們的一個對應值，這是一種函數與變量之間的對應關系，自變量是函數，因變量是變量。這種對應關系叫做泛函關系，而稱u,u和n為泛函，即以函數集｛v(x)｝為定義域的三個泛函，分別記為U[v(x)],U[v(x)]和n[v(x)]。一般來說，設｛v(x)｝是已給的函數集。如果對其中任一函數v(x)，n恒有某個確定的值與之對應，則稱n是依賴于｛v(x)｝的一個泛函，記為n[v(x)]。換句話說，泛函n是依賴于函數v(x)的函數，簡言之，是函數的函數。其中的函規頃)稱為自變函數。在上例中，撓度v扮演了兩個角色：在同一個撓度曲線上，v是坐標x的函數，v因x而變。對于能量n來說，v(x)是n的自變函數，n因v(x)而變。v(x)兼備了函數和自變函數的雙重性質。要注意泛函與函數的區別。泛函關系是函數與數之間的對應關系，而函數關系則是變量與變量之間的對應關系。泛函是函數的廣義化。在能量原理中，能量泛函都是用積分形式表達的。例如式(17)中的三個能量泛函都是如此。但是根據泛函的定義，有的泛函則不是用積分形式表達的。例如給定一組撓度函數｛v(x)｝，對其中每個v(x)，都可確定與它對應的最大撓度w:w=max[v(x)] (18)這里，w是v(x)的一個泛)函'，但不是用積分形式表達的。3自變函數的變分前已指出，自變函數v(x)具有雙重關系，V隨x而變，泛函n隨口(x)而變。

現在考慮x,v(x)和n各有微小變化時的雙重關系。微分運算，一種情況是在同一曲線v⑴上x有微小變化的情況。x的微小變化用dx表示。與之相應，函數v的相應變化為dv=v'dx。這里講的是微分運算或求導運算。變分運算另一種情況是在不同曲線之間v⑴有微小變化的情況。設由曲線v⑴變到相鄰曲線vi(x)，兩個相鄰曲線上的自變函數之差稱為自變函數的變分，記為5v或5v⑴:5v=5v(x)=v(x)—v(x) (19)這里著眼于相鄰曲線之間的變化，而不著眼1于x的變化(設x的作用不變)。同此，兩個相鄰曲線上導數v'(x)的變分，記為5…或5v，(x)(20)這里講的是變分運算。還可以考慮求導與變分的混合運算。這里有兩種不同的順序，一種是先變分再求導：(5v)'=(v—v)'=v，(x)—v'(x) (21)另一種是先求導再變分，即由式(20)表示。將式(20)與式(21)加以比較，可知(22)5v'=(5v)'(22)5、d(5v)dxdx上式表明：變分與求導這兩個運算的順序是可以交換的。4泛函數的變分式(16)中的三種能量泛函都是用積分的形式表達的?，F考慮泛函較為一般的形式，并用下列積分形式來表達：n[v]=flF(x,v,v',v")dx (23)其中被積函數f含有自變函數vOx)及其一次和二次導數。對于更一般的情況，被積函數f還可包含更高次的導數。現在考慮曲線v(x)變到另一相鄰曲線v+5v，同時，一次導數由v，變到”+5v，，二次導數由v"變到v"+5v"，泛函n[v]變到n[v+5v]:n[v+5v]=fF(x,v+5v,v'+5v',v"+5v")dx (24)這里x仍舊是在o與l之間的坐標，x的性質沒有變。由式(24)減去式(23)，得到泛函增量An如下：An=n[v+5v]—n[v]=f[F(x,v+5v,v'+5v',v"+5v")—F(x,v,v',v")]dx對兩個高階接近的相鄰曲線來講，5v,5v',5v〃都是微量。因此泛函增量An也是微量，它由不同階的微量組成，記為An=5n+52n+53n+ (26)其中：5n稱為泛函n的一階變分(有時簡稱為泛函n的變分)，由增量An中的一階微量組成。

82口稱為泛函n的二階變分，由增量An中的二階微量組成。例1-2現以式(16c)的勢能泛函口為例，試求出其各階變分。由式(16c),得 "(27)n[v]-P[v"2-qv]dx-jF(x,v,v")dxP(27)0 2 0由于被積函數F只是v及其各次導數的二次式，因此n稱為二次泛函。An=jlAn=jl-EI 。一(v"+8v)2-q(v+8v)，jldx-「旦v"2-qv1p0_202dx(28)-\\eIv"8v"-q8v]ix+P (8v")2dx0 02上式右邊第一個積分是微量8v和8v，，的一次齊次式，第二個積分是微量8v，，的二次齊次式，它們分別為一階變分8n和二階變分82n:p P(29)(30)8n=jl[EIv"8v"-q8v]dx0(29)(30)iEI一82n=J——(8v")2dx由于n是二次泛函，因此三階和三階0以上的泛函變分均為零。式(28)可表示為An=8n+82n (31)式(29)的右邊含有變分8v和8”，。利用分部積分公式，可設把與8v，，相關的項換成與8v相關的項。這樣式(29)的右邊就只含變分8v了。兩次應用分部積分公式，得jl(EIv")8v"dx-一jl(EIv")8v'dx+(EIv")8v'00i+(EIv")8v'0-j1(EIv")"8vdxi+(EIv")8v'0于是，式(29)可寫成8n=jkEIv")”-qEvdx+kEIv")8v'-(EIv")"8vT (32)p如果撓度v(x)是可能位移，事先已經滿足位移邊界條件(15)0，則變分8v在梁的兩端也等于零：(33)(34)8v(33)(34)8v\-0代入式(32)后，8n最后可寫成pTOC\o"1-5"\h\z8n-jl(EIvIV—q)8vdx+(EIv")8v'l

p0 05泛函的極值條件回憶起函數f(x)在x-x0處為極小值的條件。首先廣 、 f，(x)-0 (在x-x0處) (35)f'(x)-0f〃(x)>0 (在x-x處) (36)是充分條件。 0求泛函n[v(盼]在v(x)=v0(x)處為極小值的條件也可類似地表述如下。首先廣 5n=0 (在v(x)=v0(x)處) (37)5n=052n>0 (在v(x)=v0(x)處) (38)例1—3試導出例5中勢能泛函n的極值條件。首先看必要條件5n=0。由式(34)，得5n=F(EIvIV—q)5vdx+(Elv")5v'：=0 (39)由于變分5v在由x=0到x=l的范圍內為任意值，變分5v，在兩端為任意值，因此，由式(39)可導出下列微分方程：EIvIV—q=0 (0<x<l) (a)和邊界條件EIv"=-M=0 (在x=0和x=l處) (b)這里式(a)即用位移v表示的平衡微分方程(14)，式(b)即用位移表示的內力邊界條件(16)。由此看出，泛函變分條件5n=0等價于微分方程(14)和邊界條件(16)。由于位移v⑴是可能位移，事先已經滿足位移邊界條件(15)。如果再滿足5n=0，則位移v(x)已經滿足全部方程(14)，(15)和(16)，因而v(x)即為所求的真P解。其次，再看泛函的二階變分52n。由于變分5v滿足邊界條件(33)，因此5v不可能是剛體位移，而5v""不可能恒等于零。由式(30)可知，對于任意非零的5v""，恒有52n>0因此，根據式(38)，可知真解v")使能量泛函np為極小值。6小結本節將力學問題表述為求能量極值問題，并在數學上表述為求泛函極值問題，再進一步歸結為泛函變分條件：5n=0。本課程實際上是進行翻譯工作。把能量翻譯成泛函，把能量極值條件翻譯成泛函極值條件和泛函變分條件，把力學上的能量原理翻譯成數學上的泛函變分原理。這里有兩個作用：將典型范例引伸為一般形式，將抽象形式賦予以物理背景。在學習泛函變分原理時作適當的類比是有益的：例如泛函與函數，變分與微分，泛函極值與函數極值，二者有相似處，更要注意二者的區別。第二章能量變分形式與微分方程形式的等價關系1能量變分形式與微分方程形式的等價關系由上一章的例題可以看出，從能量變分方程出發，可以導出微分方程和邊界條。反過來，從微分方程和邊界條件出發，也可以導出能量變分方程。由此得出結論：能量變分形式與微分方程形式之間存在等價關系。本節將上述具體問題引出的結論推廣為一般性結論：從泛函變分形式5n-0出發，可以導出相應的微分方程形式，其中導出的微分方程稱為歐拉方程，其中導出的邊界條件稱為自然邊界條件。反過來，從微分方程形式出發，在一定條件下，也可以導出相應的泛函變分形式5n=0。注意，在論述反問題時，這里加了“在一定條件下”這樣的限制。在討論等價關系之前，先介紹一個預備定理。預備定理 設f⑴是線段［0,1］上的連續函數。如果對任意連續函數g(X)，恒有TOC\o"1-5"\h\zPf(x)(g(x)dx=0 (40)則在［0,l］上f(x)三0。證：用反證法。先設f⑴不恒等于零。此時，如取g⑴=f⑴，貝UPf(x)g(x)dx=Pf2(x)dx>0 (41)0 0與原假設矛盾。因此必須f(x)恒等于零。證畢。2由泛函變分形式導出相應的微分方程形式設泛函變分條件為5n=0 (42)其中泛函的表達式為n［V］=PlF(x,v,v:v")dx (43)0又設邊界條件為V(0)=V0，V(l)=Vi (44)因此，邊界處的變分5v均為零，即5v(0)=0，5v(l)=0 (45)現從變分條件(42)出發，導出其微分方程形式，包括歐拉方程和自然邊界條件。第一步，求一階變分5n的表達式。一階變分5n是由泛函增量An中的一階微量組成。泛函增量公式(25)可寫成

其中An=其中An=』久Fdx0(46)AF=F(x,v+5v,v'+5v',v"+5v")-F(x,v,v',v") (47)這里考慮自變函數變到相鄰自變函數時，v變到v+5v，v，變到v，+5v，v，，變到v"+5v”，而x的作用不變，仍舊是[0,/]區間的坐標。把F(x,v,v，,M看作多變量函數，根據泰勒公式，AF可寫成AF=[FvAF=[Fv5v+Fv5v，+、5v〃]+二階以上微量項上式右邊括孤內的項是一階”微量項:因此，一階變分5n應為5n=05v?+F“5v"ldx

v(48)(49)應用分部積分公式:J1F，5v'dx=-J10vJ1F",5v"dxJ1F",5v"dx=J10v/d\

dF,,、dxv/5v'dx+F’5v，l0(d2 ](d 、lF[dx2vj5vdx-—F〃5vJ|0+(F〃5v')0I0=』l0代入式(49)，得+(Fv"5v，y(50)5n=J1(F-~F+——F)5vdx+(+(Fv"5v，y(50)TOC\o"1-5"\h\z0vdxv，dx2v v， dxv" 0第二步，應用邊界條件(45)，則式(50)簡化為5n=J1 (F -—F + -^―F )5vdx + (F 5v') 1 (51)0vdxv'dx2v" v" 0第三步，將上式代入變分條件(42)，得J1(F-d~Fv，+ fJ5vdx+(F8v')0=0 (52)根據預備定理，由于在[0,0]區域內5v是任意函數，又在x=0和x=1邊界處，5v，是任意值，因此，由式(52)可導出下列微分方程(0<x<1)(53)(54)導出的邊界條F(0<x<1)(53)(54)導出的邊界條vdxvdx2v以及下列邊界條件FV"=0 (x=0和，=1)由變分條件5n=0導出的微分方程(53)稱為泛函n相應的歐拉方程，件(54)稱為自然邊界條件。注意，邊界條件(44)是強制要求自變函數v(x)事先滿足的，稱為強制邊界條件或本質邊界條件。邊界條件(54)是由變分條件5n=0自然導出的，稱為自然條件。二者的區別在于：一個是事先強制要求的，是應用變分原理的前提；另一個是事后自然導出的，是包含在變分條件5n=0中的應用之義。以上以式(43)所示泛函和式(44)所示本質邊界條件為例，從變分形式5n=0出

發，導出了相應的微分方程形式，包括歐拉方程(53)和自然邊界條件(54)。對于其他更復雜的變分問題，也可用同樣的步驟推導出相應的歐拉方程和自然邊界條件。重要的是掌握一套推導方法，并能用于處理各類變分問題。3由微分方程形式導出相應的泛函變分形式這是上述問題的反問題。設已給出一個線性微分方程L(v)=0 (55)其中l是一個線性微分算子?，F擬反求一個泛函口，使微分方程(55)成為泛函n的歐拉方程。反問題比較復雜，本課程先粗略地提出幾點。首先，并不是任何一個線性微分方程(55)都存在以它為歐拉方程的泛函n。其次，與所給微分方程對應的泛函未必是唯一的。并可寫成(56)最后，如果所給線性微分方程(55)是自伴隨微分方程，即其中的線性微分算子l是自伴隨微分算子(自伴隨也叫自共軛)，則相應的泛函n并可寫成(56)n=j—vL(v)dx+b.t.2這里的bt表示邊界項。下面只就上述最后一點作進一步說明。(1)伴隨算子(57)先看一個簡例。設有線性微分算子l:(57)L=a—+bdx現考慮l(〃)與另一函數u的乘積的積分j'uL(v)dx=Pu(avf+bv")dx進行兩次分部積分，使v的求導次數由2次降為0次，得(58)(59)PuL(v)dx=P(—aur+bu")vdx+b.t.(58)(59)L*=—ad+b土dxdx2則式(58)可寫成(60)juL(v)dx=PvL*(u)dx+b.t.0 0(60)比較上式兩邊的兩個積分項：左邊是對v求導，算子是L；右邊變為對u求導，算子變為L*。算子L*就稱為L的伴隨算子。由式(57)和(59)看出，l與L*一般并不相等。(2)自伴隨算子如果算子l與其伴隨算子L*相等：L=L* (6D則l稱為自伴隨算子。自伴隨算子相應的微分方程稱為自伴隨微分方程。

將式(61)代入式(60)可知，如果L是自伴隨算子，則下式成立PuL(v)dx=將式(61)代入式(60)可知，如果L是自伴隨算子，則下式成立PuL(v)dx=PvL(u)dx+b.t.

0 0前已指出，式(57)所示算子l一般不是自伴隨算子。如令其中的.為零，(62)則算子l=b上是自伴隨算子。dx2還可指出，采用位移法求解薄梁、厚梁、薄板、厚板、二維和三維彈性力學問題時，位移法控制微分方程都是自伴隨微分方程。對于應力法和混合法的情況，可以自行研討。⑶自伴隨微分方程相應的泛函定理：如果線性微分方程(55)是自伴隨微分方程，其算子l是自伴隨算子，滿足式(62)，則其相應的泛函(即以(55)為歐拉方程的泛函)恒存在，且可用式(56)表示。驗證如下：對于式(56)的泛函求一階變分，得f/「1…，1心、〕，.一

=JSvL(v)+vL(Sv)dx+b.t.2 2由于l是自伴隨算子，式(62)成立，故有f/ f/將上式代入式(63)，得° '(63)(64)Sn=PSvL(v)dx+b.t.由于變分Sv在［0,/］內是任意函數，因此由sn=0可導出微分方程(55)就是式(56)所示泛函的歐拉方程。驗證完畢。問題：沒有解決邊界條件問題。推論：設有線性微分方程L(v)+f(x)=0 (66)其中L是自伴隨微分算子，f(x)是給定函數，則以式(66)為歐拉方程的泛函為n=P~vL(v)+vfdx+b.t.2(65)L(v)=0。也就是說，(67)讀者可自行驗證。根據所給微分方程反求相應泛函的問題，式(67)給出了具體作法，但只適用于自伴隨微分方程的情況。例2-1位移法解梁的問題時的控制微分方程為式(14)，即EId4vdx4(68)試反求以式(68)作為歐拉方程的泛函n。解：將式(68)寫成其中

L=EI首先檢驗算子L是否為自伴隨算子。由于TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"f/…，f/ f/ f/L=EI首先檢驗算子L是否為自伴隨算子。由于uL(v)dx=uEIvIVdx=uIVElvdx+b.t.= vL(u)dx+b.t.因此，L是自伴隨算子。 0 0由式(67)，相應泛函應為上… ，.一(69)dx+b.t.進行兩次分部積分，得2 1EId2v2—vq,(69)dx+b.t.進行兩次分部積分，得2 1EId2v2—vq,dx2/EId4vv—vq2dx4dx+b.t.n=f10(70)式(70)就是梁的勢能泛函的表達式。因此，微分方程(68)相應的泛函就是勢能原理中的勢能量泛函。討論：式(70)是采用分部積分由式(69)導出的。如果v(x)為四次可導函數，則二者是恒等的。從表達形式上看，二者的被積函數中所含v的求導次數不同，在式(69)中的最高求導次數為4次，而在式(70)中則降為2次。為了使式(69)中的積分為可積，則其中的最高次導數Q應當處處為有限值，dx4不出現無限值(但允許在有限個點處不連續)，因此，其低一次導數心應當處處dx3連續。換句話說，v應是具有c連續性的函數。3.同理，為了使式(70)中的積分為可積，則v應是具有c連續性的函數。比較起來，從對函數v(x)的連續性要求的角度看，式(70)比(69)的要求降低了。因此，式(70)稱為弱形式。在能量原理中，能量泛函的表達式一般都采用弱形式，而不采用強形式。這是因為弱形式對連續性的要求更為合理，而強形式的要求反而是有點過份了。仍以式(69)和式(70)為例。式(70)只要求梁的彎曲應變能積分式為可積，即只要求曲率空及相應彎矩m為有限值，甚至允許m在有限個點處可以不連續，因dx2此當梁上有集中力偶荷載作用時(此時，彎矩m有不連續點)，能量原理仍可應用。反過來看，式(69)的要求就苛刻多了。進一步要求撓度v為c3連續，即要求d為連續，些和剪力q為連續。這樣，當梁上作用有集中力偶以及作用有集中荷載的dx問題都被列為不合要求的問題而拒之門外。顯然，這種過份要求是脫離實際的，是不合理的。由此看出，能量泛函表達式不采用強形式而采用弱形式，這是一種合理的選擇。

問題：強形式而采用弱形式。答案：強形式或弱形取決于如何使用變分原理。弱形式是本質的。1、考慮了彎矩、剪力、荷載的不連續性。荷載不連續性是問題的關鍵，集中荷載引起剪力的不連續性，集中力偶引起剪力的不連續性。。遇到荷載不連續性處，勢能的積分必須分段進行。結構力學的方法是正確的。3、遇到荷載不連續性的情況，即使用微分方程求解，也必須分段。這就是一種弱形式。通過虛功等效等效到節點?；蚴抢脙啥斯潭旱慕鉃樘亟?。v=7+討。討為特解。7為齊次解。例受集中荷載的梁。fljEIli(d2v、2 ]-vqdx-Fv2Vdx2Ji.n=fi0d2vd25vEI dx2dx2-v5qdx一F5vilid2vd25