第2課時函數的最大值、最小值噴泉噴出的拋物線型水柱到達“最高點”后便下落，經歷了先“增”后“減”的過程，從中我們發現單調性與函數的最值之間似乎有著某種“聯系”，讓我們來研究——函數的最大值與最小值.借助函數圖象，會用符號語言表達函數的最大值、最小值，理解它們的作用和意義.理解函數的最大值和最小值的概念及幾何意義（數學抽象）能借助函數的圖像和單調性，求一些簡單函數的最值或值域（直觀想象）能利用函數的最值解決有關的實際應用問題（數學運算）探究一

函數的最大值1.觀察下列兩個函數的圖象：yxox0圖2MB【提示】第一個函數圖象有最高點A,第二個函數圖象有最高點B,也就是說,這兩個函數的圖象都有最高點.思考2

設函數y=f(x)圖象上最高點的縱坐標為M,則對函數定義域內任意自變量x,f(x)與M的大小關系如何?【提示】f(x)≤M思考1

這兩個函數圖象有何共同特征？最高點的縱坐標即是函數的最大值！當一個函數f(x)的圖象有最高點時，就說函數f(x)有最大值.函數在_______上為增函數，_______上為減函數;圖象有_____(最高（低）)點，坐標為_____.2.觀察下面函數的圖象，并回答問題對任意所以y=4是所有函數值中最大的，故函數f(x)有最大值4.最高函數最大值定義：一般地，設函數y=f(x)的定義域為D，如果存在實數M滿足：（1）對于任意的x∈D，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈D，使得f(x0)=M.那么，我們稱M是函數y=f(x)的最大值.可以這樣理解：函數的最大值是所有函數值中最大的一個，并且是能夠取到的.函數圖象最高點處的函數值的刻畫：函數圖象在最高點處的函數值是函數在整個定義域上最大的值.對于函數f(x)=-x2而言，即對于函數定義域中任意的x∈R，都有f(x)≤f(0)函數最大值的“形”的定義：當一個函數的圖象有最高點時，我們就說這個函數有最大值.當一個函數的圖象無最高點時，我們就說這個函數沒有最大值.函數y＝－3x2＋2在區間[－1，2]上的最大值為________.【解析】函數y＝－3x2＋2的對稱軸為x＝0，又因為0∈[－1，2]，

所以f(x)max＝f(0)＝2.【即時訓練】2圖1yox0xmxyox0圖2m1.觀察下列兩個函數的圖象：探究二

函數的最小值思考:這兩個函數圖象各有一個最低點，函數圖象上最低點的縱坐標叫什么名稱？提示：函數圖象上最低點的縱坐標是所有函數值中的最小值,即函數的最小值.2.函數在_______上為增函數，_______上為減函數；圖象有_____(最高（低）)點坐標為______.觀察下面函數的圖象，并回答問題對任意所以y=-4是所有函數值中最小的,故函數有最小值-4.最低當一個函數f(x)的圖象有最低點時，就說函數f(x)有最小值.仿照函數最大值的定義，怎樣定義函數的最小值？提示：一般地，設函數y=f(x)的定義域為D，如果存在x0∈D,使得對于任意的x∈D，都有f(x)≥f(x0),那么稱f(x0)為函數y=f(x)的最小值，記為ymin=f(x0).【思考交流】函數最小值的定義：一般地，設函數y=f(x)的定義域為D，如果存在實數N滿足：（1）對任意的，都有f(x)≥N；（2）存在，使得f(x0)=N.那么，我們稱N是函數y=f(x)的最小值.可以這樣理解：函數的最小值是所有函數值中最小的一個，并且是能夠取到的.函數圖象最低點處的函數值的刻畫：函數圖象在最低點處的函數值是函數在整個定義域上最小的值.對于函數f(x)=x2而言，即對于函數定義域中任意的x∈R，都有f(x)≥f(0).最小值的“形”的定義：當一個函數的圖象有最低點時，我們就說這個函數有最小值.當一個函數的圖象沒有最低點時，我們就說這個函數沒有最小值.因為不等式x2>－1總成立，所以－1是f(x)＝x2的最小值.()【解析】f(x)＝x2的最小值為0，不符合最小值定義，所以錯誤。【即時訓練】×1.函數最大值首先應該是某一個函數值，即存在使得.并不是所有滿足的函數都有最大值M.如函數,雖然對定義域上的任意自變量都有，但1不是函數的最大值.2.函數的最值是函數在定義域上的整體性質，即這個函數值是函數在整個定義域上的最大的函數值或者是最小的函數值.【規律方法】由于2<x1<x2<6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是所以，函數是區間[2,6]上的減函數.

任取x1,x2∈[2,6]，且x1＜x2例1.已知函數，求函數的最大值和最小值.【解析】因此,函數在區間[2,6]上的兩個端點上分別取得最大值和最小值，即在點x=2時取最大值，最大值是2，在x=6時取最小值，最小值為0.4.【總結提升】函數在定義域上是減函數,必須進行證明，然后再根據這個單調性確定函數取得最值的點.因此解題過程分為兩個部分，先證明函數在[2，6]上是減函數，再求這個函數的最大值和最小值.已知函數f（x）=-x2+6x+9在區間[a，b]，（a＜b＜3）上有最大值9，最小值-7，求實數a，b的值．【解析】因為y=-（x-3）2+18

因為a＜b＜3，所以當x=a時，函數取得最小值ymin=-7；

當x=b時，函數取得最大值ymax=9；即解得：a=8或-2；b=0或6．又因為a<b<3，所以a=-2；b=0．【變式練習】1.利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大(小)值.2.利用圖象求函數的最大(小)值.3.利用函數的單調性判斷函數的最大(小)值

如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，則函數y=f(x)在x=a處有最小值f(a),在x=b處有最大值f(b)；

如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增,則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b).【總結提升】

判斷函數的最大(小)值的方法：

函數的最大值、最小值核心知識方法總結易錯提醒核心素養最值M一定是一個函數值，是值域中的一個元素在利用單調性求最值時，勿忘求函數的定義域直觀想象：通過數形結合法求函數最大值與最小值，培養直觀想象的核心素養函數最值的求法(1)圖象法：對已知函數圖象的用此法.(2)配方法：對二次或通過換元得到的二次型函數適用(3)單調性法：適用于可判斷在閉區間上單調的函數求解方法概念最大值最小值1.函數在區間上的最大值是_____;最小值是______.【解析】函數在［-2,-1］上為減函數，當x=-2時，y=；當x=-1時，y=-5，所以函數在x∈［-2,-1］上的最大值為,最小值為-5.2.函數f(x)=x2+4ax+2在區間(-∞，6]內遞減，則a的取值范圍是()A.a≥3B.a≤3C.a≥-3D.a≤-3D【解析】選D.二次函數的對稱軸為x=-2a

故只需-2a≥6,即a≤-3(1).若對任意x∈I，都有f(x)≤M，則M是函數f(x)的最大值.()(2).一個函數可能有多個最小值.()(3).如果函數的值域是確定的，則它一定有最值.()3.判斷正誤【解析】(1)M是存在的，并且?x0∈I，使得f(x0)＝M.(2)最大(小)值至多有1個(3)值域確定，但不一定有最值.×××4.若x∈R，f