河北省石家莊市建華中學2021-2022學年高一數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知，，則與的夾角（）A．30° B．60° C．120° D．150°參考答案：C【考點】數量積表示兩個向量的夾角．【專題】常規題型．【分析】利用向量的多項式乘法展開，利用向量模的平方等于向量的平方及向量的數量積公式，求出向量夾角的余弦，利用向量夾角的范圍，求出向量的夾角．【解答】解：設兩個向量的夾角為θ∵∴∴9+16×3+12×4cosθ=33∴∵θ∈[0，π]∴θ=120°故選C．【點評】求向量的夾角問題一般應該先求出向量的數量積，再利用向量的數量積公式求出向量夾角的余弦，注意夾角的范圍，求出夾角．2.《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意為：“在屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”若圓周率約為3，估算出堆放的米約有()立方尺A．

B．

C．

D．參考答案：B3.把函數的圖象按向量平移，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，則所得圖象的函數解析式是（）A.

B.C.

D.參考答案：B4.已知函數的最大值為4，最小值為0，兩條對稱軸間的最短距離為,直線是其圖象的一條對稱軸，則符合條件的解析式是(

)A．

B．C．

D．參考答案：B5.設集合,,則下列結論正確的是[

]A.

B.

C.

D.都不對參考答案：B6.設平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，若與的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是（

）A、

B、C、

D、參考答案：答案：A點評：易誤選C，錯因：忽視與反向的情況。7.根式（式中）的分數指數冪形式為(

)A．

B．

C．

D．

參考答案：B略8.任取，則使的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B因為，所以，因為,所以，因為，所以，所以.

9.設a、b是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則下列四個命題：①若a⊥b，a⊥α，b?α，則b∥α；②若a∥α，a⊥β，則α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，則a∥α或a?α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β.其中正確命題的個數為()A．1

B．2C．3

D．4參考答案：D10.設函數，若對任意都有，則的最小值為

（

）A、4

B、2

C、1

D、

參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.我們把滿足（是常數）的數列叫做等和數列，常數叫做數列的公和．若等和數列的首項為1，公和為3，則該數列前2010項的和為

．參考答案：3015略12.函數y=logcos(2x–)的單調遞減區間是

。參考答案：[kπ–，kπ+]（k∈Z）13.函數的定義域是__________________________參考答案：14.在△ABC中，角A、B、C所對的對邊分別為a、b、c，若，，，則△ABC的面積等于_____參考答案：或【分析】由余弦定理求出，再利用面積公式即可得到答案。【詳解】由于在△ABC中，，，，根據余弦定理可得：，即，解得：或，經檢驗都滿足題意；所以當時，△ABC的面積，當時，△ABC的面積；故△ABC的面積等于或【點睛】本題考查余弦定理與面積公式在三角形中的應用，屬于中檔題。15.已知函數，則___▲_____。參考答案：016.設的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，a+b=12，面積的最大值為．參考答案：9【考點】HP：正弦定理；7F：基本不等式．【分析】根據題意，由正弦定理分析可得三角形的面積S=absinC=ab，又由a+b=12，結合基本不等式的性質可得三角形面積的最大值，即可得答案．【解答】解：根據題意，△ABC中，，a+b=12，則其面積S=absinC=ab≤（）2=9，即三角形面積的最大值為9；故答案為：9．17.如果函數在區間上是增函數，那么的取值范圍是_______.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知定義域為的奇函數滿足.（1）求函數的解析式；（2）判斷并證明在定義域上的單調性；（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；參考答案：（1）（2）減函數證明：任取，由（1）19.設在平面上有兩個向量=（cosα，sinα）（0°≤α＜360°），=（﹣，）．（1）求證：向量+與﹣垂直；（2）當向量+與﹣的模相等時，求α的大小．參考答案：【考點】數量積判斷兩個平面向量的垂直關系；向量的模．【分析】（1）由已知計算數量積為0，可判+與﹣垂直；（2）由|+|=|﹣|，兩邊平方化簡可得?\overrightarrow{b}=0，代入數據可得（﹣）×cosα+×sinα=0，即cos（α+60°）=0，由α的范圍可得．【解答】（1）證明：∵（+）?（﹣）=||2﹣||2=（cos2α+sin2α）﹣（）=0，∴+與﹣垂直．（2）∵|+|=|﹣|，∴兩邊平方得3||2+2?\overrightarrow{b}+||2=||2﹣2?\overrightarrow{b}+3||2，∴2（||2﹣||2）+4?\overrightarrow{b}=0．又∵||==1，||==1，∴||=||，∴?\overrightarrow{b}=0，代入數據可得（﹣）×cosα+×sinα=0，即cos（α+60°）=0，∴α+60°=k?180°+90°，即α=k?180°+30°，k∈Z．又0°≤α＜360°，∴α=30°或α=210°．20.△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面積為，求△ABC的周長．參考答案：【考點】HX：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式化簡，根據sinC不為0求出cosC的值，即可確定出出C的度數；（2）利用余弦定理列出關系式，利用三角形面積公式列出關系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周長．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化簡得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab?，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周長為5+．【點評】此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及三角函數的恒等變形，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．21.（本小題滿分分）如圖,漁船甲位于島嶼的南偏西方向的處,且與島嶼相距12海里,漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼出發沿正北方向航行,若漁船甲同時從處沿北偏東的方向追趕漁船乙,剛好用2小時追上.(1)求漁船甲的速度;(2)求的值.參考答案：（I），--------------------------------（2分）由余弦定理可求得，所以漁船甲的速度為14海里/小時.--------------------（6分）（II）,-----------------------------------------------------------（8分）由正弦定理可求得------------------------------（