學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精難點1集合思想及應用集合是高中數學的基本知識，為歷年必考內容之一,主要考查對集合基本概念的認識和理解，以及作為工具，考查集合語言和集合思想的運用。本節主要是幫助考生運用集合的觀點，不斷加深對集合概念、集合語言、集合思想的理解與應用。●難點磁場(★★★★★）已知集合A=｛(x，y)｜x2+mx－y+2=0}，B=｛（x，y）|x－y+1=0，且0≤x≤2},如果A∩B≠,求實數m的取值范圍。●案例探究［例1］設A=｛（x，y）｜y2－x－1=0},B={（x,y）｜4x2+2x－2y+5=0｝，C=｛（x,y)｜y=kx+b｝，是否存在k、b∈N，使得(A∪B)∩C=,證明此結論。命題意圖：本題主要考查考生對集合及其符號的分析轉化能力，即能從集合符號上分辨出所考查的知識點,進而解決問題。屬★★★★★級題目.知識依托：解決此題的閃光點是將條件（A∪B）∩C=轉化為A∩C=且B∩C=，這樣難度就降低了.錯解分析：此題難點在于考生對符號的不理解，對題目所給出的條件不能認清其實質內涵,因而可能感覺無從下手.技巧與方法：由集合A與集合B中的方程聯立構成方程組，用判別式對根的情況進行限制，可得到b、k的范圍,又因b、k∈N，進而可得值。解：∵(A∪B）∩C=,∴A∩C=且B∩C=∵∴k2x2+（2bk－1）x+b2－1=0∵A∩C=∴Δ1=（2bk－1)2－4k2（b2－1）〈0∴4k2－4bk+1〈0，此不等式有解，其充要條件是16b2－16〉0，即b2>1 ①∵∴4x2+(2－2k)x+（5+2b)=0∵B∩C=，∴Δ2=（1－k)2－4(5－2b)<0∴k2－2k+8b－19〈0,從而8b<20,即b〈2。5②由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2〈0組成的不等式組，得∴k=1,故存在自然數k=1，b=2，使得（A∪B）∩C=.［例2］向50名學生調查對A、B兩事件的態度，有如下結果：贊成A的人數是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成;另外，對A、B都不贊成的學生數比對A、B都贊成的學生數的三分之一多1人。問對A、B都贊成的學生和都不贊成的學生各有多少人？命題意圖：在集合問題中，有一些常用的方法如數軸法取交并集,韋恩圖法等，需要考生切實掌握.本題主要強化學生的這種能力。屬★★★★級題目。知識依托:解答本題的閃光點是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來。錯解分析：本題難點在于所給的數量關系比較錯綜復雜，一時理不清頭緒，不好找線索。技巧與方法：畫出韋恩圖，形象地表示出各數量關系間的聯系.解:贊成A的人數為50×=30，贊成B的人數為30+3=33,如上圖,記50名學生組成的集合為U，贊成事件A的學生全體為集合A；贊成事件B的學生全體為集合B。設對事件A、B都贊成的學生人數為x,則對A、B都不贊成的學生人數為+1,贊成A而不贊成B的人數為30－x,贊成B而不贊成A的人數為33－x。依題意（30－x)+（33－x)+x+(+1）=50，解得x=21。所以對A、B都贊成的同學有21人，都不贊成的有8人.●錦囊妙計1。解答集合問題，首先要正確理解集合有關概念，特別是集合中元素的三要素；對于用描述法給出的集合{x｜x∈P｝，要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質P；要重視發揮圖示法的作用，通過數形結合直觀地解決問題。2.注意空集的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時，要考慮到空集的可能性，如AB,則有A=或A≠兩種可能，此時應分類討論。●殲滅難點訓練一、選擇題1。（★★★★)集合M={x|x=,k∈Z}，N=｛x|x=，k∈Z}，則（)A。M=N B.MN C。MN D。M∩N=2。（★★★★)已知集合A={x｜－2≤x≤7},B=｛x｜m+1〈x<2m－1}且B≠，若A∪B=A，則()A。－3≤m≤4 B。－3<m〈4C.2<m<4 D.2<m≤4二、填空題3。（★★★★)已知集合A=｛x∈R|ax2－3x+2=0,a∈R｝，若A中元素至多有1個，則a的取值范圍是_________.4.(★★★★）x、y∈R，A={(x，y）｜x2+y2=1},B={(x，y）|=1,a>0，b〉0｝，當A∩B只有一個元素時，a,b的關系式是_________.三、解答題5.（★★★★★）集合A={x|x2－ax+a2－19=0｝，B={x｜log2(x2－5x+8)=1}，C=｛x|x2+2x－8=0｝，求當a取什么實數時，A∩B和A∩C=同時成立。6。（★★★★★)已知{an｝是等差數列,d為公差且不為0，a1和d均為實數，它的前n項和記作Sn，設集合A={(an，)｜n∈N＊}，B={（x，y)|x2－y2=1,x，y∈R}。試問下列結論是否正確,如果正確，請給予證明;如果不正確，請舉例說明.(1）若以集合A中的元素作為點的坐標，則這些點都在同一條直線上;(2)A∩B至多有一個元素；（3）當a1≠0時，一定有A∩B≠。7.（★★★★)已知集合A={z||z－2｜≤2,z∈C｝，集合B={w|w=zi+b，b∈R｝,當A∩B=B時，求b的值。8.(★★★★)設f(x）=x2+px+q,A=｛x|x=f（x）}，B={x｜f［f(x）］=x｝.（1）求證：AB;（2)如果A={－1，3｝，求B。參考答案難點磁場解：由得x2+（m－1)x+1=0 ①∵A∩B≠∴方程①在區間［0,2］上至少有一個實數解。首先,由Δ=（m－1）2－4≥0，得m≥3或m≤－1，當m≥3時，由x1+x2=－（m－1)＜0及x1x2=1>0知,方程①只有負根，不符合要求.當m≤－1時，由x1+x2=－(m－1）〉0及x1x2=1>0知,方程①只有正根，且必有一根在區間(0，1]內，從而方程①至少有一個根在區間［0，2]內.故所求m的取值范圍是m≤－1。殲滅難點訓練一、1.解析：對M將k分成兩類：k=2n或k=2n+1(n∈Z），M=｛x｜x=nπ+，n∈Z｝∪｛x｜x=nπ+，n∈Z}，對N將k分成四類，k=4n或k=4n+1，k=4n+2,k=4n+3（n∈Z),N={x｜x=nπ+,n∈Z｝∪{x|x=nπ+，n∈Z｝∪{x|x=nπ+π，n∈Z｝∪｛x|x=nπ+,n∈Z｝.答案：C2。解析：∵A∪B=A,∴BA，又B≠，∴即2＜m≤4。答案：D二、3。a=0或a≥4.解析：由A∩B只有1個交點知，圓x2+y2=1與直線=1相切，則1=,即ab=.答案:ab=三、5。解：log2（x2－5x+8)=1,由此得x2－5x+8=2，∴B=｛2，3｝.由x2+2x－8=0，∴C=｛2，－4},又A∩C=，∴2和－4都不是關于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，而A∩B,即A∩B≠，∴3是關于x的方程x2－ax+a2－19=0的解,∴可得a=5或a=－2.當a=5時,得A=｛2,3}，∴A∩C=｛2},這與A∩C=不符合，所以a=5（舍去);當a=－2時，可以求得A={3，－5},符合A∩C=，A∩B,∴a=－2。6.解:（1)正確.在等差數列｛an}中,Sn=，則（a1+an),這表明點（an,）的坐標適合方程y（x+a1),于是點（an,)均在直線y=x+a1上。(2）正確.設（x,y)∈A∩B,則（x，y)中的坐標x,y應是方程組的解，由方程組消去y得:2a1x+a12=－4(*），當a1=0時,方程（*)無解，此時A∩B=；當a1≠0時，方程（＊）只有一個解x=,此時,方程組也只有一解，故上述方程組至多有一解。∴A∩B至多有一個元素。(3）不正確.取a1=1，d=1,對一切的x∈N＊，有an=a1+（n－1）d=n>0，〉0，這時集合A中的元素作為點的坐標，其橫、縱坐標均為正，另外，由于a1=1≠0.如果A∩B≠，那么據（2）的結論，A∩B中至多有一個元素（x0,y0）,而x0=＜0，y0=＜0,這樣的（x0，y0）A,產生矛盾，故a1=1，d=1時A∩B=，所以a1≠0時,一定有A∩B≠是不正確的.7。解:由w=zi+b得z=，∵z∈A,∴｜z－2｜≤2,代入得｜－2|≤2，化簡得｜w－(b+i)|≤1.∴集合A、B在復平面內對應的點的集合是兩個圓面，集合A表示以點（2，0)為圓心，半徑為2的圓面,集合B表示以點(b,1)為圓心，半徑為1的圓面.又A∩B=B，即BA，∴兩圓內含.因此≤2－1，即（b－2)2≤0，∴b=2。8。（1）證明：設x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A。∵A=｛x｜x=f(x)｝,∴x0=f(x0）.即有f［f(x0）］=f