重慶銅梁縣一中2024年高三數學第一學期期末質量跟蹤監視模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復數滿足（為虛數單位），則其共軛復數的虛部為（）A． B． C． D．2．過點的直線與曲線交于兩點，若，則直線的斜率為()A． B．C．或 D．或3．古希臘數學家畢達哥拉斯在公元前六世紀發現了第一、二個“完全數”6和28，進一步研究發現后續三個“完全數”分別為496，8128，33550336，現將這五個“完全數”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則6和28恰好在同一組的概率為A． B． C． D．4．若復數（）在復平面內的對應點在直線上，則等于()A． B． C． D．5．設過拋物線上任意一點(異于原點)的直線與拋物線交于兩點，直線與拋物線的另一個交點為，則（）A． B． C． D．6．某人2018年的家庭總收人為元，各種用途占比如圖中的折線圖，年家庭總收入的各種用途占比統計如圖中的條形圖，已知年的就醫費用比年的就醫費用增加了元，則該人年的儲畜費用為（）A．元 B．元 C．元 D．元7．在區間上隨機取一個數，使得成立的概率為等差數列的公差，且，若，則的最小值為（）A．8 B．9 C．10 D．118．已知復數滿足，其中是虛數單位，則復數在復平面中對應的點到原點的距離為（）A． B． C． D．9．已知是定義在上的奇函數，且當時，．若，則的解集是（）A． B．C． D．10．某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統計如圖所示，下列說法中錯誤的是（）．A．收入最高值與收入最低值的比是B．結余最高的月份是月份C．與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同D．前個月的平均收入為萬元11．函數（其中，，）的圖象如圖，則此函數表達式為（）A． B．C． D．12．天干地支，簡稱為干支，源自中國遠古時代對天象的觀測.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱為十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱為十二地支.干支紀年法是天干和地支依次按固定的順序相互配合組成，以此往復，60年為一個輪回.現從農歷2000年至2019年共20個年份中任取2個年份，則這2個年份的天干或地支相同的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，半球內有一內接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為__________.14．在中，，，，則__________．15．從一箱產品中隨機地抽取一件，設事件抽到一等品，事件抽到二等品，事件抽到三等品，且已知，，，則事件“抽到的產品不是一等品”的概率為________16．設集合，，則____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，，，.求邊上的高.①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.18．（12分）如圖，四棱錐中，底面是菱形，對角線交于點為棱的中點，．求證：（1）平面；（2）平面平面．19．（12分）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的直角坐標方程和曲線的參數方程；（2）設曲線與曲線在第二象限的交點為，曲線與軸的交點為，點，求的周長的最大值．20．（12分）某企業生產一種產品，從流水線上隨機抽取件產品，統計其質量指標值并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：規定產品的質量指標值在的為劣質品，在的為優等品，在的為特優品，銷售時劣質品每件虧損元，優等品每件盈利元，特優品每件盈利元，以這件產品的質量指標值位于各區間的頻率代替產品的質量指標值位于該區間的概率．（1）求每件產品的平均銷售利潤；（2）該企業主管部門為了解企業年營銷費用（單位：萬元）對年銷售量（單位：萬件）的影響，對該企業近年的年營銷費用和年銷售量，數據做了初步處理，得到的散點圖（如圖2）及一些統計量的值．表中，，，．根據散點圖判斷，可以作為年銷售量（萬件）關于年營銷費用（萬元）的回歸方程．①求關于的回歸方程；②用所求的回歸方程估計該企業每年應投入多少營銷費，才能使得該企業的年收益的預報值達到最大？（收益銷售利潤營銷費用，取）附：對于一組數據，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．21．（12分）已知的內角，，的對邊分別為，，，．（1）若，證明：．（2）若，，求的面積．22．（10分）已知橢圓（）的半焦距為，原點到經過兩點，的直線的距離為．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經過，兩點，求橢圓的方程．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由已知等式求出z，再由共軛復數的概念求得，即可得虛部.【題目詳解】由zi＝1﹣i，∴z＝，所以共軛復數=-1+，虛部為1故選D．【題目點撥】本題考查復數代數形式的乘除運算和共軛復數的基本概念，屬于基礎題．2、A【解題分析】

利用切割線定理求得，利用勾股定理求得圓心到弦的距離，從而求得，結合，求得直線的傾斜角為，進而求得的斜率.【題目詳解】曲線為圓的上半部分，圓心為，半徑為.設與曲線相切于點，則所以到弦的距離為，，所以，由于，所以直線的傾斜角為，斜率為.故選：A【題目點撥】本小題主要考查直線和圓的位置關系，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.3、B【解題分析】

推導出基本事件總數，6和28恰好在同一組包含的基本事件個數，由此能求出6和28恰好在同一組的概率．【題目詳解】解：將五個“完全數”6，28，496，8128，33550336，隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，基本事件總數，6和28恰好在同一組包含的基本事件個數，∴6和28恰好在同一組的概率．故選：B．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．4、C【解題分析】

由題意得，可求得，再根據共軛復數的定義可得選項.【題目詳解】由題意得，解得，所以，所以，故選：C.【題目點撥】本題考查復數的幾何表示和共軛復數的定義，屬于基礎題.5、C【解題分析】

畫出圖形，將三角形面積比轉為線段長度比，進而轉為坐標的表達式。寫出直線方程，再聯立方程組，求得交點坐標，最后代入坐標，求得三角形面積比.【題目詳解】作圖，設與的夾角為，則中邊上的高與中邊上的高之比為，，設，則直線，即，與聯立，解得，從而得到面積比為.故選：【題目點撥】解決本題主要在于將面積比轉化為線段長的比例關系，進而聯立方程組求解，是一道不錯的綜合題.6、A【解題分析】

根據2018年的家庭總收人為元，且就醫費用占得到就醫費用，再根據年的就醫費用比年的就醫費用增加了元，得到年的就醫費用，然后由年的就醫費用占總收人，得到2019年的家庭總收人再根據儲畜費用占總收人求解.【題目詳解】因為2018年的家庭總收人為元，且就醫費用占所以就醫費用因為年的就醫費用比年的就醫費用增加了元，所以年的就醫費用元，而年的就醫費用占總收人所以2019年的家庭總收人為而儲畜費用占總收人所以儲畜費用：故選：A【題目點撥】本題主要考查統計中的折線圖和條形圖的應用，還考查了建模解模的能力，屬于基礎題.7、D【解題分析】

由題意，本題符合幾何概型，只要求出區間的長度以及使不等式成立的的范圍區間長度，利用幾何概型公式可得概率，即等差數列的公差，利用條件，求得，從而求得，解不等式求得結果.【題目詳解】由題意，本題符合幾何概型，區間長度為6，使得成立的的范圍為，區間長度為2，故使得成立的概率為，又，，，令，則有，故的最小值為11，故選：D.【題目點撥】該題考查的是有關幾何概型與等差數列的綜合題，涉及到的知識點有長度型幾何概型概率公式，等差數列的通項公式，屬于基礎題目.8、B【解題分析】

利用復數的除法運算化簡z,復數在復平面中對應的點到原點的距離為利用模長公式即得解.【題目詳解】由題意知復數在復平面中對應的點到原點的距離為故選：B【題目點撥】本題考查了復數的除法運算，模長公式和幾何意義，考查了學生概念理解，數學運算，數形結合的能力，屬于基礎題.9、B【解題分析】

利用函數奇偶性可求得在時的解析式和，進而構造出不等式求得結果.【題目詳解】為定義在上的奇函數，.當時，，，為奇函數，，由得：或；綜上所述：若，則的解集為.故選：.【題目點撥】本題考查函數奇偶性的應用，涉及到利用函數奇偶性求解對稱區間的解析式；易錯點是忽略奇函數在處有意義時，的情況.10、D【解題分析】由圖可知，收入最高值為萬元，收入最低值為萬元，其比是，故項正確；結余最高為月份，為，故項正確；至月份的收入的變化率為至月份的收入的變化率相同，故項正確；前個月的平均收入為萬元，故項錯誤．綜上，故選．11、B【解題分析】

由圖象的頂點坐標求出，由周期求出，通過圖象經過點，求出，從而得出函數解析式.【題目詳解】解：由圖象知，，則，圖中的點應對應正弦曲線中的點，所以，解得，故函數表達式為．故選：B.【題目點撥】本題主要考查三角函數圖象及性質，三角函數的解析式等基礎知識；考查考生的化歸與轉化思想，數形結合思想，屬于基礎題.12、B【解題分析】

利用古典概型概率計算方法分析出符合題意的基本事件個數,結合組合數的計算即可出求得概率.【題目詳解】20個年份中天干相同的有10組（每組2個），地支相同的年份有8組（每組2個），從這20個年份中任取2個年份，則這2個年份的天干或地支相同的概率.故選:B.【題目點撥】本小題主要考查古典概型的計算,考查組合數的計算,考查學生分析問題的能力,難度較易.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由題意可知半球的半徑與正四棱錐的高相等，可得正四棱錐的棱與半徑的關系，進而可寫出半球的半徑與四棱錐體積的關系，進而求得結果.【題目詳解】設所給半球的半徑為，則四棱錐的高，則，由四棱錐的體積，半球的體積為：.【方法點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點（一般為接、切點）或線作截面，把空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關系，列方程（組）求解.14、1【解題分析】

由已知利用余弦定理可得，即可解得的值．【題目詳解】解：，，，由余弦定理，可得，整理可得：，解得或（舍去）．故答案為：1．【題目點撥】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎題．15、0.35【解題分析】

根據對立事件的概率和為1，結合題意，即可求出結果來．【題目詳解】解：由題意知本題是一個對立事件的概率，抽到的不是一等品的對立事件是抽到一等品，，抽到不是一等品的概率是，故答案為：．【題目點撥】本題考查了求互斥事件與對立事件的概率的應用問題，屬于基礎題．16、【解題分析】

先解不等式,再求交集的定義求解即可.【題目詳解】由題,因為,解得,即,則,故答案為:【題目點撥】本題考查集合的交集運算,考查解一元二次不等式.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、詳見解析【解題分析】

選擇①，利用正弦定理求得，利用余弦定理求得，再計算邊上的高.選擇②，利用正弦定理得出，由余弦定理求出，再求邊上的高.選擇③，利用余弦定理列方程求出，再計算邊上的高.【題目詳解】選擇①，在中，由正弦定理得，即，解得；由余弦定理得，即，化簡得，解得或（舍去）；所以邊上的高為.選擇②，在中，由正弦定理得，又因為，所以，即；由余弦定理得，即，化簡得，解得或（舍去）；所以邊上的高為.選擇③，在中，由，得；由余弦定理得，即，化簡得，解得或（舍去）；所以邊上的高為.【題目點撥】本小題主要考查真閑的了、余弦定理解三角形，屬于中檔題.18、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解題分析】

(1)連結根據中位線的性質證明即可.(2)證明,再證明平面即可.【題目詳解】解：證明：連結是菱形對角線的交點,為的中點,是棱的中點,平面平面平面解：在菱形中,且為的中點,,,平面平面,平面平面．【題目點撥】本題主要考查了線面平行與垂直的判定,屬于基礎題.19、（1）曲線的直角坐標方程為，曲線的參數方程為為參數（2）【解題分析】

（1）將代入，可得，所以曲線的直角坐標方程為．由可得，將，代入上式，可得，整理可得，所以曲線的參數方程為為參數．（2）由題可設，，，所以，，，所以，因為，所以，所以當，即時，l取得最大值為，所以的周長的最大值為．20、（1）元．（2）①②萬元【解題分析】

（1）每件產品的銷售利潤為，由已知可得的取值，由頻率分布直方圖可得劣質品、優等品、特優品的概率，從而可得的概率分布列，依期望公式計算出期望即為平均銷售利潤；（2）①對取自然對數，得，令，，，則，這就是線性回歸方程，由所給公式數據計算出系數，得線性回歸方程，從而可求得；②求出收益，可設換元后用導數求出最大值．【題目詳解】解：（1）設每件產品的銷售利潤為，則的可能取值為，，．由頻率分布直方圖可得產品為劣質品、優等品、特優品的概率分別為、、．所以；；．所以的分布列為所以（元）．即每件產品的平均銷售利潤為元．（2）①由，得，令，，，則，由