第1講

簡易邏輯

〈教師備案〉本講側重于將簡易邏輯中的概念與原理講明白，對于講解概念涉及到的其它數學背景知識

盡量選擇簡單的，以集合、方程與不等式為主，繞開了學生不太熟悉的向量與三角函數等

知識.對于一些比較復雜的問題，我們留到同步去講，比如命題的否定與否命題之間的區

別、對充要條件的轉化等.

考點1:命題

命題是個到處可以見到的字眼，語文上有命題作文，會評價一篇作文命題新穎等等；北大門衛會

詢問每個進入北大的人的三大終極哲學命題：你是誰？你從哪里來？你要到哪里去？這些命題都不是

數學意義上的命題.

在邏輯中最重要的是二元判斷，即對真假的判斷，而二元判斷的最小承載單位就是命題，這里的

真假一般來說是指客觀的可以判斷的真假，不依賴于主觀的判斷.數學上的命題就是指可以判斷真假

的陳述句：如明天會下雨：有理數一定是實數；白馬非馬；人不可能兩次踏進同一條河流；女生愛逛

街等等都是命題.

知識點睛

1.命題：用國言、符號或式子表達的，能夠判斷真假的語句叫做命題,一般可以用一個小寫英文字母

表示，如p,q,r,.

其中判斷為真的命題叫做真命題,判斷為假的命題叫做假命題.

〈教師備案〉1.含有變量X的語句，可以用符號p(x)，式X)等表示，這類語句無法判斷真假，不是命

題.又稱為開句或條件命題.當賦予變量X某個值或一定的條件時，這些含有變量的

語句就變成命題了，如p(x):2x+6是正數，不是命題；p(-5):2x(-5)+6是正數.是

命題；對任意實數x,2x+6是正數，是命題.

2.一般來說，命題是陳述句，祈使句與疑問句都不是命題.例：下面是命題的有.

①求證：G是無理數：(2)X2+4X+4^0：

③你是高一的學生嗎？④一個正整數不是質數就是合數.

解：①祈使句，不是命題.

②不是命題：加上若xeR,則》2+4》+4>0,就是命題了.

③是疑問句，不涉及真假，不是命題.

④是假命題，正整數1既不是質數，也不是合數.

甘經典精講

【例1】★★判斷下列命題的真假.

⑴兩個無理數的乘積一定是無理數；

(2)若4。8,則A8#A；

(3)若加>1,則方程V-2》+〃/=0無實數根：

(4)已知a,6,c,deR,若a聲c且Z?fd,則a+〃wc+d；

(5)已知a,〃eR,若awl或人工1,則①一?+S一1)2片0.

【解析】⑴假命題；

⑵真命題：

⑶真命題；

(4)假命題；

⑸真命題.

命題分類及量詞引入

對命題可以有各種形式的分類，按照結構分類命題可以分成簡單命題與復合命題.

其中簡單命題只有六種形式：

①所有的S是P：②所有的S不是P：③有的S是P;④有的S不是P.

⑤a(或某個S)是P;⑥a(或某個S)不是P;

其中⑤與⑥是單稱命題；①與②是全稱命題，陳述某集合所有元素都具有某種性質；

③與④是特稱命題(又稱存在性命題)，陳述某集合中有(存在)一些元素具有某性質.

全稱命題與特稱命題都有特定的量詞——全稱量詞與存在量詞.表示“所有”的量詞是全稱量詞，

用符號V表示(英文單詞any的首字母倒著寫)；表示“有的”的量詞是存在量詞，并用符號三表示(英

文單詞exist的首字母倒著寫).

考點2：量詞

知識點睛

1.全稱量詞：短語“所有”、"一切”、"每一個”,在陳述中表示所述事物的全體,邏輯中通常叫做全

稱量詞，并用符號"V”表示.

全稱命題：含有全稱量詞的命題.

如：一切反動派都是紙老虎；每一個人都是獨一無二的；所有的矩形都是正方形.

全稱命題的符號：''對集合"中所有x,p(x)“記為：VxeM,p(x).

其中p(x)表示含有變量x的語句，如x>0,1+1=0等.

如：VxeR?x2+1>0；Vx>0,=x.

〈教師備案〉只要是表示全體的量詞，不管怎么敘述，都是全稱量詞.省略量詞的如果是對某一群體進

行描述的，一般都是全稱命題.如山下的女人是老虎、人應該好好學習、實數的平方非負

等等.

2

2.存在量詞：短語“有一個”、“有些”、，，至少有一個，，在陳述中表示所述事件的個體或部分,邏輯中

通常叫做存在量詞,并用符號‘勺”表示.

存在性命題：含有存在量詞的命題就叫做存在性命題，又叫特稱命題.

如：有些人活著，他已經死了；至少有一種魚不是用腮呼吸的.

存在性命題的符號：“存在集合M中的元素x,q(x)”記為：HreM,q(x).

如：3x>0,x2<x；3x,yeR.(x-1)2+(y-l)2=0.

〈教師備案〉注意數學中的“有一些”、"有些”只表示存在，不表示“多于一”.如有些實數沒有倒數是真

命題，雖然只有一個數——零沒有倒數.

j經典精講

【鋪墊】用量詞符號表示下列命題，并判斷下列命題的真假.

⑴存在一對實數4,6,使4+b<0成立；

⑵有理數X的平方仍為有理數；

⑶實數的平方大于0.

【解析】⑴加"eR,a2+b<0-,真命題；

(2)VxeQ,x2eQ：真命題；

(3)VxeR,x2>0：假命題.

【例2】★★判斷下列命題是全稱命題還是存在性命題，并判斷真假.

(1)xeR時，2x+l是整數；

⑵對所有的實數x,x>3；

⑶單位向量都相等；

(4)末位是0的整數，可以被2整除；

⑸角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；

⑹對任意一個整數x,2/+1為奇數；

⑺有的實數是無限不循環小數；

(8)有些三角形不是等腰三角形；

(9)有的菱形是正方形.

【解析】(1)~⑹是全稱命題，⑺?⑼是存在性命題，⑷~⑼是真命題，⑴⑵⑶是假命題.

提高班學案I

【拓1】命題“VxeR,+恒成立"是假命題，則實數a的取值范圍是()

A.a<0或a?3B.“W0或aN3C.a<0或a>3D.0<a<3

【解析】A

提高班學案2

【拓1】判斷下列命題是全稱命題還是存在性命題，并判斷真假.

(1)x€R且xwE,AeZ時，sinx■!——-—》2;

sinx

⑵去€{X|X是無理數},Y是無理數；

⑶存在一對實數x,y,使2x+3y+3>0成立；

(4)對任意實數無，y,有f+y2>y_l成立.

【解析】⑴全稱命題，假命題；

⑵存在性命題，真命題；

⑶存在性命題，真命題；

(4)全稱命題，真命題.

復合命題

上一節我們說過簡單命題只有六種形式，簡單命題是指不包含其他命題作為其組成部分的命題，

即在結構上不能再分解出其他命題的命題.它可以分成兩類，一類是性質命題，如：金屬是導電的；

有些花是紅的：所有的自然數都是非負數：另一類是關系命題，這類命題不限于一個主項，謂項反映

的是主動之間存在的關系，如：武漢位于北京與長沙之間；張三和李四是同學；所有的單位向量模長

都相等；簡單命題的真假判斷不能依靠命題邏輯推理，只能依據客觀事實或生活經驗自行判斷.

通過一些聯結詞把一些簡單命題組成為更復合的命題，在日常語言中，這類聯結詞有：

⑴并且，然后，不但…而且…，雖然…但是…，既不…也不…；

⑵或者…或者…，也許…也許…，要么…要么…；

⑶如果…那么，只要…就…，一旦…就…，只有…才…，不…就不…，…除非…；

(4)當且僅當，如果…那么…并且只有…才…；

⑸并非，并不是.

因為它們聯結的是命題，故我們稱它們為命題聯結詞，也稱為邏輯聯結詞.為簡單起見，我們用“且”

作為第一類聯結詞的代表，用“或”作為第二類聯結詞的代表；用“如果(或若)則…”作為第三類聯

結詞的代表；用“當且僅當”作為第四類聯結詞的代表；用“非”表示第五類聯結詞的代表.通過這些聯結

詞，我們可以由一個個命題，如“櫻桃紅了”、“芭蕉綠了”，組成更復合的命題，例如：

櫻桃紅了并且芭蕉綠了.

櫻桃紅了或者芭蕉綠了.

如果櫻桃紅了，那么芭蕉綠了.

只有櫻桃紅了，才芭蕉綠了.

櫻才光紅了，當且僅當，芭蕉綠了.

并非櫻桃紅了.

我們先看⑴⑵⑸對應的邏輯聯結詞，下一板塊我們再學習⑶對應的命題的四種命題形式：最后我

們看⑷對應的充要條件的相關知識.

1.2邏里關竺了

考點3：邏輯聯結詞

知識點睛

“且”的引入

4

看下面的命題：

①魯迅既是文學家，又是思想家.

②天下雨，路又滑.

③他大發一通脾氣，然后氣沖沖地走了.

④李逵不但沒有跪下，反而把腰桿挺得更直.

這些分別表示并列、承接、轉折、遞進關系的復合命題，都被稱為聯言命題，有時，在自然語言

中，表示對偶、對比、排比關系的句子也常常省略掉聯結詞，如：紅了櫻桃，綠了芭蕉；鳥宿池邊樹，

僧敲月下門；富貴不能淫，貧賤不能移，威武不能屈.這些都是自然語言中的聯言命題.我們把“"且

二'看作它的標準表示形式，并稱〃，q為支命題.

對于兩個命題〃，q,用“且”聯結起來，就得到一個新的命題，記為〃八g,讀作“p且（?”.

在自然語言中，聯言命題表達了支命題之間在內容、意義、甚至語氣上的相互關聯，邏輯不能處

理這些相互關聯，只研究支命題與復合命題在真假方面的相互關聯.對于聯言命題，只有它的各個支

命題都是真的，它本身才是真的；如果有一個支命題為假，則聯言命題為假.即只有p,q都是真命題

時，才是真命題.只要〃，夕中有假命題，就是假命題.

例如：小張既高又胖，只有在小張高和小張胖都真的情況下才是真的，在其余情況下都是假的.

一、邏輯聯結詞：且（A）、或（V）、非（「）.

1.且：用邏輯聯結詞“且“把命題p和q聯結起來，就得到一個新命題，記作讀作“p且4”.

可以用“且''定義集合的交集：AB={X|（XCA）A（XWB）}.

〈教師備案〉邏輯聯結詞“且''是由日常語言中的“并且“、“及"與“和“抽象出來的，但含義并不完全相

同.在日常語言中，這些聯結詞聯結起來的語句中，明顯為假的支語句會被排斥，而且往

往它的順序是不能隨意顛倒的，而且常常有一些聯系，如“他獲得了奧運會的金牌，并且

參加了奧運會”在邏輯上可接受的命題，但它對日常思維來說卻是不恰當的.同樣地，“他

參加了亞運會，并且雪是白的”在邏輯上可以為真，但是在日常生活中不會被使用.

如果被使用起來，往往蘊含深意.

有一個故事說的是德國詩人海涅，他因為是猶太人，在當時常常遭人恥笑和攻擊.

一次，一位學者對他說:“我最近剛從塔希提島旅行回來，你猜最使我驚訝的是什么？

——這個島上既沒有猶太人，也沒有驢子！”

海涅立即回敬道：“我倆一起到那島上去，那就既有猶太人，又有驢子了！”

“或”的引入

看下面的命題：

①一個三角形，要么是直角三角形，要么是斜三角形.

②不是老虎吃掉武松，就是武松打死老虎.

③藝術作品質量差，也許由于內容不好，也許由于形式不好.

④小張學習成績不理想或因學習方法不對，或因不努力.

⑤病人或失業者可以停付保險費.

這些命題是借助"或者”這類聯結詞聯結兩個支命題，稱為選言命題.選言命題分為相容選言命題

和不相容選言命題兩類.如上面的①②是不相容選言命題，兩個支命題（又稱選言支）互相排斥，不

能同時為真，且二者必居其一.③④⑤是相容選言命題，至少有一種存在，也可以同時存在.

在數學上，我們研究相容選言命題，各個選言支并不相互排斥，可以同時為真.只要有一個選言

支為真，相容選言命題就為真；如果所有選言支都假，則相容選言命題為假.

對于兩個命題p,q,用“或''聯結起來，就得到一個選言命題，記為p7q,讀作“p或4”.

如果/?,q兩個命題中，至少有一個是真命題（包括：0對g錯，p錯q對，對g對），則pvq

是真命題.如果pvq是假命題，則/?,q一定都是假命題.

如：自然數x或者是偶數或者是奇數.只有在自然數x既不是偶數與不是奇數的情況下才是假的.所

以這個命題一定是恒真的.

2.或：用邏輯聯結詞“或”把命題p或q聯結起來，就得到一個新命題，記作pyq,讀作“p或小，

可以用“或"定義集合的并集：A38={x|(xeA)v(xeB)}.

“非”的引入

除了聯言命題與選言命題外，還有一類命題稱之為負命題，是由否定一個命題而得到的命題.用

聯結詞「(讀作“非”或“否定”)表示，對命題p的否定記作f.“非”的意義是由日常語言中的“不是”、“全

盤否定”、”問題的反面”等抽象而來.非命題滿足：

(1)與一/7的真假性一定不同.〃真，則一/?假；〃假，則一/，真.

(2)TrP)=P成立，即雙重否定等于肯定.如：他不可能不是師哥，意思是他是帥哥.

例：命題"表示：甲是帥哥；則一/>表示：甲不是帥哥：

命題〃：所有的男人都很勇敢；力：不是所有男人都很勇敢，也就是有些男人不勇敢.

命題〃：不是所有的牛奶都叫特侖蘇.：所有牛奶都叫特侖蘇.

3.非：一般地，對命題〃加以否定，就得到一個新的命題，記作二巳，讀作“非p”或"p的否定

可以用"非''來定義集合A在全集U中的補集：6A={xeU|T_reA)}={xeU|x￡A}.

4.不含邏輯聯結詞的命題稱為簡單命題，含有邏輯聯結詞的命題稱為復合命題.

〈教師備案>1.復合命題的真假判斷有真值表如下：

PQP2p~q

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

2.常用的下面詞語與它的否定詞:

正面

等于大于小于是都是都不是至少有一個至多有一個

詞語

至少有

否定不等于不大于不小于不是不都是一個也沒有至少有兩個

一個是

3.對聯言命題與選言命題的否定我們放到同步再講.

二、全稱命題與存在性命題的否定：

1.存在性命題的否定：

存在性命題p：BxeA,p(x);它的否定是力：VxeA,「p(x).

將存在量詞變為全稱量詞，再否定它的性質.

2.全稱命題的否定：

全稱命題q：VxeA,q(x);它的否定是r7：3xeA,->q(x).

將全稱量詞變為存在量詞，再否定它的性質.

練習區給出下列命題的否定：

(DVx>0.x2+2x+l>0；⑵3xW0,x2+2x+l<0.

⑶有些三角形不是直角三角形；⑷有些三角形是直角三角形；

⑸所有的質數都是奇數；⑹質數不都是奇數.

宣(l)3x>0,X2+2X+1<0:⑵VXWO,X2+2X+1>0.

⑶所有三角形都是直角三角形.⑷所有的三角形都不是直角三角形.

⑸存在一些質數不是奇數.(6)所有質數都是奇數.

〈教師備案〉我們只研究前面提到的簡單命題的六種形式的否定.即以下六種命題的否定.

①所有的S是P;②所有的S不是P;③有的S是P;④有的S不是P.

⑤a(或某個S)是P;⑥a(或某個S)不是P.

有些全稱命題會省略全稱量詞，如女人愛逛街，指得是：所有的女人都愛逛街；所以它的

否定為：有些女人不愛逛街.再如：若X>0,則％2>0；可以轉化為：對Vx>0,有*2>0,

再否定就簡單了.

經典精講

【例3】⑴內下列各組命題中，滿足“p或夕”為真、“〃且二'為假，“非〃”為真的是()

A.p：0=0:q：Oe0

B.p：在AABC中，若cos2A=cos23,則A=3；

q：y=sinx在(0,上是增函數.

C.p：a+b^2x[ab(a,eR)；q：不等式>x的解集是(Y?,0)

D.p：對任意實數x,y,有/+y2>x-l成立；q：Vxe{-1,0,1},2x+l>0

⑵★★甲、乙兩人參加一次競賽，設命題〃是“甲獲獎”，命題夕是“乙獲獎”，試用p,q及邏

輯聯結詞”且“、”或”、"非”表示：

①兩人都獲獎；②兩人都未獲獎；

③至少有一人獲獎；④恰有一人獲獎.

【解析】⑴C

⑵①p八g;

②(->p)A(r)；

③pvq;

④([pAg)vsAR).

【點評】④也是對②中情況的否定，故也可表示為TJp)人(M)),故容易知道pvq=T(-iP)人Jq)),

也即TpVq)=(->/?)A(->4).

尖子班學案1

【拓2】在下邊的橫線上填上真命題或假命題.

(1)若命題與命題""都是真命題，那么是；—p/\q是;

(2)若命題"—p或r"是假命題，那么p△夕是；prq是；—/?是

【解析】⑴假命題，真命題；

⑵真命題，真命題，假命題.

目標班學案1

【拓3】已知命題p：關于x的不等式卜-2006|+k-2008|>。恒成立；命題q：關于x的函數

y=log“（2-or）在［0,1］上是減函數.若pvq為真命題，"Aq為假命題，則實數。的取值范

圍是.

【解析】

上面我們看了由“或“、“且"、"非’'三種邏輯聯結詞構成的三類復合命題：聯言命題、選言命題與負

命題.下面我們研究一類由“如果…則…”聯結起來的復合命題，我們稱之為條件命題（又稱為假言命

題）.這類命題中有條件〃與結論q,條件命題斷定了條件與結論之間的某種關系，記為pfq.

板塊1.3研究對條件與結論進行否定以及互換后對應的四種命題形式；板塊1.4研究條件與結論之

間的關系，將條件命題分為充分條件、必要條件與充要條件三類.

條件命題在自然語言中的表述形式非常多，指出下面條件命題的條件與結論：

⑴只要勤奮耕耘，就會有所收獲；

⑵如果這個玻璃杯從我手中滑落，那么它會摔得粉碎；

⑶一見到美女，他就臉紅；

⑷除非你找到證據，我才相信你說的話：

⑸你只有臉皮夠厚，才能克服膽怯的毛病.

給我們一個命題「：如果一個人是女生，那么她愛逛街.

你能把這些命題的條件與結論互換，得到的命題是什么樣的？

命題q:如果一個人愛逛街，那么她是女生.

如果把這些命題的條件與結論同時否定，得到的命題是什么樣的？

命題r:如果一個人不是女生，那么她不愛逛街.

如果把這些命題的條件與結論同時否定，再將否定后的條件與結論互換，得到的命題是什么的？

命題s:如果一個人不愛逛街，那么她不是女生.

我們把最開始的命題p稱為原命題，將它的條件與結論互換，得到的命題夕稱為〃的逆命題；將

這個命題的條件與結論同時否定，得到的命題r稱為夕的否命題；將這個命題的條件與結論同時否定，

并將否定后的結論當成條件，條件當成結論，得到的命題s稱為命題〃的逆否命題.

本節中我們只討論p一夕形式的命題（即若…則…形式的命題），不討論條件與結論不明確的命

題的四種命題形式./?—>4的逆命題為：qtp；否命題為：—p—：逆否命題為：—qT—p.

四種命題是一種相互關系，不能單純地說某個命題是逆命題，只能說誰是誰的逆命題，誰是誰的

否命題.

,1.3四種命題形式

考點4：四種命題

8

知識點睛

1.命題的四種形式：

命題“如果p,則二'是由條件p和結論4組成的，對夕，4進行“換位”和“換質(否定)”后，可以構

成四種不同形式的命題.

⑴原命題:如果/?,則夕；

⑵原命題的逆命題:如果夕，則p；

⑶原命題的否命題:如果非〃，則非q；

⑷原命題的逆否命題:如果非q,則非p.

練習2|：寫出命題“若/(x)=sinx,則/(x)是周期函數”的逆命題，否命題，逆否命題.并判斷這四個

命題的真假.

答案:原命題：真；逆命題：若/(x)是周期函數，則/(x)=sinx;假

否命題：若/(x)wsinx,則/(x)不是周期函數；假；

逆否命題：若/(x)不是周期函數，則/(x)xsinx.真.

：寫出命題“若則a-l>b-1”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷四個命題的真假.

原命題：真；逆命題：若a—l>b—1,則a>b,真；

B否命題：若aWb,則a—1W6-1,真；

逆否命題：若a-lW6—1,則真.

有時我們會遇到有大前提的命題，對于這類命題，寫它的逆命題，否命題與逆否命題時，大前提

不變.所以對于一個命題，我們需要區分大前提與命題的條件.如：命題：已知a,人是實數，若a>b,

則a2>〃.它的逆命題為：已知叫人是實數，若合>〃，則否命題為：已知a,b是實數，若aWb,

則逆否命題：已知a,人是實數，若/W尸，則aWb.這四個命題都是假命題.

命題的四種形式的真假有什么聯系呢？

2.命題“如果p,則二'的四種形式之間有如下關系：

⑴逆命題與否命題互為逆否命題；

⑵互為逆否命題的兩個命題等價(同真或同假).因此證明原命題，也可以改證它的逆否命題.

⑶互逆或互否的兩個命題不等價.

原命題與它的逆命題以及否命題的

真假都沒有關系，但在現實生活中，我們有時卻會錯用推理，把否命題的真假或者逆命題的真假與原

命題建立起聯系來：

如：有人想反駁“錢不是萬能的”.給出的理由是：沒有錢是萬萬不能的.這個邏輯對嗎？應該怎

樣給出理由呢？如果直接反駁，前提是某人有錢，但是有辦不到的事情.

再如：有人想討論：科技能不能帶來社會發展.思考方向是：沒有科技的時候社會發展很慢.

再如：我們都知道如果小亮對小雪有意思，則小亮會對小雪好.

現在小雪尋思：小亮對我挺好的，他應該對我有意思，這個推理有問題嗎？

因為原命題與它的逆否命題等價，所以要論證原命題正確，可以通過論證它的逆否命題正確，但

不能通過論證它的逆命題正確，或者論證它的否命題的正確或錯誤.比如，如果小亮對小雪不好，那

么一定能推出小亮對小雪沒有意思.

3.注意命題的否定與否命題之間的區別.命題的否定與原來命題的真假一定是不同的，而否命題與原

命題之間的真假沒有關系.

〈備注〉這一部分內容我們到同步再展開講解.

經典精講

【例4】★★若a,b,ceR,寫出命題”若ac<0,則如?+法+°=0有兩個不相等的實數根”的逆命題、

否命題、逆否命題，并判斷這三個命題的真假.

【解析】逆命題：a,b,ceR,若ox?+/?x+c=0有兩個不相等的實數根，則ac<0;假命題.

否命題：a,b,ceR,若ac'O,則方程or?+fex+c=O沒有兩個不相等的實數根；

假命題.

逆否命題：a,b,ceR,若ax?+fov+c=O沒有兩個不相等的實數根，則aCO;

真命題.

尖子班學案2

【拓2】給出以下四個命題：

①“若x+y=0,則x,y互為相反數”的逆命題；

②“如果兩個三角形全等，則它們的面積相等”的否命題；

③“若qW-1,貝吐+x+q=0有實根”的逆否命題；

④“不等邊三角形的三內角相等”的逆否命題.

其中真命題是（）

A.①②B.②③C.①③D.（3）@

【解析】C

目標班學案2

【拓3】⑴原命題：設a,b,ceR,若a>b,則公2>秘2,以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，

真命題共有（）個.

A.0B.IC.2D.4

（2）命題“已知a,匕，c,deR,a+b^c+d,貝！Iawc或6w4”是（填“真''或"假"）命題.

【解析】⑴C；

⑵真命題.

“充分必要條件”引入

2013北約人文科學基礎科目考了這樣一道選擇題：

如果你是明智的牛奶廠家，你會采用下面哪一句廣告詞：（）

A.只要喝“飛鹿”牛奶，就有好身體

B.一喝“飛鹿”牛奶，就好身體

C.只有喝“飛鹿”牛奶，才有好身體

10

分析：我們看A與C:

對于A選項來說，喝了“飛鹿”牛奶就足以保證有好身體了，在這里，有了“飛鹿”牛奶這個條件,

就能保證好身體這個結論，這個條件是足夠的，充分的；

對于C選項來說，想要有好身體必須有“飛鹿”牛奶，但有了“飛鹿”牛奶，能不能保證有好身體

不知道.在這里，想有好身體，必須要喝“飛鹿”牛奶，這是必要的，這個說法明顯是虛假的.而

且，喝了是不是能保證有好身體呢，還不好說，這樣的條件是必要的條件.

B選項也是充分條件，但是“一…就...”時間上的緊迫性太強，容易被質疑，而A強調的是效果,

所以A更合適.

1.4充分必要條件

考點5：充分必要條件

知識點睛

1.當命題“如果〃，則經過推理證明斷定是真命題時，我們就說則〃可以推出q,記作夕=4,讀

作“p推出g”.

2.如果可推出外則稱〃是q的充分條件，q是p的必要條件.

一般地，如果pnq,且gnp,則稱，是g的充分且必要條件，簡稱〃是q的充要條件，記作

poq,顯然夕也是p的充要條件，此時又常說“q當且僅當p“或"p與q等價”.

如果p=>4，且4%p,則稱。是q的充分不必要條件，稱q為p的必要不充分條件.

〈教師備案〉充分必要條件是一種相互關系，只能說誰是誰的充分或必要條件，不能直接說誰是充分或

必要條件.

必要性是排外的，在集合的問題中，如果A是B的必要條件，一般來說A的范圍更廣、

更基礎，才可能是必要的.如：x>l是x>2的必要條件；再比如是動物與是人誰是必要

呢，一定是是動物更必要，也就是說甲是動物是甲是人的必要條件.因為動物的范圍更

大.又因為必要條件是基礎，所以必要條件往往不能推出什么，我們不能由甲是動物推出

甲是人，也不能由x>l推出x>2.

而充分的條件呢，不一定全面，含義是只要有就行了，弱水三千，只取一瓢飲.比如x=100

是的充分條件，充分條件是更嚴格的，范圍更小的條件.

經典精講

【例5】自用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”填空.

(1)A：=B：向量。=(，〃+2,3膽)與向量力=(根-2,機+2)垂直，則A是8的

________條件.

⑵已知x,yeR,(x-1?+(y-2>=0是(x—l)(y-2)=0的條件；

⑶A：f-4x-5<0,B：\x-2\<2,則A是B成立的條件；

⑷A：log,(|x|-3)>0,B：x2--x+->0,則A是8成立的條件.

【解析】（1）充分不必要;

⑵充分不必要;

（3）必要不充分；

（4）充分不必要；

提高班學案3

【拓1】用"充分不必要”、“必要不充分"、"充要''和"既不充分也不必要”填空.

（1）對于實數x,y,“x+y*8”是或yx6”的條件.

⑵|x+y|=|x|+|y|是盯20的條件.

【解析】（D充分不必要條件；

（2）充要條件；

尖子班學案3

【拓2】6（2010陜西卷理9）對于數列｛凡｝,“4,|>同（〃=1,2,）”是”｛4｝為遞增數列”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

（2）（2010山東卷文7）設｛““｝是首項大于零的等比數列，則“4</”是“數列｛可｝是遞增數

歹的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】⑴B

（2）C

目標班學案3

【拓3】已知命題~<2；-2x+l-〃/W0（〃?>0）,若力是—17的充分非必要條件，求

實數，”的取值范圍.

【解析】，"的取值范圍為（0,3].

也可以先將題目條件轉化為〃是q的必要非充分條件，再求解.

【例6】內在下列結論中，正確的有.

①為真”是“pvq為真”的充分不必要條件;

②"pA"為假”是“pvq為真”的充分不必要條件;

③“pvq為真”是“pw為真”的充分不必要條件;

④“pvq為真”是“-P為假”的必要不充分條件；

⑤“一/?為真''是"pAq為假”的必要不充分條件.

12

【解析】①④;

充要條件這一塊要特別注意題目的寫法，通常的寫法是〃是q的充分/必要條件，在出現另一種

寫法：p的充分/必要條件是g時，這可以通過分析句子主干得到，轉化為誰是誰的條件.

如：的充分條件是q,主干是條件是g,即夕是p的充分條件，故為4np.

同樣：/?的必要條件是g,主干是條件是q,即夕是〃的必要條件，故為p=