第三章函數《數學建模活動：決定蘋果的最佳出售時間點》第1課時教學設計教學目標教學目標能夠對簡單的實際問題，選擇適當的函數構建數學模型，解決問題教學重難點教學重難點教學重點：1.理解函數是描述客觀世界中變量關系和規律的重要數學語言和工具.在實際情境中，會選擇合適的函數類型刻畫現實問題的變化規律.2.結合現實情境中的具體問題，利用計算工具，比較一次函數、二次函數、分段函數、反比例函數等學過函數的差異，理解題中的現實含義.3.收集、閱讀一些現實生活、生產實際或者經濟領域中的數學模型，體會人們是如何借助函數刻畫實際問題的，感悟數學模型中參數的現實意義.教學難點：讀懂題目，構建正確的函數模型.課前準備課前準備PPT課件．教學過程教學過程一、整體概覽問題1：閱讀課本第125~126，回答下列問題：（1）本節將要研究哪類問題？（2）本節研究的起點是什么？目標是什么？師生活動：學生帶著問題閱讀課本，在本節課的學習過程中回答問題預設的答案：（1）本節將要研究數學建模活動：決定蘋果的最佳出售時間點.（2）起點是函數的應用(一).目標是能理解函數是描述客觀世界中變量關系和規律的重要數學語言和工具；在實際情境中，會選擇合適的函數類型刻畫現實問題的變化規律；能結合現實情境中的具體問題，利用計算工具，比較一次函數、二次函數、分段函數、反比例函數等學過函數的差異，理解題中的現實含義；能收集、閱讀一些現實生活、生產實際或者經濟領域中的數學模型，體會人們是如何借助函數刻畫實際問題的，感悟數學模型中參數的現實意義.重點是提升數學建模、數學運算、數據分析等素養.設計意圖：通過閱讀課本，讓學生明晰本節課的學習目標，初步搭建學習內容的框架.二、探索新知1．實例引入：某市綠色富硒產品和特色農產品在國際市場上頗具競爭力,其中香菇遠銷日本和韓國等地.上市時,外商李經理按市場價格10元/千克在本市收購了2000千克香菇存放入冷庫中.據預測,香菇的市場價格每天每千克將上漲0.5元,但冷庫存放這批香菇時每天需要支出各種費用合計340元,而且香菇在冷庫中最多保存110天,同時,平均每天有6千克的香菇損壞不能出售.(1)若存放x天后,將這批香菇一次性出售,設這批香菇的銷售總金額為y元,試寫出y與x之間的函數關系式.(2)李經理如果想獲得利潤22500元,需將這批香菇存放多少天后出售?(3)李經理將這批香菇存放多少天后出售可獲得最大利潤?最大利潤是多少?師生活動：與學生一起分析題意：(1)銷售金額=售價×銷售量；(2)利潤=銷售總金額-收購成本-各種費用；(3)求出存放時間，寫出利潤的表達式，對利潤的表達式求最值.預設的答案：解：(1)由題意y與x之間的函數關系式為y=(10+0.5x)(2000-6x)=-3x2+940x+20000(1≤x≤110,且x為整數).(2)由題意,令-3x2+940x+20000-10×2000-340x=22500,解方程得:x1=50,x2=150(不合題意,舍去),故需將這批香菇存放50天后出售.(3)設利潤為w,由題意得w=-3x2+940x+20000-10×2000-340x=-3(x-100)2+30000,因為a=-3<0,所以拋物線開口方向向下,所以x=100時,w最大=30000,所以李經理將這批香菇存放100天后出售可獲得最大利潤,最大利潤是30000元.教師總結：二次函數模型應用方法及注意點(1)方法:根據實際問題建立二次函數模型后,求出函數的解析式,可利用配方法、判別式法、換元法以及函數的單調性等方法求最值.(2)注意點:利用二次函數求最值時,應特別注意取得最值時的自變量與實際意義是否相符.設計意圖：通過已知數學模型的實際應用問題的解決，引導學生去思考現實生活中的問題，如何建立數學模型去解決.2．數學建模馬克思說過，一門科學只有成功運用數學時，才算達到了完善的地步.展望21世紀，數學必將大踏步地進入所有學科，數學建模將迎來蓬勃發展的新時期.數學建模活動是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的過程.主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、構建模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題.數學建模活動是基于數學思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動，是高中階段數學課程的重要內容.數學建模是連接數學和現實世界的橋梁.下面我們用實例來介紹，怎樣從現實世界中發現問題，如何通過數學建模來求解特定的問題，并探討怎樣整理數學建模的結果.3．建模過程描述與介紹俗話說，“物以稀為貴”一般來說，當市面上某種商品的出售量比較多時，這種商品的價格就會比較低；而出售量比較少時，價格就會比較高.例如，當市面上的蘋果比較多時，蘋果的價格就會降低.這時，如果將蘋果利用一定的技術手段進行保鮮存儲，等到市面上的蘋果變少、價格上升之后再出售，則同樣多的蘋果就可以獲得比較高的銷售收入.不過，需要注意的是，保鮮存儲是有成本的，而且成本會隨著時間的延長而增大.針對上述這種日常生活中的現象，我們可以提出一些什么問題呢？當然，我們可以探討的問題很多.例如，為什么會發生這些現象？什么情況下不會發生這樣的現象？能夠利用哪些技術手段進行保鮮存儲？哪種保鮮存儲的成本最低？等等.類似的這些問題，因為不僅僅涉及量的關系，所以如果只用數學手段研究，將是十分困難的.不過，上述現象中，涉及了量的增大與減少的問題，這可以用數學符號和語言進行描述.仍以蘋果為例，設市面上蘋果的量為x萬噸，蘋果的單價為y元，上述現象說明，y會隨著x的增大而減少，且y也會隨著x的減少而增大也就是說，如果y是x的函數并記作y=f（x）的話，f（x）是減函數.同樣地，如果設保鮮存儲的時間為t天，單位數量的保鮮存儲成本為C元，且C是t的函數并記作C=g（t）的話，g（t）是一個增函數.由于市面上蘋果的量x會隨著時間t的變化而變化，因此可以認為x是t的函數，并記作x=h（t）.從上面這些描述不難看出，在第t天出售蘋果時，單位數量的蘋果所獲得的收益z元可以用t表示出來，即z=y-C=f（x）-g（t）=f（h（t））-g（t）.此時，如果f（x），g（t），h（t）都是已知的，則能得到z與t的具體關系式.有了關系式之后，就能解決如下問題：z是否有最大值？如果z有最大值，那么t為多少時z取最大值？問題：怎樣才能確定上述f（x），g（t），h（t）呢？預設的答案：這可以通過合理假設以及收集數據、確定參數來完成.三、初步應用例如，為了簡單起見，我們可以假設f（x）和g（t）都是一次函數，且f（x）=k1x+L1，g（t）=k2t+L2；并假設h（t）是一個二次函數，且h（t）=at2+bt+c.則有z=f（h（t））-g（t）=k1at2+（k1b一k2）t+k1c+L1-L2，其中k1<0，k2>0，a≠0.上述各參數可以通過收集實際數據來確定.師生活動：如果我們收集到了如下實際數據.利用待定系數法，根據前面的假設就可以確定出y=f（x）=-0.5x+5，C=g（t）=0.01t+0.1，x=h（t）=0.002t2-0.14t+9.6，因此z=-0.001t2+0.06t+0.1.注意到上式可以改寫成z=-0.001（t-30）2+1，所以此時在t=30時，z取最大值1.也就是說，在上述情況下，保鮮存儲30天時，單位商品所獲得的利潤最大，為1元.這樣一來，我們就建立了一個決定蘋果的最佳出售時間點的模型，并通過有關數據進行了說明.教師總結：當然，實際情況與上面的建模結果可能會出現偏差.因為我們假設f（x）和g（t）都是一次函數等就已經把問題進行了簡化，如果條件容許的話，可以先不假設函數的具體形式，在收集盡量多的數據的基礎上，通過對數據的分析來最終得出函數的具體形式，這樣也就能優化我們最終建立的模型.以上我們用敘述的方式，讓大家經歷了一個簡單的數學建模全過程.由此可以看出，對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題就是數學建模.數學建模過程主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，驗證結果、改進模型，最終解決實際問題.設計意圖：以具體事例說明數學建模解決實際問題.練習：教科書P129與其他同學一起討論如下問題：(1)從現實世界中發現問題并進行建模時，所發現的問題要具有什么特征時才方便使用數學知識加以解決？(2)對同一個現象甚至同一組數據進行數學建模時，能否使用不同的數學對象進行描述？參考答案：(1)從現實世界中發現的問題，如果涉及數量關系或空間形式的有關內容時，就可以嘗試使用學知識加以解決.(2)對同一現象甚至同一組數據進行數學建模時，可以嘗試使用不同的數學對象進行描述.四、歸納小結，布置作業1．板書設計：3.4數學建模活動：決定蘋果的最佳出售時間點1．實例引入2．數學建模例12．總結概括：回顧本節課，你有什么收獲？（1）什么是數學建模？（2）數學建模過程包括哪些？師生活動：學生總結，老師適當補充.作業：1．某游樂場每天的盈利額y元與售出的門票張數x之間的函數關系如圖所示，試由圖像解決下列問題：(1)求y與x的函數解析式．(2)要使該游樂場每天的盈利額超過1000元，每天至少賣出多少張門票？2．教科書教科書P130題3參考答案：1．解：(1)由圖像知，可設y＝kx＋b，x∈[0,200]時，代入點(0，－1000)和(200,1000)，解得k＝10，b＝－1000，從而y＝10x－1000；x∈(200,300]時，代入點(200,500)和(300,2000)，解得k＝15，b＝－2500，從而y＝15x－2500，所以(2)每天的盈利額超過1000元，則x∈(200,300]，由15x－2500>1000，得x>eq\f(700,3)，故每天至少需要賣出234張門票．2．關于商品的需求量與供給量模型，以下內容可供參考；（1)影響商品需求量的因素不止一個，但是根據題目的要求，可以假定其只與商品的價格有關，而且可以認為商品需求量是商品價格的函數，稱為需求函數；（2)類似地，可以假定商品的供給量也只與商品的價格有關，而且商品的供給量也是商品價格的函數，稱為供給函數；（3)根據已知，可以假定價格越低需求量越大，價