2024年安徽省宿州市五校數學高三上期末教學質量檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．點為棱長是2的正方體的內切球球面上的動點，點為的中點，若滿足，則動點的軌跡的長度為（）A． B． C． D．2．某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品，其圓心角為120°，并在扇形弧上正面等距安裝7個發彩色光的小燈泡且在背面用導線相連(弧的兩端各一個，導線接頭忽略不計)，已知扇形的半徑為30厘米，則連接導線最小大致需要的長度為（）A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米3．已知函數，若，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．4．若向量，則（）A．30 B．31 C．32 D．335．要得到函數的圖象，只需將函數圖象上所有點的橫坐標（）A．伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度B．伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖像向左平移個單位長度C．縮短到原來的倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移個單位長度D．縮短到原來的倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度6．已知函數，，且，則（）A．3 B．3或7 C．5 D．5或87．將函數的圖象先向右平移個單位長度，在把所得函數圖象的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，若函數在上沒有零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．8．已知平面向量，滿足且，若對每一個確定的向量，記的最小值為，則當變化時，的最大值為（）A． B． C． D．19．若數列滿足且，則使的的值為()A． B． C． D．10．已知正項等比數列的前項和為，且，則公比的值為（）A． B．或 C． D．11．港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車，它是中國境內一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程，橋隧全長55千米．橋面為雙向六車道高速公路，大橋通行限速100km/h，現對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進行抽樣調查．畫出頻率分布直方圖（如圖），根據直方圖估計在此路段上汽車行駛速度在區間[85，90）的車輛數和行駛速度超過90km/h的頻率分別為（）A．300， B．300， C．60， D．60，12．觀察下列各式：，，，，，，，，根據以上規律，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，某市一學校位于該市火車站北偏東方向，且，已知是經過火車站的兩條互相垂直的筆直公路，CE,DF及圓弧都是學校道路，其中，，以學校為圓心，半徑為的四分之一圓弧分別與相切于點.當地政府欲投資開發區域發展經濟，其中分別在公路上，且與圓弧相切，設，的面積為.（1）求關于的函數解析式；（2）當為何值時，面積為最小，政府投資最低？14．已知數列遞增的等比數列，若，，則______.15．已知多項式滿足，則_________，__________．16．若直線與直線交于點，則長度的最大值為____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，點是直線上的動點，為定點，點為的中點，動點滿足，且，設點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點的直線交曲線于，兩點，為曲線上異于，的任意一點，直線，分別交直線于，兩點.問是否為定值？若是，求的值；若不是，請說明理由.18．（12分）在平面直角坐標系中，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，并在兩坐標系中取相同的長度單位．已知曲線C的極坐標方程為ρ＝2cosθ，直線l的參數方程為(t為參數，α為直線的傾斜角)．(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；(2)若直線l與曲線C有唯一的公共點，求角α的大小．19．（12分）如圖，兩座建筑物AB，CD的底部都在同一個水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是10m和20m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD＝60°．（1）求BC的長度；（2）在線段BC上取一點P（點P與點B，C不重合），從點P看這兩座建筑物的視角分別為∠APB＝α，∠DPC＝β，問點P在何處時，α+β最小？20．（12分）在平面直角坐標系中，已知直線l的參數方程為（t為參數），在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且與直角坐標系長度單位相同的極坐標系中，曲線C的極坐標方程是.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；（2）若直線l與曲線C相交于兩點A，B，求線段的長.21．（12分）的內角，，的對邊分別為，，，已知的面積為.（1）求；（2）若，，求的周長.22．（10分）在直角坐標系中，曲線的參數方程是（是參數），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線的極坐標方程；（2）在曲線上取一點，直線繞原點逆時針旋轉，交曲線于點，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

設的中點為，利用正方形和正方體的性質，結合線面垂直的判定定理可以證明出平面，這樣可以確定動點的軌跡，最后求出動點的軌跡的長度.【詳解】設的中點為，連接，因此有，而，而平面，，因此有平面，所以動點的軌跡平面與正方體的內切球的交線.正方體的棱長為2，所以內切球的半徑為，建立如下圖所示的以為坐標原點的空間直角坐標系：因此有，設平面的法向量為，所以有，因此到平面的距離為：，所以截面圓的半徑為：，因此動點的軌跡的長度為.故選：C【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理的應用，考查了立體幾何中軌跡問題，考查了球截面的性質，考查了空間想象能力和數學運算能力.2、B【解析】

由于實際問題中扇形弧長較小，可將導線的長視為扇形弧長，利用弧長公式計算即可.【詳解】因為弧長比較短的情況下分成6等分，所以每部分的弦長和弧長相差很小，可以用弧長近似代替弦長，故導線長度約為63(厘米).故選：B.【點睛】本題主要考查了扇形弧長的計算，屬于容易題.3、C【解析】

求出函數定義域，在定義域內確定函數的單調性，利用單調性解不等式．【詳解】由得，在時，是增函數，是增函數，是增函數，∴是增函數，∴由得，解得．故選：C.【點睛】本題考查函數的單調性，考查解函數不等式，解題關鍵是確定函數的單調性，解題時可先確定函數定義域，在定義域內求解．4、C【解析】

先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因為,所以.故選:C.【點睛】本題考查了平面向量的坐標運算,考查了學生的計算能力,屬于基礎題.5、B【解析】

分析：根據三角函數的圖象關系進行判斷即可．詳解：將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），

得到再將得到的圖象向左平移個單位長度得到故選B．點睛：本題主要考查三角函數的圖象變換，結合和的關系是解決本題的關鍵．6、B【解析】

根據函數的對稱軸以及函數值，可得結果.【詳解】函數，若，則的圖象關于對稱，又，所以或，所以的值是7或3.故選：B.【點睛】本題考查的是三角函數的概念及性質和函數的對稱性問題，屬基礎題7、A【解析】

根據y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規律，求得g（x）的解析式，根據定義域求出的范圍，再利用余弦函數的圖象和性質，求得ω的取值范圍．【詳解】函數的圖象先向右平移個單位長度，可得的圖象，再將圖象上每個點的橫坐標變為原來的倍(縱坐標不變)，得到函數的圖象，∴周期，若函數在上沒有零點，∴，∴，，解得，又，解得，當k=0時，解，當k=-1時，，可得，.故答案為：A.【點睛】本題考查函數y=Acos（ωx+φ）的圖象變換及零點問題，此類問題通常采用數形結合思想，構建不等關系式，求解可得，屬于較難題.8、B【解析】

根據題意,建立平面直角坐標系.令.為中點.由即可求得點的軌跡方程.將變形,結合及平面向量基本定理可知三點共線.由圓切線的性質可知的最小值即為到直線的距離最小值,且當與圓相切時,有最大值.利用圓的切線性質及點到直線距離公式即可求得直線方程,進而求得原點到直線的距離,即為的最大值.【詳解】根據題意,設,則由代入可得即點的軌跡方程為又因為,變形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三點共線,如下圖所示:所以的最小值即為到直線的距離最小值根據圓的切線性質可知,當與圓相切時,有最大值設切線的方程為,化簡可得由切線性質及點到直線距離公式可得,化簡可得即所以切線方程為或所以當變化時,到直線的最大值為即的最大值為故選:B【點睛】本題考查了平面向量的坐標應用,平面向量基本定理的應用,圓的軌跡方程問題,圓的切線性質及點到直線距離公式的應用,綜合性強,屬于難題.9、C【解析】因為，所以是等差數列，且公差，則，所以由題設可得，則，應選答案C．10、C【解析】

由可得，故可求的值.【詳解】因為，所以，故，因為正項等比數列，故，所以，故選C.【點睛】一般地，如果為等比數列，為其前項和，則有性質：（1）若，則；（2）公比時，則有，其中為常數且；（3）為等比數列（）且公比為.11、B【解析】

由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區間的頻率即可得到車輛數，同時利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過的頻率．【詳解】由頻率分布直方圖得：在此路段上汽車行駛速度在區間的頻率為，∴在此路段上汽車行駛速度在區間的車輛數為：，行駛速度超過的頻率為：．故選：B．【點睛】本題考查頻數、頻率的求法，考查頻率分布直方圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．12、B【解析】

每個式子的值依次構成一個數列，然后歸納出數列的遞推關系后再計算．【詳解】以及數列的應用根據題設條件，設數字，，，，，，，構成一個數列，可得數列滿足，則，，．故選：B．【點睛】本題主要考查歸納推理，解題關鍵是通過數列的項歸納出遞推關系，從而可確定數列的一些項．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）；（2）.【解析】

（1）以點為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則，在中，設，又，故，，進而表示直線的方程，由直線與圓相切構建關系化簡整理得，即可表示OA,OB，最后由三角形面積公式表示面積即可；（2）令，則，由輔助角公式和三角函數值域可求得t的取值范圍，進而對原面積的函數用含t的表達式換元，再令進行換元，并構建新的函數，由二次函數性質即可求得最小值.【詳解】解：（1）以點為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則，在中，設，又，故，.所以直線的方程為，即.因為直線與圓相切，所以.因為點在直線的上方，所以，所以式可化為，解得.所以，.所以面積為.（2）令，則，且，所以，.令，，所以在上單調遞減.所以，當，即時，取得最大值，取最小值.答：當時，面積為最小，政府投資最低.【點睛】本題考查三角函數的實際應用，應優先結合實際建立合適的數學模型，再按模型求最值，屬于難題.14、【解析】

，建立方程組，且，求出，進而求出的公比，即可求出結論.【詳解】數列遞增的等比數列，，，解得，所以的公比為，.

故答案為:.【點睛】本題考查等比數列的性質、通項公式，屬于基礎題.15、【解析】∵多項式滿足∴令，得，則∴∴該多項式的一次項系數為∴∴∴令，得故答案為5，7216、【解析】

根據題意可知,直線與直線分別過定點,且這兩條直線互相垂直,由此可知,其交點在以為直徑的圓上,結合圖形求出線段的最大值即可.【詳解】由題可知,直線可化為,所以其過定點,直線可化為,所以其過定點,且滿足,所以直線與直線互相垂直,其交點在以為直徑的圓上,作圖如下:結合圖形可知,線段的最大值為,因為為線段的中點,所以由中點坐標公式可得,所以線段的最大值為.故答案為:【點睛】本題考查過交點的直線系方程、動點的軌跡問題及點與圓的位置關系;考查數形結合思想和運算求解能力;根據圓的定義得到交點在以為直徑的圓上是求解本題的關鍵;屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）是定值，.【解析】

（1）設出M的坐標為，采用直接法求曲線的方程；（2）設AB的方程為，，,，求出AT方程，聯立直線方程得D點的坐標，同理可得E點的坐標，最后利用向量數量積算即可.【詳解】（1）設動點M的坐標為，由知∥，又在直線上，所以P點坐標為，又，點為的中點，所以，，，由得，即；（2）設直線AB的方程為，代入得，設，，則，，設，則，所以AT的直線方程為即，令，則，所以D點的坐標為，同理E點的坐標為，于是，，所以，從而，所以是定值.【點睛】本題考查了直接法求拋物線的軌跡方程、直線與拋物線位置關系中的定值問題，在處理此類問題一般要涉及根與系數的關系，本題思路簡單，但計算量比較大，是一道有一定難度的題.18、（1）當時，直線l方程為x＝－1；當時，直線l方程為y＝(x＋1)tanα；x2＋y2＝2x（2）或.【解析】

（1）對直線l的傾斜角分類討論，消去參數即可求出其普通方程；由，即可求出曲線C的直角坐標方程；（2）將直線l的參數方程代入曲線C的直角坐標方程，根據條件Δ＝0，即可求解.【詳解】(1)當時，直線l的普通方程為x＝－1；當時，消去參數得直線l的普通方程為y＝(x＋1)tanα.由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，所以x2＋y2＝2x，即為曲線C的直角坐標方程．(2)把x＝－1＋tcosα，y＝tsinα代入x2＋y2＝2x，整理得t2－4tcosα＋3＝0.由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝，所以cosα＝或cosα＝，故直線l的傾斜角α為或.【點睛】本題考查參數方程化普通方程，極坐標方程化直角坐標方程，考查直線與曲線的關系，屬于中檔題.19、（1）；（2）當BP為cm時，α+β取得最小值．【解析】

（1）作AE⊥CD，垂足為E，則CE＝10，DE＝10，設BC＝x，根據得到，解得答案.（2）設BP＝t，則，故，設，求導得到函數單調性，得到最值.【詳解】（1）作AE⊥CD，垂足為E，則CE＝10，DE＝10，設BC＝x，則，化簡得，解之得，或（舍），（2）設BP＝t，則，，設，，令f'（t）＝0，因為，得，當時，f'（t）＜0，f（t）是減函數；當時，f'（t）＞0，f（t）是增函數，所以，當時，f（t）取得最小值，即tan（α+β）取得最小值，因為恒成立，所以f（t）＜0，所以tan（α+β）＜0，，因為y＝tanx在上是增函數，所以當時，α+β取得最小值．【點睛】本題考查了三角恒等變換，利用導數求最值，意在考查學生的計算能力和應用能力.20、（1）l：，