2023-2024學年河北省張家口一中數學高三第一學期期末監測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在一個數列中，如果，都有（為常數），那么這個數列叫做等積數列，叫做這個數列的公積.已知數列是等積數列，且，，公積為，則（）A． B． C． D．2．記的最大值和最小值分別為和．若平面向量、、，滿足，則（）A． B．C． D．3．已知,則()A． B． C． D．4．已知函數若恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，則下列結論正確的是（）A．﹣3∈AB．3BC．A∩B=BD．A∪B=B6．雙曲線x26-y23=1的漸近線與圓(x－3)2＋y2＝A．3 B．2C．3 D．67．四人并排坐在連號的四個座位上，其中與不相鄰的所有不同的坐法種數是（）A．12 B．16 C．20 D．88．a為正實數，i為虛數單位，，則a=（）A．2 B． C． D．19．雙曲線x2a2A．y=±2x B．y=±3x10．函數的部分圖象大致是（）A． B．C． D．11．要得到函數的圖象，只需將函數的圖象上所有點的（）A．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向左平移個單位長度B．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位長度C．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度D．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移個單位長度12．已知平面向量，滿足且，若對每一個確定的向量，記的最小值為，則當變化時，的最大值為（）A． B． C． D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在平面四邊形ABCD中，|AC|=3,|BD|=4，則(AB14．已知等比數列的各項都是正數，且成等差數列，則=__________．15．在一底面半徑和高都是的圓柱形容器中盛滿小麥，有一粒帶麥銹病的種子混入了其中．現從中隨機取出的種子，則取出了帶麥銹病種子的概率是_____．16．已知，則_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求B；（2）若的面積為，周長為8，求b.18．（12分）已知曲線，直線：（為參數）.（I）寫出曲線的參數方程，直線的普通方程；（II）過曲線上任意一點作與夾角為的直線，交于點，的最大值與最小值．19．（12分）已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，與的公共弦的長為.（1）求的方程；（2）過點的直線與相交于、兩點，與相交于、兩點，且與同向，設在點處的切線與軸的交點為，證明：直線繞點旋轉時，總是鈍角三角形；（3）為上的動點，、為長軸的兩個端點，過點作的平行線交橢圓于點，過點作的平行線交橢圓于點，請問的面積是否為定值，并說明理由.20．（12分）某商場舉行優惠促銷活動，顧客僅可以從以下兩種優惠方案中選擇一種.方案一：每滿100元減20元；方案二：滿100元可抽獎一次.具體規則是從裝有2個紅球、2個白球的箱子隨機取出3個球（逐個有放回地抽?。?，所得結果和享受的優惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區別）紅球個數3210實際付款7折8折9折原價（1）該商場某顧客購物金額超過100元，若該顧客選擇方案二，求該顧客獲得7折或8折優惠的概率；（2）若某顧客購物金額為180元，選擇哪種方案更劃算？21．（12分）已知函數．（1）當時，解關于x的不等式；（2）當時，若對任意實數，都成立，求實數的取值范圍．22．（10分）已知頂點是坐標原點的拋物線的焦點在軸正半軸上，圓心在直線上的圓與軸相切，且關于點對稱.（1）求和的標準方程；（2）過點的直線與交于，與交于，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

計算出的值，推導出，再由，結合數列的周期性可求得數列的前項和.【詳解】由題意可知，則對任意的，，則，，由，得，，，，因此，.故選：B.【點睛】本題考查數列求和，考查了數列的新定義，推導出數列的周期性是解答的關鍵，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.2、A【解析】

設為、的夾角，根據題意求得，然后建立平面直角坐標系，設，，，根據平面向量數量積的坐標運算得出點的軌跡方程，將和轉化為圓上的點到定點距離，利用數形結合思想可得出結果.【詳解】由已知可得，則，，，建立平面直角坐標系，設，，，由，可得，即，化簡得點的軌跡方程為，則，則轉化為圓上的點與點的距離，，，，轉化為圓上的點與點的距離，，.故選：A.【點睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標化，將問題轉化為圓上的點到定點距離的最值問題是解答的關鍵，考查化歸與轉化思想與數形結合思想的應用，屬于中等題.3、B【解析】

利用誘導公式以及同角三角函數基本關系式化簡求解即可．【詳解】，本題正確選項：【點睛】本題考查誘導公式的應用，同角三角函數基本關系式的應用，考查計算能力．4、D【解析】

由恒成立，等價于的圖像在的圖像的上方，然后作出兩個函數的圖像，利用數形結合的方法求解答案.【詳解】因為由恒成立，分別作出及的圖象，由圖知，當時，不符合題意，只須考慮的情形，當與圖象相切于時，由導數幾何意義，此時，故.故選：D【點睛】此題考查的是函數中恒成立問題，利用了數形結合的思想，屬于難題.5、C【解析】試題分析：集合考點：集合間的關系6、A【解析】

由圓心到漸近線的距離等于半徑列方程求解即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為y＝±22x，圓心坐標為(3,0)．由題意知，圓心到漸近線的距離等于圓的半徑r，即r＝±答案：A【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程及直線與圓的位置關系，屬于基礎題.7、A【解析】

先將除A，B以外的兩人先排，再將A，B在3個空位置里進行插空，再相乘得答案.【詳解】先將除A，B以外的兩人先排，有種；再將A，B在3個空位置里進行插空，有種，所以共有種.故選：A【點睛】本題考查排列中不相鄰問題，常用插空法，屬于基礎題.8、B【解析】

，選B.9、A【解析】分析：根據離心率得a,c關系，進而得a,b關系，再根據雙曲線方程求漸近線方程，得結果.詳解：∵e=因為漸近線方程為y=±bax點睛：已知雙曲線方程x2a210、C【解析】

判斷函數的性質，和特殊值的正負，以及值域，逐一排除選項.【詳解】，函數是奇函數，排除，時，，時，，排除，當時，，時，，排除，符合條件，故選C.【點睛】本題考查了根據函數解析式判斷函數圖象，屬于基礎題型，一般根據選項判斷函數的奇偶性，零點，特殊值的正負，以及單調性，極值點等排除選項.11、C【解析】

根據三角函數圖像的變換與參數之間的關系，即可容易求得.【詳解】為得到，將橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），故可得；再將向左平移個單位長度，故可得.故選：C.【點睛】本題考查三角函數圖像的平移，涉及誘導公式的使用，屬基礎題.12、B【解析】

根據題意,建立平面直角坐標系.令.為中點.由即可求得點的軌跡方程.將變形,結合及平面向量基本定理可知三點共線.由圓切線的性質可知的最小值即為到直線的距離最小值,且當與圓相切時,有最大值.利用圓的切線性質及點到直線距離公式即可求得直線方程,進而求得原點到直線的距離,即為的最大值.【詳解】根據題意,設,則由代入可得即點的軌跡方程為又因為,變形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三點共線,如下圖所示:所以的最小值即為到直線的距離最小值根據圓的切線性質可知,當與圓相切時,有最大值設切線的方程為,化簡可得由切線性質及點到直線距離公式可得,化簡可得即所以切線方程為或所以當變化時,到直線的最大值為即的最大值為故選:B【點睛】本題考查了平面向量的坐標應用,平面向量基本定理的應用,圓的軌跡方程問題,圓的切線性質及點到直線距離公式的應用,綜合性強,屬于難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-7【解析】

由題意得AB+【詳解】由題意得ABBC+∴AB+【點睛】突破本題的關鍵是抓住題中所給圖形的特點，利用平面向量基本定理和向量的加減運算，將所給向量統一用AC,14、【解析】

根據等差中項性質，結合等比數列通項公式即可求得公比；代入表達式，結合對數式的化簡即可求解.【詳解】等比數列的各項都是正數，且成等差數列，則，由等比數列通項公式可知，所以，解得或（舍），所以由對數式運算性質可得，故答案為：.【點睛】本題考查了等差數列通項公式的簡單應用，等比數列通項公式的用法，對數式的化簡運算，屬于中檔題.15、【解析】

求解占圓柱形容器的的總容積的比例求解即可.【詳解】解：由題意可得：取出了帶麥銹病種子的概率．故答案為：．【點睛】本題主要考查了體積類的幾何概型問題,屬于基礎題.16、【解析】

對原方程兩邊求導，然后令求得表達式的值.【詳解】對等式兩邊求導，得，令，則.【點睛】本小題主要考查二項式展開式，考查利用導數轉化已知條件，考查賦值法，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）通過正弦定理和內角和定理化簡，再通過二倍角公式即可求出；（2）通過三角形面積公式和三角形的周長為8，求出b的表達式后即可求出b的值.【詳解】（1）由三角形內角和定理及誘導公式，得，結合正弦定理，得，由及二倍角公式，得，即，故；（2）由題設，得，從而，由余弦定理，得，即，又，所以，解得.【點睛】本題綜合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面積公式，屬于基礎題.18、（I）；（II）最大值為，最小值為.【解析】試題分析：（I）由橢圓的標準方程設，得橢圓的參數方程為，消去參數即得直線的普通方程為；（II）關鍵是處理好與角的關系．過點作與垂直的直線，垂足為，則在中，，故將的最大值與最小值問題轉化為橢圓上的點，到定直線的最大值與最小值問題處理．試題解析：（I）曲線C的參數方程為（為參數）．直線的普通方程為．（II）曲線C上任意一點到的距離為．則．其中為銳角，且．當時，取到最大值，最大值為．當時，取到最小值，最小值為．【考點定位】1、橢圓和直線的參數方程；2、點到直線的距離公式；3、解直角三角形．19、（1）；（2）證明見解析；（3）是，理由見解析.【解析】

（1）根據兩個曲線的焦點相同，得到，再根據與的公共弦長為得出，可求出和的值，進而可得出曲線的方程；（2）設點，根據導數的幾何意義得到曲線在點處的切線方程，求出點的坐標，利用向量的數量積得出，則問題得以證明；（3）設直線，直線，、、，推導出以及，求出和，通過化簡計算可得出為定值，進而可得出結論.【詳解】（1）由知其焦點的坐標為，也是橢圓的一個焦點，，①又與的公共弦的長為，與都關于軸對稱，且的方程為，由此易知與的公共點的坐標為，，②聯立①②，得，，故的方程為；（2）如圖，，由得，在點處的切線方程為，即，令，得，即，，而，于是，因此是銳角，從而是鈍角.故直線繞點旋轉時，總是鈍角三角形；（3）設直線，直線，、、，則，設向量和的夾角為，則的面積為，由，可得，同理可得，故有.又，故，則，因此，的面積為定值.【點睛】本題考查了圓錐曲線的和直線的位置與關系，考查鈍角三角形的判定以及三角形面積為定值的求解，關鍵是聯立方程，構造方程，利用韋達定理，以及向量的關系，得到關于斜率的方程，計算量大，屬于難題．20、（1）（2）選擇方案二更為劃算【解析】

（1）計算顧客獲得7折優惠的概率，獲得8折優惠的概率，相加得到答案.（2）選擇方案二，記付款金額為元，則可取的值為126，144，162，180.，計算概率得到數學期望，比較大小得到答案.【詳解】（1）該顧客獲得7折優惠的概率，該顧客獲得8折優惠的概率，故該顧客獲得7折或8折優惠的概率.（2）若選擇方案一，則付款金額為.若選擇方案二，記付款金額為元，則可取的值為126，144，162，180.，，則.因為，所以選擇方案二更為劃算.【點睛】本題考查了概率的計算，數學期望，意在考查學生的計算能力和應用能力.21、（1）（2）【解析】

（1）當時，利用含有一個絕對值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）對分成和兩類，利用零點分段法去絕對值，將表示為分段函數的形式，求得的最小值，進而求得的取值范圍.【詳解】（1）當時，由得由得解：，得∴當時，關于的不等式的解集為（2）①當時，，所以在上是減函數，在是增函數，所以，由題設得，解得.②當時，同理求得.綜上所述，的取值范圍為.【點睛】本小題主要考查含有一個絕對值不等式的求法，考查利用零點分段法解含有兩個絕對值的不等式，屬于中檔題.22、（1）,；（2）證明見解析.【解析】分析：（1）設的標準方程為，由題意可設．結合中點坐標公式計算可得的標準方程為．半徑，則的標準方程為．（2）設的斜率為，則其方程為，由弦長