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大一高等數學期末考試試卷

(一)

一、挑選題(共12分)

2ex,x0,1.(3分)若f(x)為延續函數,則a的值為().

a,x,x0

(A)1(B)2(C)3(D)-1

2.(3分)已知f(3)2,則lim

(A)1(B)3(C)-1(D)

.h012f(3,h),f(3)2h的值為()

3.(3

分)定積分2

,2的值為().

(A)0(B)-2(C)1(D)2

4.(3分)若f(x)在xx0處不延續,則f(x)在該點處().

(A)必不行導(B)一定可導(C)可能可導(D)必無極限

二、填空題(共12分)

1((3分)平面上過點(0,1)，且在隨意一點(x,y)處的切線斜率為3x2的曲線方程為.

2.(3分)(x,xsinx)dx.

,1124

3.(3分)limxsinx021x=.

24.(3分)y2x,3x的極大值為

三、計算題(共42分)

1.(6分)求limxln(1,5x)

sin3x23x0.

2.(6

分)設yx,1求y.

3.(6分)求不定積分xln(1,x2)dx.

1

4.(6分)求3

0x,x1,其中f(x,1)dx,f(x)1,cosxex,1,x1.

y5.(6分)設函數yf(x)由方程etdt,0x0costdt0所確定,求dy.

6.(6分)設f(x)dxsinx2,C,求f(2x,3)dx.

37.(6分)求極限lim1,.

n2nn

四、解答題(共28分)

1.(7分)設f(lnx)1,x,且f(0)1,求f(x).

2.(7分)求由曲線ycosx,

轉體的體積.2x與x軸所圍成圖形圍著x軸旋轉一周所得旋2

3.(7分)求曲線yx3,3x2,24x,19在拐點處的切線方程.

4.(7

分)求函數yx,[,5,1]上的最小值和最大值.

五、證實題(6分)

設f(x)在區間[a,b]上延續,證實

baf(x)dxb,a2[f(a),f(b)],12ba(x,a)(x,b)f(x)dx.

(二)

一、填空題(每小題3分，共18分)

x,1

x,3x,2

221(設函數f,x,2，則x1是f,x,的第.2(函數yln,1,x

2x,，則y

.1,x3(limxx.

4(曲線y11在點,2處的切線方程為.x2

2

5(函數y2x3,3x2在,1,4上的最大值，最小值.6(arctanx

1,x2dx.

二、單項挑選題(每小題4分，共20分)

1(數列xn有界是它收斂的().

,A,須要但非充分條件;,B,充分但非須要條件;,C,充分須要條件;,D,無關條件.

2(下列各式正確的是().

,A,e,xdx

1e,x,C;,B,lnxdx1

;,C,dx1,2x1xlnx1x,C

2ln,1,2x,,C;,D,dxlnlnx,C.

3(設f,x,在a,b上，f,x,0且f,x,0，則曲線yf,x,在a,b上.,A,沿x軸正向升高且為凹的;,B,沿x軸正向下降且為凹的;,C,沿x軸正向升高且為凸的;,D,沿x軸正向下降且為凸的.

4(設f,x,xlnx，則f,x,在x0處的導數().,A,等于1;,B,等于,1;,C,等于0;,D,不存在.

5(已知limf,x,2，以下結論正確的是().

x1,

,A,函數在x

,C,函數在x

三、1處有定義且f,1,2;,B,函數在x1處的某去心鄰域內

有定義;1處的左側某鄰域內有定義;,D,函數在x1處的右側某鄰

域內有定義.計算(每小題6分，共36分)

21(求極限:limxsinx01x.

2.已知yln,1,x

3.求函數yxsinx2,，求y.0,的導數.,x

3

4.

1,

x

2

x

2

dx.

5.

xcos

1x

xdx.

1

y

x確定函數yf,x,，求y.

2

6.方程y四、五、六、

(10分)已知ex為f,x,的一個原函數，求x2f,x,dx.(6分)求

曲線yxe,x的拐點及高低區間.(10分)設f

,x,dxx,e

x

,1,C，求f,x,.

,

(三)

一、填空題(本題共5小題，每小題4分，共20分).

1

(1)

lim(cosx)

x0

x

2

1

(2)曲線yxlnx上與直線x,y,10平行的切線方程為___yx,1______.(3)已知f(e)xe(4)曲線

y

x

2x

,x

，且f(1)0,則f(x)______f(x)2

y

13x,

19__.

(lnx)

2

_____.

3x,1的斜漸近線方程為_______

2y

5

x,1(5)微分方程的通解為_________

二、挑選題(本題共5小題，每小題4分，共20分).(1)下列積分結果正確的是(D)

y,(x,1)2y

23

7

(x,1)2,C(x,1).

2

(A)(C)

1,1,1

1x

dx01

(B)

(D)

1,1

1x

2

dx,2

x

4

dx,

,1

1x

dx,

(2)函數f(x)在[a,b]內有定義，其導數f'(x)的圖形如圖1-1所示，則(D).

(A)x1,x2都是極值點.

(B),x1,f(x1),,,x2,f(x2),都是拐點.(C)x1是極值點.，,x2,f(x2),是拐點.

(D),x1,f(x1),是拐點，x2是極值點.

(3)函數

yC1e,C2e

x

,2x

,xe

x

滿足的一個微分方程是(D).

4

(A)y,y,2y3xe.

(C)y,y,2y3xe.

(4)設f(x)在x0處可導，則h0limxxh(B)y,y,2y3e.

(D)y,y,2y3e.為(A).xxf,x0,,f,x0,h,

,f,x0,(A)f,x0,.(B).(C)0.(D)不存在.

(5)下列等式中正確的結果是(A).

(A)(f(x)dx)f(x).(B)df(x)f(x).

(C)d[f(x)dx]f(x).(D)f(x)dxf(x).

三、計算題(本題共4小題，每小題6分，共24分).

lim(x,1)

1(求極限x1x,1lnx.

lim(x,1)limxlnx,x,1

解x1x,1lnx=x1(x,1)lnx1分limlnx

x1x,1

=x,lnx

2分limxlnx

=x1x,1,xlnx1分lim1,lnx

=x11,lnx,11

22分

xlnsintdyd2

2.方程y

ycost,tsint確定y為x的函數，求dx與dx2.dyy(t)t,

解dxx(t)tsin

(3分)

d2y(tsint)

dx2x(t)sinttant,tsint.

(6分)

3.4.計算不定積分

.

解2(1,x),,,,,,,,,,,2分

=2arctanarctan,,,,,,2分=

(arctan2,C,,,,,,,,,2分

4.計算定積分3x01,,xdx

.

xx(1,,x)

301,,xdx3

0,xdx,3

解0(1,,x)dx

53分)(

,3,2

333(1,x)2

053(6分)(或令,xt)

四、解答題(本題共4小題，共29分).

2x1((本題6分)解微分方程y,5y,6yxe.

解:特征方程r-5r,60,,,,,,,,,,1分特征解r12,r23.,,,,,,,,,,1分次方程的通解Y=C1e令yx(b0x,b1)e代入解得b0,所以

yx(,**2x2x2,C2e.,,,,,,,1分3x,,,,,,,,,,,1分

12b1,1.2x12x,1)e,,,,,,,,,,,1分,C2e3x所以所求通解y

C1e2x,x(12x,1)e.,,,,1分2x

2((本題7分)一個橫放著的圓柱形水桶(如圖4-1)，桶內盛有半桶水，設桶的底半徑為R，水的比重為，計算桶的一端面上所受的壓力(

解:建立坐標系如圖

PR

02,,,,,,,,,4R

0,g

R,x),,,,,,1分223222R,g[R,x]0,,,,,,1分3

2g

3R,,,,,,,,,,,,,,,,1分

3b

3.(本題8分)設f(x)在[a,b]上有延續的導數，f(a)f(b)0，且

a

試求a

b

af(x)dx12，bxf(x)f(x)dx.解:xf(x)f(x)dx

baxf(x)df(x),,,,,2分1

2

2baxdf(x),,,,,2分b2=[xf(x)]a,

=0,1

2,1

212baf(x)dx,,2分2,,,,,,,,,2分

4.(本題8分)過坐標原點作曲線ylnx的切線，該切線與曲線ylnx及x軸圍成平面圖形D.

(1)(3)求D的面積A;

(2)(4)求D繞直線xe旋轉一周所得旋轉體的體積V.

6

解:(1)設切點的橫坐標為x0，則曲線

ylnx在點(x0,lnx0)處的切線方程是

ylnx0,

1x0

(x,x0).

1分

由該切線過原點知lnx0,10，從而x0e.

所以該切線的方程為

y

1ex.

平面圖形D的面積

A1e

1分

x

1

(e

y

,ey)dy

12

e,1.

2分

(2)切線

V1

13

2

y

與x軸及直線xe所圍成的三角形繞直線xe旋轉所得的圓錐體積為e.

2分

曲線ylnx與x軸及直線xe所圍成的圖形繞直線xe旋轉所得的旋轉體體積為

V2

1

(e,e)dy

y2

，1分

因此所求旋轉體的體積為

VV1,V2

1

03

五、證實題(本題共1小題，共7分).

e,

2

1

(e,e)dy

y2

6

(5e,12e,3).

2

1分

1.證實對于隨意的實數x，e1,x.解法一:

e1,x,

x

x

x

e

2

x1,x

2

解法二:設f(x)e,x,1.則f(0)0.1分

(x)ex,1.f由于1分

當x0時，f(x)0.f(x)單調增強，f(x)f(0)0.2分當x0時，f(x)0.f(x)單調增強，f(x)f(0)0.2分

x

所以對于隨意的實數x，f(x)0.即e1,x。1分解法三:由微分中值定理得，e,1e,ee(x,0)ex，其中位于0到x之間。2分

x

當x0時，e1，e,1x。2分x

當x0時，e1，e,1x。2分

xx0

所以對于隨意的實數x，e1,x。1分

x

7

(四)

一(填空題(每小題4分，5題共20分):

1

1(2(

lim(e,x)

x0

x

x

2

1

e2.

x

,x

1,1

x,1,x

2022

,,e,e,dx

x,y

4e.dtx

dy

3(設函數yy(x)由方程1e

,t

2

確定，則dx

x0

e,1.

1x

2

4.設f,x,可導，且1

x

tf(t)dtf(x)

2

，f(0)1，則f,x,e

.

5(微分方程y,4y,4y0的通解為y(C1,C2x)e二(挑選題(每小題4分，4題共16分):1(設常數k0，則函數

f(x)lnx,

xe,k

在

,2x

.

(0,,)內零點的個數為(B).

(A)3個;(B)2個;(C)1個;(D)0個.

2(微分方程y,4y3cos2x的特解形式為(C)

,,

B)yAxcos2x;,(A)yAcos2x;(

(C)yAxcos2x,Bxsin2x;(D)yAsin2x3(下列結論不一定成立的是(A)

*

(A)(A)若c,da,b,則必有c

d

f,x,dx

b

ba

f,x,dx

;

(B)(B)若f(x)0在a,b上可積,則a

f

,x,dx0

;

(C)(C)若f,x,是周期為T的延續函數,則對隨意常數a都有a,Ta

f,x,dx0

T

f,x,dx

;

x

(D)(D)若可積函數f,x,為奇函數,則0

1

tf,t,dt

也為奇函數.

f,x,

1,ex

1

2,3ex,則x0是f(x)的(C).4.設

(A)延續點;(B)可去間斷點;

(C)跳動間斷點;(D)無窮間斷點.三(計算題(每小題6分，5題共30分):1(計算定積分0解:

設x

2

2

xe

3,x

2

dx

3

.

,x

2

t,則

2

xedx

2

12

te

,t

dt,

1

2

2

tde

,t

2

8

1,t

2,te,

02

,e

,2

2

edt

2

,t

,

12

5

e

,t

20

12

,

32

e

,2

2

2(計算不定積分解:

xsinxcos

x

dx

.

1cosx

2

cos

xsinx

5

x

dxx

14

4

xd(

,,1

4

)

1x

,44cosx

4

cosx3

dx

4cosx

x4cosx

4

(tan

41

3

x,1)dtanx14

tanx,C

12

tanx,

3

xa(t,sint),t

2處的切線的方程.3(求擺線ya(1,cost),在解:切點為

k

dydx

(a(

2

,1),a)

2

2

t

2

asinta(1,cost)

t

12

切線方程為4.設5(設

F(x)

n

y,ax,a(

2

,1)

即

yx,(2,

2

)a

.2

2

x0

cos(x,t)dt

2

，則F(x)2xcosx,(2x,1)cos(x,x).，求n

i)

2

xn

(n,1)(n,2)(n,3)(2n)

n

1

n

limxn

.

解:

lnxn

ln1(,n

i1

n

n2ln1(,x11,x4

n

limlnxnlimxln(1,x)

e

1

n

i1

i

nn

)

1

10

ln1(,x)dx

2

2

=

,

10

2ln2,1

e故n=

四(應用題(每小題9分，3題共27分)

limxn

2ln2,1

1(求由曲線yx,2與該曲線過坐標原點的切線及x軸所圍圖形的面積.解:

y

12

x0,2

x

(x0,y0)，則過原點的切線方程為設切點為

，

2.3

(x0,y0)在切線上，帶入切線方程，解得切點為x04,y0因為點

過原點和點(4,2)的切線方程為s

y

x

223

面積

2

(y,2,22y)dy

xdx,

2

22

=

3

3

223

s

或

2

122

42

(

122

x,x,2)dx

2(設平面圖形D由x,y2x與yx所確定，試求D繞直線x2旋轉一周所生成的旋轉體的體積

.

22

解:法一:VV1,V210

2,(1,

,y)

2

2

2

dy,

2

10

(2,y)dy

2

2

10

,y,(y,1)dy

6

13

2,(y,1)

43

11

2(,)04

33

2

法二:V=

2

2

10

(2,x)(2x,x

2

,x)dx

2

5

10

(2,x)2x,xdx,2

10

(2x,x)dx

10

(2,2x)

12

2x,x,22x,x

22

dx,4

3

3

241122

(2x,x),21,

0433

23

,

2

,

43

12

2

,

23

4

3.設a1,f(t)a,at在(,,,)內的駐點為t(a).問a為何值時t(a)最小?并求最

小值.

t

解:

t

由f(t)alna,a0得t(a)1,

lnlnalna

.

3

又由t(a)

lnlna,1a(lna)

2

0得唯一駐點

e

ae

e

e

3

e

當ae時,t(a)0;當ae時,t(a)0,于是ae為t(a)的微小值點.2ae為t(a)的最小值點,最小值為t(e)1,

e

e

lnee

故

1,

1

e1

.

五(證實題(7分)

1

f(0)=f(1)0,f()1，

2設函數f(x)在[0,1]上延續，在(0,1)內可導且

試證實至少存在一點(0,1),使得f()=1.

證實:設F(x)f(x),x，F(x)在[0,1]上延續在(0,1)可導，因f(0)=f(1)=0,有F(0)f(0),00,F(1)f(1),1,1,2

1111111

f()=1F()=f()-=1-=，[，1]

22222在2又由2，知上F(x)用零點定理，11

F(1)F()=-0

22按照，2

2可知在2,

F(0)=F()=0由ROLLE中值定理得至少存在一點(0,)(0,1)使

得F()=0即f(),1=0，證畢.3

(1，1)

內至少存在一點，使得

F()=0，(

1

,1)(0,1)

標準答案

一、1B;2C;3D;4A.二、1yx,1;2

3

23

;30;40.

53

三、1解原式lix0

x5x3x

2

6分

2解

lnyl2

x,1

x2

,lxn(,

2

12分

y

2

x,12

[

1

,

2xx,1

2

]4分

3解原式

12

ln(1,x)d(1,x)3分22

12

[(1,x)ln(1,x),(1,x)222

2x1,x

2

dx]2分

12

[(1,x

2

)ln(,1x

2

,)x

2

,]C1分

4解令x,1t,則2分0

3

f(x)dx

1

,1f(t)dt1分

,

2

2

,11,cost