第七章隨機變量及其分布人教A版2019必修第三冊7.5正態分布學習目標1.通過誤差模型，了解服從正態分布的隨機變量；2.通過具體實例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態分布的特點；3.了解正態分布的均值、方差及其含義；4.了解3σ原則,會求隨機變量在特殊區間內的概率.高斯是一個偉大的數學家，一生中的重要貢獻不勝枚舉，德國的10馬克紙幣上印有高斯的頭像和正態分布曲線，這就傳達了一個信息：在高斯的科學貢獻中，對人類文明影響最大的是“正態分布”．情景引入問題正態分布有哪些應用？提示正態分布在概率和統計中占有重要的地位，它廣泛存在于自然現象、生產和生活實踐之中，在現實生活中，很多隨機變量都服從或近似服從正態分布．現實中，除了前面已經研究過的離散型隨機變量外，還有大量問題中的隨機變量不是離散型的，它們的取值往往充滿某個區間甚至整個實軸，但取一點的概率為0，我們稱這類隨機變量為連續型隨機變量.下面我們看一個具體問題.

問題自動流水線包裝的食鹽，每袋標準質量為400g.由于各種不可控制的因素，任意抽取一袋食鹽，它的質量與標準質量之間或多或少會存在一定的誤差(實際質量減去標準質量).用X表示這種誤差，則X是一個連續型隨機變量.檢測人員在一次產品檢驗中，隨機抽取了100袋食鹽，獲得誤差X(單位:g)的觀測值如下:

-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.20.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.42.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.12.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.53.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.62.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.21.01.31.7-0.9(1)如何描述這100個樣本誤差數據的分布?(2)如何構建適當的概率模型刻畫誤差X的分布?根據已學的統計知識，可用頻率分布直方圖描述這組誤差數據的分布，如圖(1)所示.頻率分布直方圖中每個小矩形的面積表示誤差落在相應區間內的頻率，所有小矩形的面積之和為1.觀察圖形可知:誤差觀測值有正有負，并大致對稱地分布在X=0的兩側，而且小誤差比大誤差出現得更頻繁.隨著樣本數據量越來越大，讓分組越來越多，組距越來越小，由頻率的穩定性可知，頻率分布直方圖的輪廓就越來越穩定，接近一條光滑的鐘形曲線，如圖(2)所示.0-6-420-2頻率/組距0.050.100.150.20X46(1)0-6-420-2頻率/組距0.050.100.150.20X46(2)根據頻率與概率的關系，可用圖(3)中的鐘形曲線(曲線與水平軸之間的區域的面積為1)來描述袋裝食鹽質量誤差的概率分布.例如，任意抽取一袋食鹽，誤差落在[-2,-1]內的概率，可用圖中黃色陰影部分的面積表示.由函數知識可知，圖(3)中的鐘形曲線是一個函數.那么，這個函數是否存在解析式呢?答案是肯定的.在數學家的不懈努力下，找到了以下刻畫隨機誤差分布的解析式:0-6-420-2f(x)0.050.100.150.20X46(3)

思考1

由函數知識可知，圖(3)中的鐘形曲線是一個函數.那么，這個函數是否存在解析式呢?0-6-420-2f(x)0.050.100.150.20X46(3)答案是肯定的.在數學家的不懈努力下，找到了以下刻畫隨機誤差分布的解析式:其中μ∈R，σ>0為參數.顯然，對任意的x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方，可以證明x軸和曲線之間的區域的面積為1.我們稱f(x)為正態密度函數，稱它的圖象為正態密度曲線，簡稱正態曲線，若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x)，則稱隨機變量X服從正態分布，記為X~N(μ,σ2).特別地，當μ=0,σ=1時，稱隨機變量X服從標準正態分布.1.正態分布：若X~N(μ，σ2)，則如圖(4)所示，X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區域A的面積，而P(a≤X≤b)為區域B的面積.(4)思考2

觀察正態曲線及相應的密度函數，你能發現正態曲線的哪些特點?由X的密度函數及圖象可以發現，正態曲線還有以下特點:(1)曲線是單峰的，它關于直線x=μ對稱；(2)曲線在x=μ處達到峰值(3)當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸.思考3一個正態分布由參數μ和σ完全確定，這兩個參數對正態曲線的形狀有何影響?它們反映正態分布的哪些特征?由于正態曲線關于x=μ對稱，因此，當參數σ固定時，正態曲線的位置由μ確定，且隨著μ的變化而沿x軸平移，所以參數μ反映了正態分布的集中位置，可以用均值來估計，故有當μ固定時，因為正態曲線的峰值與σ成反比，而且對任意的σ>0，正態曲線與x軸之間的區域的面積總為1.因此，當σ較小時，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較集中；當σ較大時，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散，所以σ反映了隨機變量的分布相對于均值μ的離散程度，可以用標準差來估計，故有σ=0.5012-1-2x-33x=μσ=1σ=2(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交；(3)曲線與x軸之間的面積為1；(4)當μ一定時，σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.2.正態曲線的性質：(2)曲線是單峰的，它關于直線x=μ對稱，且曲線在x=μ處取得最大值；(5)參數μ反映了正態分布的集中位置，σ反映了隨機變量的分布相對于均值μ的離散程度.在實際問題中，參數μ，σ可以分別用樣本均值和樣本標準差來估計，故有練習：1.若X～N(2,3)，則E(X)=______，D(X)=_______.

2.X～N(μ,σ2)，若E(X)=3，σ(X)=2，則μ=______，σ=______.

09323.正態曲線下的面積規律：-x1-x2

x2

x1a-a正態曲線下對稱區域的面積相等對應的概率也相等利用“對稱法”求正態分布下隨機變量在某個區間的概率.練習若X～N(1,σ2)，且P(X<0)=a，則(1)P(X>1)=_________；(2)P(X>0)=_________；(3)P(0<X<1)=_______；(4)P(X<2)=_________；(5)P(0<X<2)=_______.012-1-2xy-334μ=10.51-a0.5-a1-a1-2a例1：李明上學有時坐公交車,有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經數據分析得到,坐公交車平均用時30min，樣本方差為36;騎自行車平均用時34min,樣本方差為4；假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態分布.(1)估計X,Y的分布中的參數;(2）根據(1)中的估計結果,利用信息技術工具畫出X和Y的分布密度曲線;(3）如果某天有38min可用，李明應選擇哪種交通工具?如果某天只有34min可用,又應該選擇哪種交通工具?請說明理由.分析:對于第(1)問,正態分布由參數μ和σ完全確定,根據正態分布參數的意義可以分別用樣本均值和樣本標準差來估計.對于第(3)問,這是一個概率決策問題,首先要明確決策的準則,在給定的時間內選擇不遲到概率大的交通工具;然后結合圖形,相據概率的表示,比較概率的大小,作出判斷26303438ty解:(1)隨機變量X的樣本均值為30,樣本標準差為6;隨機變量Y的樣本均值為34,樣本標準差為2.用樣本均值估計參數μ.用樣本標準差估計參數σ,可以得到X~N(30,6),Y~N(34,2).(2)X和Y的分布密度曲線如圖所示,(3)應選擇在給定時間內不遲到的概率大的交通工具.由圖可知,Y的密度曲線X的密度曲線P(X≤38)<P(Y≤38),P(X≤34)>P(Y≤34).所以,如果有38min可用,那么騎自行車不遲到的概率大,應選擇騎自行車;如果只有34min可用,那么坐公交車不遲到的概率大,應選擇坐公交車.假設X~N(μ,σ2)，可以證明:對給定的k∈N*，P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一個只與k有關的定值.特別地，4.特殊區間的概率：上述結果可用右圖表示.由此看到，盡管正態變量的取值范圍是(-∞,+∞)，但在一次試驗中，X的取值幾乎總是落在區間[μ-3σ,μ+3σ]內，而在此區間以外取值的概率大約只有0.0027，通常認為這種情況幾乎不可能發生.在實際應用中，通常認為服從于正態分布N(μ,

σ2)的隨機變量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值，這在統計學中稱為3σ原則.課堂練習1.設隨機變量X~N(0,1)，則X的密度函數為_____________________，P(X≤0)=_____，P(|X|≤1)=_______，P(X≤1)=________，P(X>1)=________(精確到0.0001.)0.50.68270.841350.15865O1-1xyμ=0

2.設隨機變量X~N(0,22)，隨機變量Y~N(0,32)，畫出分布密度曲線草圖，并指出P(X≤-2)與P(X≤2)的關系，以及P(|X|≤1)與P(|Y|≤1)之間的大小關系.O1-1xyσ=3σ=22-2解：作出分布密度曲線如圖示，由圖可知，隨堂檢測1.下列函數是正態分布密度函數的是(

)答案:B

2、把一個正態曲線a沿著橫軸方向向右移動2個單位，得到新的一條曲線b。下列說法中不正確的是（）A.曲線b仍然是正態曲線；B.曲線a和曲線b的最高點的縱坐標相等;C.以曲線b為概率密度曲線的總體的期望比以曲線a為概率密度曲線的總體的期望大2;D.以曲線b為概率密度曲線的總體的方差比以曲線a為概率密度曲線的總體的方差大2.答案：D解析:∵ξ服從正態分布N(0,σ2),∴曲線的對稱軸是直線x=0.∵P(ξ<-1)=0.1,∴P(ξ>1)=0.1.∴ξ在區間(0,1)內取值的概率為0.5-0.1=0.4,故選B.答案:B3.在某項測量中,測量結果ξ服從正態分布N(0,σ2).若ξ在(-∞,-1)內取值的概率為0.1,則ξ在(0,1)內取值的概率為(

)A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1解析:因為月收入服從正態分布N(500,202),所以μ=500,σ=20,μ-σ=480,μ+σ=520.所以月均收入在[480,520]范圍內的概率為0.683.由圖像的對稱性可知,此縣農民月均收入在500到520元間人數的百分比約為34.15%.答案:34.15%4.某縣農民月均收入服從N(500,202)的正態分布,則此縣農民月均收入在500元到520元間人數的百分比約為

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解析:零件尺寸屬于區間[μ-2σ,μ+2σ],即零件尺寸在[1,5]內取值的概率約為95.4%,故零件尺寸不屬于區間[1,5]內的概率為1-95.4%=4.6%.答案:4.6%5.某種零件的尺寸ξ(單位:cm)服從正態分布N(3,12),則不屬于區間[1,5]這個尺寸范圍

的零件數約占總數的

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5.

假設某地區高二學生的身高服從正態分布，且均值為170（單位：cm，下同），標準差為10.在該地區任意抽取一名高二學生，求這名學生的身高：（1）不高于170的概率；（2）在區間[160，180]內的概率；（3）不高于180的概率.6.設在一次數學考試中,某班學生的分數X~N(110,202),且知試卷滿分150分,這個班的學生共54人,求這個班在這次數學考試中及格(即90分及90分以上)的人數和130分以上的人數.解:μ=110,σ