江蘇省連云港市灌云縣實驗中學2022年高一數學文上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設集合，則“”是“”的（

）

（A）充分非必要條件；

（B）必要非充分條件；

（C）充要條件；

（D）既非充分又非必要條件。

參考答案：

A2.已知，那么等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C3.參考答案：C略4.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為

A.27π

B.28π

C.29π

D.30π參考答案：C5.已知，則的值為（

）A

B

C

D

4參考答案：A6.設銳角使關于x的方程有重根，則的弧度數為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：解析：因方程有重根，故

得，于是。

故選B。7.將函數f（x）=sin（2x+）圖象上的每個點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移個單位得到函數g（x）的圖象．在g（x）圖象的所有對稱中心中，離原點最近的對稱中心為（）A．（﹣，0） B．（，0） C．（﹣，0） D．（，0）參考答案：D【分析】利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數的圖象的對稱性，求得在g（x）圖象的所有對稱中心中，離原點最近的對稱中心．【解答】解：將函數f（x）=sin（2x+）圖象上的每個點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，可得y=sin（4x+）的圖象；再將所得圖象向左平移個單位得到函數g（x）=sin（4x++）=sin（4x+）的圖象．令4x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，令k=1，可得在g（x）圖象的所有對稱中心中，離原點最近的對稱中心為（，0），故選：D．8.己知α是第三象限角，且tanα=，則cosα的值是（）A．﹣ B． C． D．﹣參考答案：D【考點】同角三角函數基本關系的運用．【分析】由條件利用同角三角函數的基本關系，三角函數在各個象限中的符號，求得cosα的值．【解答】解：∵α是第三象限角，且tanα==，則cosα＜0，再根據sin2α+cos2α=1，求得cosα=﹣，故選：D．9.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，則?UA=(

)A．? B．{2，4，6} C．{1，3，6，7} D．{1，3，5，7}參考答案：C【考點】補集及其運算．【專題】計算題．【分析】由全集U，以及A，求出A的補集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，∴?UA={1，3，6，7}，故選C【點評】此題考查了補集及其運算，熟練掌握補集的定義是解本題的關鍵．10.（5分）斜率為l且原點到直線距離為的直線方程為（） A． x+y+2=0或x+y﹣2=0 B． x+y+=0或x+y﹣=0 C． x﹣y+2=0或x﹣y﹣2=0 D． x﹣y+=0或x﹣y﹣=0參考答案：C考點： 直線的一般式方程；點到直線的距離公式．專題： 直線與圓．分析： 知道直線的斜率設出直線方程：x﹣y+b=0，利用點到直線的距離公式求得b即可．解答： 解：因為直線的斜率是1，故設直線的方程為：x﹣y+b=0，原點到直線的距離：=，解得：b=±2，故選C．點評： 本題考查了直線方程的求法，考查了點到直線的距離公式，是基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）設a=cos61°?cos127°+cos29°?cos37°，b=，c=，則a，b，c的大小關系（由小到大排列）為

．參考答案：a＜c＜b考點： 兩角和與差的正弦函數；兩角和與差的余弦函數．專題： 三角函數的求值．分析： 分別利用三角公式將a，b，c分別化簡成同名三角函數，然后根據正弦函數的單調性判斷大小即可．解答： cos61°?cos127°+cos29°?cos37°=﹣sin29°?sin37°+cos29°?cos37°=cos（37°+29°）=cos66°，即a=cos66°=sin24°，==．∵sin24°＜sin25°＜sin26°，∴a＜c＜b，故答案為：a＜c＜b．點評： 本題考查正弦函數的單調性，兩角和差的正弦公式，兩角和差的正切函數，二倍角的余弦，屬于綜合知識的運用，考查對知識的熟練掌握，要求熟練掌握相應的公式．12.若向量滿足，，，則______.參考答案：【分析】把兩邊平方化簡即得解.【詳解】因為，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的數量積運算的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.13.關于x的一元二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有兩個不同的實根,且一根大于3,一根小于1,則m的取值范圍是

．參考答案：14.若，則_______________;參考答案：115.不等式的解集是

．參考答案：16.計算：

▲

.參考答案：17.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知函數（為常數），函數定義為：對每一個給定的實數，（1）求證：當滿足條件時，對于,；（2）設是兩個實數，滿足，且，若，求函數在區間上的單調遞增區間的長度之和.（閉區間的長度定義為）參考答案：（1）由的定義可知，（對所有實數）等價于（對所有實數）這又等價于，即對所有實數均成立.

（*）Ks5u

由于的最大值為，

故（*）等價于，即，所以當時，（2）分兩種情形討論

（i）當時，由（1）知（對所有實數）則由及易知，再由的單調性可知，函數在區間上的單調增區間的長度為（參見示意圖1）（ii）時，不妨設，則，于是

當時，有，從而；當時，有從而；當時，，及，由方程

解得圖象交點的橫坐標為

⑴

顯然，這表明在與之間。由⑴易知

綜上可知，在區間上，

（參見示意圖2）故由函數及的單調性可知，在區間上的單調增區間的長度之和為，由于，即，得

⑵故由⑴、⑵得

綜合（i）（ii）可知，在區間上的單調增區間的長度和為19.已知函數,當時，恒有.當時，,,（1）求證：是奇函數；（2）試判斷的單調性；（3）解不等式：≥-6.參考答案：（1）證明：令

令

即，所以為奇函數。（2）任取則

所以函數在上是減函數。（3）

20.已知二次函數y=x2﹣2mx+m2+3（m是常數）．（1）求證：不論m為何值，該函數的圖象與x軸沒有公共點；（2）把該函數的圖象沿y軸向下平移多少個單位長度后，得到的函數的圖象與x軸只有一個公共點？參考答案：（1）證明：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0，∴方程x2﹣2mx+m2+3=0沒有實數解，即不論m為何值，該函數的圖象與x軸沒有公共點；（2）解：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3，把函數y=（x﹣m）2+3的圖象延y軸向下平移3個單位長度后，得到函數y=（x﹣m）2的圖象，它的頂點坐標是（m，0），因此，這個函數的圖象與x軸只有一個公共點，所以，把函數y=x2﹣2mx+m2+3的圖象延y軸向下平移3個單位長度后，得到的函數的圖象與x軸只有一個公共點．略21.已知g（x）=x2﹣2ax+1在區間[1，3]上的值域[0，4]．（1）求a的值；（2）若不等式g（2x）﹣k?4x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，求實數k的取值范圍；（3）若函數有三個零點，求實數k的取值范圍．參考答案：【考點】函數恒成立問題；根的存在性及根的個數判斷．【分析】（1）對g（x）配方，求出對稱軸x=a，討論若1≤a≤3時，若a＞3時，若a＜1，由單調性可得最小值，解方程，即可得到所求a的值；（2）由題意可得（2x）2﹣2?2x+1﹣k?4x≥0，化為k≤（2﹣x）2﹣2?2﹣x+1，令t=2﹣x，求出t的范圍，求得右邊函數的最小值即可得到k的范圍；（3）令y=0，可化為|2x﹣1|2﹣2?|2x﹣1|+1+2k﹣3k?|2x﹣1|=0（|2x﹣1|≠0）有3個不同的實根．令t=|2x﹣1|，討論t的范圍和單調性，t2﹣（3k+2）t+1+2k=0有兩個不同的實數解t1，t2，已知函數有3個零點等價為0＜t1＜1，t2＞1或0＜t1＜1，t2=1，記m（t）=t2﹣（3k+2）t+1+2k，由二次函數圖象可得不等式組，解不等式可得k的范圍．【解答】解：（1）g（x）=x2﹣2ax+1=（x﹣a）2+1﹣a2在區間[1，3]上的值域[0，4]．若1≤a≤3時，g（x）的最小值為g（a）=1﹣a2，由1﹣a2=0，可得a=1（﹣1舍去），g（x）=（x﹣1）2滿足在區間[1，3]上的值域[0，4]；若a＞3時，g（x）在[1，3]遞減，g（x）的最小值為g（3），由g（3）=10﹣6a=0，解得a=（舍去）；若a＜1，則g（x）在[1，3]遞增，g（x）的最小值為g（1），由g（1）=2﹣2a=0，解得a=1．綜上可得，a=1；（2）由g（2x）﹣k?4x≥0即（2x）2﹣2?2x+1﹣k?4x≥0，化為k≤（2﹣x）2﹣2?2﹣x+1，令t=2﹣x，由x≥1可得0＜t≤，則k≤t2﹣2t+1，0＜t≤，記h（t）=t2﹣2t+1，0＜t≤，由單調遞減，可得h（t）的最小值為（﹣1）2=，則k的取值范圍是k≤；（3）令y=0，可化為|2x﹣1|2﹣2?|2x﹣1|+1+2k﹣3k?|2x﹣1|=0（|2x﹣1|≠0）有3個不同的實根．令t=|2x﹣1|，則t＞0，由2x﹣1＞﹣1，當x＜0時，t=|2x﹣1|=1﹣2x，t∈（0，1]且遞減，當0＜x＜1時，t=|2x﹣1|=2x﹣1，t∈（0，1）且遞增，當x=1時，t=1．當x＞1時，t=|2x﹣1|=2x﹣1，t∈（1，+∞）且遞增，t2﹣（3k+2）t+1+2k=0有兩個不同的實數解t1，t2，已知函數有3個零點等價為0＜t1＜1，t2＞1或0＜t1＜1，t2=1，記m（t）=t2﹣（3k+2）t+1+2k，則或，解得k＞0或k無實數解，綜上可得，k的取值范圍是（0，+∞）．22.(本小題滿分12分)如圖所示，點O為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運動到A點(距平衡位置最遠處)開始計時．(1)求物體離開平衡位置的位移x(cm)和時間t(s)之間的函數關系式；(2)求該物體在t